2022-2023学年北师大版九年级数学上册 4.4探索三角形相似的条件 同步练习题 （Word版含答案）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4.4探索三角形相似的条件》
同步练习题（附答案）
一．选择题
1．将两个完全相同的等腰直角三角形△ABC与△AFG摆成如图的样子，两个三角形的重叠部分为△ADE，那么图中一定相似的三角形是（　　）
A．△ABC与△ADE B．△ABD与△AEC C．△ABE与△ACD D．△AEC与△ADC
2．如图，已知每个小正方形的边长均为1，△ABC与△DEF的顶点都在小正方形的顶点上，那么△DEF与△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列各组条件中，一定能够判定△ABC与△DEF相似的是（　　）
A．∠A＝∠B，∠D＝∠E
B．∠B＝∠E，AB＝3，AC＝4，DE：DF＝3：4
C．△ABC三边长分别为6，18，21，△DEF三边之比为2：7：6
D．∠C＝91°，∠E＝91°，DE：AB＝EF：AC
4．如图，在正方形ABCD中，点E为AD边上的一个动点（与点A，D不重合），∠EBM＝45°，BE交对角线AC于点F，BM交对角线AC于点G，交CD于点M，下列结论中错误的是（　　）
A．△AEF∽△CBF B．△CMG∽△BFG C．△ABF∽△CBG D．△BDE∽△BCG
5．依据下列条件不能判断△ABC和△DEF的相似是（　　）
A．∠A＝40°，∠B＝80°，∠E＝80°，∠F＝60°
B．∠A＝∠E＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝20cm，EF＝16cm
C．∠A＝∠D＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝16cm，EF＝20cm
D．AB＝1cm，BC＝2cm，CA＝1.5cm，DE＝6cm，EF＝4cm，FD＝8cm
6．如图，ABCD是正方形，AF＝2BF，E是CD的中点，P是AD边上的一点，下列条件：（1）∠AFP＝∠DEP；（2）AF PE＝DE PF；（3）PF：PE＝4：3；（4）∠FPE＝60°．其中能推出△APF∽△DPE的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二．填空题
7．如图，在边长为1的正方形网格中有点P、A、B、C，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是　 　．
8．如图，正方形ABCD中，AB＝4，E为BC中点，两个动点M和N分别在边CD和AD上运动且MN＝2，若△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，则DM＝　 　．
9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，D是AB边的中点，P是BC边上一动点（点P不与B、C重合），若以D、C、P为顶点的三角形与△ABC相似，则线段PC＝　 　．
（开放题）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，AE⊥AD交CB延长线于点E，则△BAE相似于△　 　．
11．如图，在矩形ABCD中，作DF⊥AC，垂足为F，延长DF交边AB于点E，在图中一定和△DFC相似的三角形个数是　 　个．
12．如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB＝12，AC＝8，AD＝6，当AP的长度为　 　时，△ADP和△ABC相似．
13．如图，△OPQ在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点A，B，C，D，E也是小正方形的顶点，从点A，B，C，D，E中选取三个点所构成的三角形与△OPQ相似，那么这个三角形是　 　．
14．如图，在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合）当点C的坐标为　 　时，使得△BOC∽△AOB．
15．如图，D是△ABC的边BC上的一点，∠BAD＝∠C，∠ABC的平分线分别与AC、AD相交于点E、F，则图形中共有　 　对相似三角形．（不添加任何辅助线）
三．解答题
16．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F．
（1）试说明△ABD≌△BCE；
（2）△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．
17．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是AB的中点，点E在DC的延长线上，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，交AC的延长线于点G．
