2022-2023学年北师大版九年级数学上册 4.5相似三角形判定定理的证明 同步练习题 （Word版含答案）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4.5相似三角形判定定理的证明》
同步练习题（附答案）
一．选择题
1．如图，线段BD，CE相交于点A，DE∥BC．若BD＝6，AD＝2，DE＝1.5，则BC的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4.5
2．如图，已知点D、E是AB的三等分点，DF、EG将△ABC分成三部分，且DF∥EG∥BC，图中三部分的面积分别为S1，S2，S3，则S1：S2：S3＝（　　）
A．1：2：3 B．1：2：4 C．1：3：5 D．2：3：4
3．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（　　）
A．16 B．12 C．10 D．8
4．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：EC＝2：3，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则DF：BF等于（　　）
A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2
5．如图，在 ABCD中，E是BC边的中点，AE交对角线BD于点F，若BD＝12，则BF等于（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
6．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若AD＝4，AB＝6，BC＝12，则DE等于（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
7．如图，已知点D在△ABC的BC边上，若∠CAD＝∠B，且CD：AC＝1：2，则CD：BD＝（　　）
A．1：2 B．2：3 C．1：4 D．1：3
8．如图，在△ABC中，DE∥BC，若DE＝2，BC＝6，则＝（　　）
A． B． C． D．
9．如图，△ABC中，∠ABD＝∠C，若AB＝4，AD＝2，则CD边的长是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE，EF⊥AE交CD边于点F，已知AB＝4，则CF的长为（　　）
A． B． C．1 D．2
二．填空题
11．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DE：BC＝1：3，AD＝2，则BD＝　 　．
12．如图，P为等边△ABC边BC上一点，且∠APD＝60°，BP＝4，CD＝3，则△ABC的边长为　 　．
13．如图，平行四边形ABCD中，E为AD延长线上的一点，且BC＝2DE，BE交DC于点F．若CF＝2，则DF的长为　 　．
14．如图，△ABC中，点D是AB边上一点，∠ADC＝∠ACB，AC＝8，AB＝12．则AD＝　 　．
15．如图，已知点D、E分别在三角形ABC的边AB和BC上，DE∥BC，＝，BC＝6cm，则DE＝　 　cm．
16．如图所示，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为　 　．
17．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC＝6，AD＝4，EF＝EH，那么EH的长为　 　．
18．如图，在等边△ABC中，AB＝12，P、Q分别是边BC、AC上的点，且∠APQ＝60°，PC＝8，则QC的长是　 　．
19．如图，在矩形ABCD中，E是边BC边上一点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝6，AD＝8，BE＝2，则AF的长为　 　．
20．如图，点E在矩形ABCD对角线BD上，EF⊥BC于点F，连接AF，若BC＝5，EF＝2，则△ABF的面积为　 　．
21．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，点D、E分别在BC、AC上（点D不与点B、C重合），且∠ADE＝45°，若△ADE是等腰三角形，则CE＝　 　．
22．在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，直角三角板含45°角的顶点P在边BC上移动（点P不与B，C重合），如图，直角三角板的一条直角边始终经过点A，斜边与边AC交于点Q，当△ABP为等腰三角形时，CQ的长为　 　．
三．解答题
23．如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠ADB．
（1）求证：△AED∽△ADC；
（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长．
24．如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AD＝4，AB＝9，求AC的长．
25．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在边AC上，且DE⊥AC交BC于点E．
（1）求证：△CDE∽△CBA；
（2）若AB＝3，AC＝5，E是BC中点，求DE的长．
26．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，
