2022-2023学年北师大版七年级数学上册 3.5探索与表达规律 优生辅导测评（Word版含答案）

2022-2023学年北师大版七年级数学上册《3.5探索与表达规律》优生辅导测评（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．对于正数x，规定f（x）＝，例如f（2）＝＝，则f（）+（）+…+f（）+f（1）+f（2）+…+f（10）的值是（　　）
A．9 B．9.5 C．10 D．10.5
2．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为15，则第一次输出的结果为18，第二次输出的结果为9，…，第2022次结果为（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
3．如图，将正整数按此规律排列成数表，若2021是表中第n行第m列，则m+n＝（　　）
A．66 B．68 C．69 D．70
4．如图所示，正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（　　）
A．70 B．72 C．74 D．76
5．已知整数a1，a2，a3，a4，…，an满足下列条件：a1＝0，a2＝|a1﹣1|，a3＝|a2﹣2|，a4＝|a3﹣3|，…，an＝|an﹣1﹣（n﹣1）|，以此类推，则a2021的值为（　　）
A．2020 B．1009 C．1010 D．1011
6．对于每个正整数n，设f（n）表示n（n+1）的末位数字．例如：f（1）＝2（1×2的末位数字），f（2）＝6（2×3的末位数字），f（3）＝2（3×4的末位数字），…则f（1）+f（2）+f（3）+…f（2021）的值为（　　）
A．4042 B．4048 C．4050 D．10
7．如果a是大于1的正整数，那么a的三次方可以改写成若干个连续奇数的和．例如23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…，已知a3改写成的若干个连续奇数和的式子中，有一个奇数是2021，则a的值是（　　）
A．36 B．45 C．52 D．61
8．一组连续整数99，100，101，102，…，2020前分别添加“+”和“﹣”，并运算，则所得最小非负整数是（　　）
A．1 B．0 C．199 D．99
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．观察21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝7，24﹣1＝15，25﹣1＝31，…，归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测22022﹣1的个位数字是 　 　．
10．在2020个“□”中依次填入一列数字m1，m2，m3…，m2020，使得其中任意四个相邻的“□”中所填的数字之和都等于15．已知m3＝2，m6＝7，则m1+m2020的值为　 　．
2 7 …
11．若a1＝1﹣，a2＝1﹣，a3＝1﹣，a4＝1﹣，…，则a2021＝　 　．
12．观察下列三行数，并完成填空：
①﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…
②1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…
③0，﹣3，3，﹣9，15，﹣33，…
第①行数按一定规律排列，第2022个数是 　 　；若取每行数的第2022个数，计算这三个数的和为 　 　．
13．请你在心里任意想一个两位数，然后把这个数的十位数字与个位数字相加，再用原来的两位数减去它们的和，会得到一个新数，然后重复上面的过程，把新的两位数的十位数字与个位数字再相加，用新的两位数减去这个和，一直这样重复下去，直到所得的数不再是两位数为止，则最终你得到的数字是 　 　．
14．观察：3×7＝21，13×17＝221，23×27＝621，33×37＝1221，…，用等式表示这一规律为：　 　．
15．观察：∵＝×（1﹣），＝×（），＝×（﹣），…＝×（﹣），
∴+++…+＝×（1﹣+﹣+…﹣）＝．
请用你发现的规律计算求值：+++…+　 　．
16．观察下列各式：
13+23＝9＝×4×9＝×22×32
13+23+33＝36＝×9×16＝×32×42
13+23+33+43＝100＝×16×25＝×42×52
若n为正整数，试猜想13+23+33+…+n3等于　 　．（注：最终结果保留带括号的形式即可）
三．解答题（共5小题，满分40分）
17．观察下列等式：
22﹣21＝21，23﹣22＝22，24﹣23＝23……．；
探究其中的规律，并解答下列问题：
（1）请直接写出第4个等式　 　；第n个等式　 　．
（2）计算：21﹣22﹣23﹣…﹣214+215
18．阅读下列材料并解决有关问题：
13+23＝1+8＝9，而（1+2）2＝9，所以13+23＝（1+2）2；
13+23+33＝36，而（1+2+3）2＝36，所以13+23+33＝（1+2+3）2；