（1）求证：AC＝CG；
（2）若点P是直线BG上的一点，试确定点P的位置，使△BCP与△BCD相似．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，MN是点C的任意一条直线，过点A、B分别作BE⊥MN，AD⊥MN，垂足分别为D、E，点F在MN上，且∠FAD＝∠CAB．
（1）找出图中所有的相似的三角形，并选择其中的一对加以证明；
（2）找出图中的相等线段，并加以证明．
19．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADO＝∠BCO
求证：△ABO∽△DCO．
20．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝16，BD＝20，一动点P从B向D运动，问当P离B多远时，△PAB与△PCD是相似三角形？试求出所有符合条件的P点的位置．
参考答案
一．选择题
1．解：△ABE∽△DCA
理由：∵△ABC与△AFG都为等腰直角三角形，
∴∠DAE＝∠B＝∠C＝45°，
∵∠AEB＝∠C+∠CAE＝45°+∠CAE＝∠CAD
∴△ABE∽△DCA，
故选：C．
2．解：AB＝，BC＝，AC＝3，
A、∵ED＝，EF＝2，DF＝3，
∴＝＝，
∴△DEF与△ABC相似；
B、∵DE＝，EF＝1，DF＝2，
∴≠≠，
∴△DEF与△ABC不相似；
C、∵DE＝，EF＝1，DF＝，
∴≠≠，
∴△DEF与△ABC不相似；
D、∵DE＝，EF＝2，DF＝，
∴≠≠，
∴△DEF与△ABC不相似．
故选：A．
3．解：A、∠A和∠B，∠D和∠E不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项不符合题意；
B、根据∠B＝∠E，不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项不符合题意；
C、△ABC三边长分别为6，18，21，则三边之比为2：6：7，由△DEF三边之比为2：7：6可知△ABC与△DEF相似，故此选项符合题意；
D、DE：AB＝EF：AC不是直角三角形的对应边成比例，故不能判定两三角形相似，故此选项不符合题意．
故选：C．
4．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，故选项A不合题意；
∵∠ACD＝∠EBM＝45°，∠CGM＝∠BGF，
∴△CMG∽△BFG；故选项B不合题意；
∵∠ADB＝∠ACB＝∠DBC＝∠EBM＝45°，
∴∠MBC＝∠DBE，
∴△DBE∽△CBG，故选项D不合题意；
故选：C．
5．解：A、∵∠A＝40°，∠B＝80°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°，
∴∠C＝∠F，∠B＝∠E，
∴△ABC∽△DFE，故此选项不符合题意；
B、∵AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝20cm，EF＝16cm，
∴＝且∠A＝∠E，
∴△ABC∽△EFD，故此选项不符合题意；
C、∵AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝20cm，EF＝16cm，
∴＝且∠A＝∠D，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；
D、∵AB＝1cm，BC＝2cm，CA＝1.5cm，DE＝6cm，EF＝4cm，FD＝8cm，
∴＝，
∴△ABC∽△EFD，故此选项不合题意；
故选：C．
6．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠D，AB＝AD＝CD，
∵AF＝2BF，
∴可以假设BF＝m，AF＝2m，则AB＝AD＝CD＝3m，
∴E是CD的中点，
∴DE＝EC＝1.5m，
当∠AFP＝∠DEP时，∵∠A＝∠D＝90°，
∴△APF∽△DPE，
当AF PE＝DE PF时，
∴＝，
设＝＝k，
则AF＝k DE，PF＝k PE，可得AP＝ AF，DP＝ DE，
∴＝，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△APF∽△DPE，
当PF：PE＝4：3，∵AF：DE＝4：3，
∴＝，
∴△APF∽△DPE，
当∠FPE＝60°时，无法判断△APF∽△DPE，
故选：B．
二．填空题
7．解：△APB∽△CPA，
理由如下：
由题意可知：AP＝＝，PB＝1，PC＝5，
∴，，
∵∠APB＝∠CPA，
∴△APB∽△CPA，
故答案为：△APB∽△CPA．
8．解：∵正方形ABCD中，AB＝4，E为BC中点，
∴BE＝2，
由勾股定理得，AE＝＝2，
当△ABE∽△MDN时，＝，即＝，
解得，DM＝，
同理，当△ABE∽△NDM时，DM＝，