（Ⅰ）求证：△AFE∽△CFD；
（Ⅱ）若AB＝4，AD＝3，求CF的长．
27．如图，AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∠BAF＝∠DAG．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）若DE＝3，，求BC的长．
28．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝15，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（2）若DF＝9，求线段BE的长．
29．如图，O是 ABCD对角线BD上的一点，且∠AOC＝2∠ABC，OC＝OD，连接OA．
（1）求证： ABCD是菱形；
（2）求证：CD2＝OD BD．
参考答案
一．选择题
1．解：∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝，即＝，
∴BC＝3．
故选：C．
2．解：∵点D、E是AB的三等分点，
∴，，
∵DF∥EG∥BC，
∴△ADF∽△AEG，△ADF∽△ABC，
∴，，
∴S1：S2：S3＝1：3：5，
故选：C．
3．解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴＝，
∴△ABC的面积为16，
故选：A．
4．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD．
∵DE：EC＝2：3，
∴＝＝＝．
∵AB∥CD，
∴△DEF∽△BAF，
∴＝＝．
故选：A．
5．解：由题意可知：BE＝AD，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴，
∴2BF＝DF，
∵BD＝12，
∴BF＝BD＝4，
故选：B．
6．解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴DE＝8．
故选：C．
7．解：∵∠CAD＝∠B，∠ACD＝∠BCA，
∴△ACD∽△BCA，
∴＝＝，
∴BC＝2AC＝4CD，
∴CD：BD＝1：（4﹣1）＝1：3．
故选：D．
8．解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
故选：A．
9．解：∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴，AC＝AD+DC，
∴，
∴DC＝6．
答：DC边的长为6．
故选：C．
10．解：由题意可知：BE＝CE＝2，
∵∠AEF＝∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝∠AEB+∠CEF，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△AEB∽△EFC，
∴＝，
∴，
∴CF＝1，
故选：C．
二．填空题
11．解：依题意画出图形，如图：
在△ABC中，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∵DE：BC＝1：3，
∴＝，
∵AD＝2，
∴AB＝6，
∴BD＝AB﹣AD＝6﹣2＝4．
故答案为：4．
12．解：设△ABC的边长为x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠DCP＝∠PBA＝60°．
∵∠APC＝∠APD+∠DPC＝∠BAP+∠ABP，∠APD＝60°，
∴∠BAP＝∠CPD．
∴△ABP∽△CPD．
∴，
∴＝，
∴x＝16，
故答案为：16．
13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AE，
∴△BCF∽△EDF，
∴，
∴＝，
∴DF＝1，
故答案为：1．
14．解：∵∠DAC＝∠CAB，∠ADC＝∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，
∴AC：AB＝AD：AC，即8：12＝AD：8，
∴AD＝．
故答案为．
15．解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴DE＝BC＝6×＝2（cm）．
故答案为2．
16．解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵DE把△ABC分成面积相等的两部分，
∴S△ADE＝S四边形DBCE，
∴＝2，
∴＝，
故答案为：．
17．解：∵四边形EFGH是矩形，
∴EH∥FG，
∴△AEH∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴EH＝3，
故答案为3．
18．解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝12，
∵PC＝8，
∴BP＝4，
∵∠APC＝∠B+∠BAP＝∠APQ+∠CPQ，
∴∠BAP＝∠CPQ，
又∵∠B＝∠C＝60°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴，
∴，
∴QC＝，
故答案为：．
19．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，∠B＝90°，AD∥BC，
∴AC＝＝＝10，
∵BE＝2，
∴EC＝6，
∵AD∥BC，
∴△CEF∽△ADF，
∴，
∴＝，
∴AF＝，
故答案为．