13+23+33+43＝100，而（1+2+3+4）2＝100，所以13+23+33+43＝（1+2+3+4）2；
（1）13+23+33+43+53＝　 　．
（2）按照材料提示，求13+23+33+…+n3（n为整数）；
（3）求113+123+133+143+153的值．
19．观察下列算式：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，…．
（1）通过观察以上算式，猜想并写出：　 　（n为正整数）．
（2）直接写出下列算式的结果：
++++…++＝　 　．
20．仔细观察下列等式：
第1个：52﹣12＝8×3；
第2个：92﹣52＝8×7；
第3个：132﹣92＝8×11；
第4个：172﹣132＝8×15；
…
（1）请你写出第8个等式：　 　；
（2）请写出第n个等式，并加以验证；
（3）运用上述规律，计算：8×11+8×15+…+8×403+8×407．
21．已知下列等式：①22﹣12＝3；②32﹣22＝5；③42﹣32＝7，…
（1）请仔细观察前三个式子的规律，写出第④个式子：　 　；
（2）请你找出规律，写出第n个式子　 　．
利用（2）中发现的规律计算：1+3+5+7+…+2019+2021．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：∵f（x）＝，
∴f（）＝＝，
∴f（x）+f（）＝1，
∴f（）+（）+…+f（）+f（1）+f（2）+…+f（10）
＝1×9+f（1）
＝9+
＝9.5，
故选：B．
2．解：第1次输出的结果为：15+3＝18，
第2次输出的结果为：×18＝9，
第3次输出的结果为：9+3＝12，
第4次输出的结果为：×12＝6，
第5次输出的结果为：×6＝3，
第6次输出的结果为：3+3＝6，
…，
从第4次开始，以6，3依次循环，
∵（2022﹣3）÷2＝2019÷2＝1009……1，
∴第2022次输出的结果为6．
故选：B．
3．解：由所给成数表可知，第n行有n个数字，
∴前n行共有个数字，
∵＜2021＜，
∴2021在第64行，
∵前63行共有2016个数，
∴2021﹣2016＝5，
∴2021在第64行第5列，
∴m＝64，n＝5，
∴m+n＝69，
故选：C．
4．解：第一行第二个数是从4开始的偶数，
第二行第一个数是从2开始的偶数，
∴m＝8×10﹣6＝74，
故选：C．
5．解：∵a1＝0，
∴a2＝|a1﹣1|＝1，
a3＝|a2﹣2|＝1，
a4＝|a3﹣3|＝2，
a5＝|a4﹣4|＝2，
a6＝|a5﹣5|＝3，
a7＝|a6﹣6|＝3，
a8＝|a7﹣7|＝4，
…，
从a2开始，连续两个式子的运算结果相同，
∵（2021﹣1）÷2＝1010，
∴a2021的值1010，
故选：C．
6．解：由题意可得，
f（1）＝2，
f（1）+f（2）＝2+6＝8，
f（1）+f（2）+f（3）＝2+6+2＝10，
f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+6+2+0＝10，
f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）＝2+6+2+0+0＝10，
f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）＝2+6+2+0+0+2＝12，
f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）＝2+6+2+0+0+2+6＝18，
f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）+f（8）＝2+6+2+0+0+2+6+2＝20，
…，
∵2021÷5＝404…1，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…f（2021）
＝（2+6+2+0+0）+（2+6+2+0+0）+（2+6+2+0+0）+…+（2+6+2+0+0）
＝10×404+2
＝4040+2
＝4042，
故选：A．
7．解：∵23＝3+5，
33＝7+9+11，
43＝13+15+17+19，
53＝21+23+25+27+29，
…，
∴a3分裂后的第一个数是a（a﹣1）+1，且共有a个奇数，
∵45×（45﹣1）+1＝1981，
46×（46﹣1）+1＝2071，
∴奇数2021是底数为45的数的立方分裂后的一个奇数，
∴a＝45，
故选：B．
8．解：∵一组连续整数99，100，101，102，…，2020，
∴这组数据一共有2020﹣99+1＝1922个数，
∴99﹣100﹣101+102+103﹣104﹣105+106+…+2015﹣2016﹣2017+2018+2020﹣2019
＝（99﹣100﹣101+102）+（103﹣104﹣105+106）+…+（2015﹣2016﹣2017+2018）+（2020﹣2019）
＝0+0+…+0+1
＝1，
即这些数分别添加“+”和“﹣”，并运算，所得最小非负整数是1，