∴DM为或，
故答案是：或．
9．解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，
∴AB＝15，
∵D是AB边的中点，
∴CD＝BD＝AB＝7.5，
∵以D、C、P为顶点的三角形与△ABC相似，
∴∠DPC＝90°或∠CDP＝90°，
（1）若∠DPC＝90°，则DP∥AC，
∴＝＝，
∴BP＝BC＝6，
则PC＝6；
（2）若∠CDP＝90°，则△CDP∽△BCA，
∴＝，
即＝，
∴PC＝．
综上所述：PC＝6或．
故答案为：6或．
10．解：因为在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，所以AD＝DC，即∠C＝∠DAC．
又因为AE⊥AD，所以∠EAB＝∠DAC＝∠C，
因为∠E是公共角，所以△BAE∽△ACE．
11．解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD．
∴△DFC∽△EAF．
②∵四边形ABCD是矩形，
∴∠CDA＝90°．
又DF⊥AC，
∴∠DFC＝∠90°．
∴∠1＝∠2（同角的余角相等）．
∴△DFC∽△AFD．
③∵∠1＝∠1，∠CFD＝∠CDA＝90°，
∴△DFC∽△ADC．
④同理，△DFC∽△EAD．
⑤△DFC∽△CBA．
综上所述，在图中一定和△DFC相似的三角形个数是 5个．
故答案是：5．
12．解：当△ADP∽△ACB时，
∴＝，
∴＝，
解得：AP＝9，
当△ADP∽△ABC时，
∴＝，
∴＝，
解得：AP＝4，
∴当AP的长度为4或9时，△ADP和△ABC相似．
故答案为：4或9．
13．解：与△OPQ相似的是△BCD；理由如下：
连接BC、BD，如图所示：
则∠BCD＝90°+45°＝135°＝∠QOP，
由勾股定理得：OP＝BC＝，
∵OQ＝2，CD＝1，
∴，
∴△OPQ∽△CDB；
故答案为：△CDB．
14．解：∵△BOC∽△AOB，
∴＝，
∴＝，
∴OC＝1，
∵点C在x轴上，
∴点C的坐标为（1，0）或（﹣1，0）；
故答案为：（1，0）或（﹣1，0）．
15．解：在△ABC与△DBA中，
∵∠ABD＝∠ABD，∠BAD＝∠C，
∴△ABC∽△DBA，
在△ABF与△CBE中，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBE，
又∠BAF＝∠BCE，
∴△ABF∽△CBE．
同理可证得：△ABE∽△DBF，
所以图形中共有3对相似三角形．
故答案为：3．
三．解答题
16．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE＝∠BAC，
又∵BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE；
（2）答：相似；
理由如下：
∵△ABD≌△BCE，
∴∠BAD＝∠CBE，
∴∠BAC﹣∠BAD＝∠CBA﹣∠CBE，
∴∠EAF＝∠EBA，又∵∠AEF＝∠BEA，
∴△EAF∽△EBA．
17．证明：∵BF∥DE，
∴＝，
∵AD＝BD，
∴AC＝CG．
（2）解：当PB＝5或时，△BCP与△BCD相似；
在△ABC和△GBC中：
，
∴△ABC≌△GBC（SAS），
∴AB＝BG
∴∠DBC＝∠CBP，
∵AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
∴CD＝5，
∵∠DBC＝∠CBP，
第一种情况：若∠DCB＝∠BCP，如图1：
在△BCP与△BCD中
∠DCB＝∠BCP，
BC＝BC，
∠DBC＝∠CBP，
∴△BCP≌△BCD（ASA），
∴BP＝CD＝5；
第二种情况：若∠PCB＝∠DCB，如图2：
∵∠CBD＝∠CBP，
∴△BPC∽△BCD，
∴，
∴BP＝，
综上所述：当PB＝5或时，△BCP与△BCD相似．
18．解：（1）∵作BE⊥MN，AD⊥MN，
∴∠ACB＝∠ADF＝∠BEC＝90°，
∴∠DCA+∠DAC＝∠DCA+∠BCE＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
∴△ADC∽△CEB，
∵∠FAD＝∠CAB，
∴△ADE∽△ACB；
（2）DF＝CE，
∵△ADF∽△ACB，
∴，
∵△ADC∽△CEB，
∴，
∴，
∴，
∴DF＝CE．
19．证明：∵∠ADO＝∠BCO，∠AOD＝∠BOC，
∴△AOD∽△BOC，
∴，
∴，
又∵∠AOB＝∠DOC，
∴△ABO∽△DCO．
20．解：设BP＝x，BD＝20，则PD＝BD﹣BP＝20﹣x，
分两种情况考虑：
假设△PAB∽△PCD，有＝，
又AB＝6，CD＝16，
∴＝，即6（20﹣x）＝16x，
解得：x＝；
假设△PAB∽△CPD，有＝，
∴＝，即x（20﹣x）＝96，
整理得：（x﹣12）（x﹣8）＝0，
解得：x1＝12，x2＝8，
综上，当P离B的距离为或8或12时，△PAB与△PCD是相似三角形．