20．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵EF⊥BC，
∴EF∥CD，
∴△BEF∽△BCD，
∴，
∵BC＝5，EF＝2，
∴BF CD＝BC EF＝5×2＝10，
∴BF AB＝10，
∴△ABF的面积＝BF AB＝5，
故答案为：5．
21．解：∵点D不能与B点重合，
∴AD＝AE不能成立，
（或：∵∠ADE＝45°，若AD＝AE，
则∠AED＝ADE＝45°，从而∠DAE＝90°，
即B与D重合，这与已知条件矛盾）．
①当AE、DE为腰，即AE＝DE时（如图1），
∠EAD＝∠EDA＝45°，此时，AD平分∠BAC，
∴D为BC边的中点（“三线合一”性质），
且E也为AC边的中点，
∴CE＝AE＝；
②当AD、DE为腰，即AD＝DE时（如图2），
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，
∴∠B＝∠C＝45°．
∵∠ADE＝45°，
∴∠B＝∠C＝∠ADE．
∵∠ADB＝∠C+∠DAC，∠DEC＝∠ADE+∠DAC，
∴∠ADB＝∠DEC．
∵∠ADC+∠B+∠BAD＝180，∠DEC+∠C+∠CDE＝180°，
∴∠ADC+∠B+∠BAD＝∠DEC+∠C+∠CDE，
∴∠EDC＝∠BAD，
∴△ABD∽△DCE
此时AD与DE为对应边，
∴△ABD≌△DCE，DC＝AB＝，
CE＝BD＝BC﹣CD＝2﹣．
因此CE的长为2﹣或．
故答案为：2﹣或．
22．解：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴BC＝AB＝2，∠B＝∠C＝45°，
∵∠APC＝∠B+∠BAP，即∠APQ+∠CPQ＝∠B+∠BAP，
而∠APQ＝45°，
∴∠BAP＝∠CPQ，
∴△CPQ∽△BAP，
∴＝，
当PB＝PA时，则AP⊥BC，此时BP＝CP＝BC＝，
∴CQ＝＝1；
当BP＝AB＝2时，此时PC＝2﹣1，
∴CQ＝＝2﹣2，
综上所述，CQ的长为1或2﹣2．
故答案为1或2﹣2．
三．解答题
23．（1）证明：∵∠DEC＝∠DAE+∠ADE，∠ADB＝∠DAE+∠C，∠DEC＝∠ADB，
∴∠ADE＝∠C．
又∵∠DAE＝∠CAD，
∴△AED∽△ADC．
（2）∵△AED∽△ADC，
∴＝，即＝，
∴AD＝2或AD＝﹣2（舍去）．
又∵AD＝AB，
∴AB＝2．
24．（1）证明：∵∠ABC＝∠ACD，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ACD；
（2）解：∵△ABC∽△ACD，
∴＝，即＝，
∴AC＝6．
25．（1）证明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，
∴∠CDE＝90°＝∠B．
又∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CBA．
（2）解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，
∴BC＝＝4．
∵E是BC中点，
∴CE＝BC＝2．
∵△CDE∽△CBA，
∴＝，即＝，
∴DE＝＝．
26．（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥DC
∴∠FAE＝∠FCD，∠FEA＝∠FDC
∴△AFE∽△CFD
故△AFE∽△CFD得证．
（Ⅱ）解：由（1）知△AFE∽△CFD，
∴
而E是边AB的中点，且AB＝4，AD＝3
∴AE＝2，AC＝5
∴＝＝
而AC＝5
∴AF＝，CF＝
故CF的长为．
27．（1）证明：∵AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，
∴AF⊥BC，AG⊥DE，
∴∠AFB＝90°，∠AGD＝90°，
∴∠BAF+∠B＝90°，∠DAG+∠ADG＝90°，
∵∠BAF＝∠DAG，
∴∠B＝∠ADG，
又∵∠EAD＝∠BAC，
∴△ABC∽△ADE；
（2）解：∵△ADE∽△ABC，
∴，
∵，BC＝3，
∴，
∴BC＝．
28．（1）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴BC＝AD＝10，AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠AEB＝∠DAF，
∵DF⊥AE，
∴∠F＝90°，
∴∠B＝∠F，
∴△AFD∽△EBA；
（2）∵△AFD∽△EBA，
∴＝，
∵DF＝9，∠F＝90°，
∴AF＝＝12，
∴＝，
∴BE＝8．
29．证明：（1）连接AC，交BD于H，
∵OC＝OD，
∴∠DCO＝∠CDO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝∠ADO+∠CDO，AH＝CH，
∵∠AOB＝∠ADO+∠DAO，∠COB＝∠DCO+∠CDO＝2∠CDO，∠AOC＝2∠ABC，
∴∠AOB+∠COB＝2∠ADO+2∠CDO，
∴∠AOB＝2∠ADO，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴OA＝OD，
∴OA＝OC，
又∵AH＝CH，
∴OB⊥AC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，
∴∠BDC＝∠CBD．
由（1）得∠ODC＝∠OCD，
∴∠OCD＝∠DBC．
在△CDO和△BDC中，
∵∠ODC＝∠CDB，∠OCD＝∠CBD
∴△CDO∽△BDC．
∴，
即CD2＝OD BD．