故选：A．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：∵21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝7，24﹣1＝15，25﹣1＝31，……，
∴计算结果中的个位数字依次以1，3，7，5循环出现，
∵2022÷4＝505…2，
∴22022﹣1的个位数字是3，
故答案为：3．
10．解：由题知m1+m2+m3+m4＝15，
m2+m3+m4+m5＝15，
m3+m4+m5+m6＝15，
.....．
m2017+m2018+m2019+m2020＝15，
∴m1＝m5＝m9＝...＝m4n﹣3，
m2＝m6＝m10＝...＝m4n﹣2，
m3＝m7＝m11＝...＝m4n﹣1，
m4＝m8＝m12＝...＝m4n，
∴m2020＝m4，m1＝m5，
∵m3＝2，m6＝7，m3+m4+m5+m6＝15，
∴m4+m5＝6，
即m1+m2020＝6，
故答案为：6．
11．解：∵a1＝，a2＝﹣，a3＝4，a4＝，…，
∴分别为、﹣、4依次循环，
∵2021÷3＝673…2，
∴a2021的与循环组的第2个数相同，是﹣．
故答案为：．
12．解：由①﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…
可得第n个数是（﹣2）n，
∴第2022个数是22022，
由②1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…
可得第n个数是（﹣2）n﹣1，
∴第2022个数是﹣22021，
由③0，﹣3，3，﹣9，15，﹣33，…
可得③的每一个数是②的对应数﹣1，
∴第n个数是（﹣2）n﹣1﹣1，
∴第2022个数是﹣22021﹣1，
∴22022﹣22021﹣22021﹣1＝﹣1，
故答案为：22022，﹣1．
13．解：当心里想的一个两位数是12时，
则：12﹣（1+2）＝9，
当心里想的一个两位数是21时，
则：21﹣（2+1）＝18，18﹣（1+8）＝9，
当心里想的一个两位数是35时，
则：35﹣（3+5）＝27，27﹣（2+7）＝18，18﹣（1+8）＝9，
故最终得到的数是：9．
故答案为：9．
14．解：∵3×7＝21，13×17＝221，23×27＝621，33×37＝1221，…，
∴[10（a﹣1）+3][10（a﹣1）+7]＝100a（a﹣1）+21，
故答案为：[10（a﹣1）+3][10（a﹣1）+7]＝100a（a﹣1）+21．
15．解：∵，
＝，
∴+…+
＝+++…+
＝×（+…+）
＝
＝
＝．
故答案为：．
16．解：根据题意得，13+23+33+4+…+n3＝n2（n+1）2．
故答案为n2（n+1）2．
三．解答题（共5小题，满分40分）
17．解：（1）第4个等式是：25﹣24＝24，第n个等式是：2n+1﹣2n＝2n，
故答案为：25﹣24＝24，2n+1﹣2n＝2n；
（2）21﹣22﹣23﹣…﹣214+215
＝（215﹣214）﹣213﹣…﹣22+21
＝（214﹣213）﹣212﹣…﹣22+21
＝22+21
＝4+2
＝6．
18．解：（1）由题目中的式子可得，
13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2，
故答案为：（1+2+3+4+5）2；
（2）由题目中的式子可得，
13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2；
（3）113+123+133+143+153
＝（13+23+33+…+153）﹣（13+23+33+…+103）
＝（1+2+3+…+15）2﹣（1+2+3+…+10）2
＝1202﹣552
＝14400﹣3025
＝11375．
19．解：（1）由题意可得，
＝，
故答案为：＝；
（2）++++…++
＝1﹣++…+
＝1﹣
＝，
故答案为：．
20．解：（1）由题意可得，
第8个等式：332﹣292＝8×31，
故答案为：332﹣292＝8×31；
（2）由题意可得，
第n个等式：（4n+1）2﹣（4n﹣3）2＝8（4n﹣1），
验证：左边＝（4n+1）2﹣（4n﹣3）2＝（4n+1+4n﹣3）（4n+1﹣4n+3）＝（8n﹣2）×4＝8（4n﹣1）＝右边；
（3）8×11+8×15+…+8×403+8×407
＝（132﹣92）+（172﹣132）+…+（4052﹣4012）+（4092﹣4052）
＝132﹣92+172﹣132+…+4052﹣4012+4092﹣4052
＝4092﹣92
＝418×400
＝167200．
21．解：（1）观察下列等式：①22﹣12＝3；②32﹣22＝5；③42﹣32＝7，…，
可得第④个式子为：52﹣42＝9，
故答案为：52﹣42＝9；
（2）第n个式子为：（n+1）2﹣n2＝2n+1，
故答案为：（n+1）2﹣n2＝2n+1；
1+3+5+7+…+2019+2021
＝1+（22﹣12）+（32﹣22）+（42﹣32）+…+（10102﹣10092）+（10112﹣10102）
＝1+22﹣12+32﹣22+42﹣32+…+10102﹣10092+10112﹣10102
＝10112
＝1022121．