2022-2023学年北师大版九年级数学上册 4.5相似三角形判定定理的证明 解答专项练习题（Word版含答案）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4.5相似三角形判定定理的证明》
解答专项练习题（附答案）
1．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且BE平分∠ABC，∠ABE＝∠ACD，BE，CD交于点G．
（1）求证：＝；
（2）连接DE，求证：DE＝CE；
（3）若CD⊥AB，AD＝2，BD＝3，求线段EG的长．
2．如图，在Rt△ABC中，AC＝4，∠BAC＝90°，∠B＝30°，D是BC上一点，AE⊥AD，∠ADE＝30°，连接CE．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）求证：△ACE∽△ABD；
（3）设CE＝x，当CD＝2CE时，求x的值．
3．如图，在△ABC中，AG⊥BC，垂足为点G，点E为边AC上一点，BE＝CE，点D为边BC上一点，GD＝GB，连接AD交BE于点F．
（1）求证：∠ABE＝∠EAF；
（2）求证：AE2＝EF EC；
（3）若CG＝2AG，AD＝2AF，BC＝5，求AE的长．
4．如图，E是矩形ABCD的边BC上的一点，AC是其对角线，连接AE，过点E作EF⊥AE，EF交AC于点M，EF交DC于点F，过点B作BG⊥AC于点G，BG交AE于点H．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）求证：AH CM＝BH EM；
（3）若E是BC的中点，＝，AB＝6，求EM的长．
5．如图，△ABC中，DE∥BC，G是AE上一点，连接BG交DE于F，作GH∥AB交DE于点H．
（1）如图1，与△GHE相似的三角形是　 　（直接写出答案）；
（2）如图1，若AD＝3BD，BF＝FG，求的值；
（3）如图2，连接CH并延长交AB于P点，交BG于Q，连接PF，则一定有PF∥CE，请说明理由．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于E，EF∥BC交AC于F．
（1）求证：△ACD∽△ADE；
（2）求证：AD2＝AB AF；
（3）作DG⊥BC交AB于G，连接FG，若FG＝5，BE＝8，直接写出AD的长．
7．已知四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，E为BC边上一动点且不与B、C重合，连接AE（1）如图1，过点E作EN⊥AE交CD于点N．
①若BE＝1，求CN的长；
②将△ECN沿EN翻折，点C恰好落在边AD上，求BE的长；
（2）如图2，连接BD，设BE＝m，试用含m的代数式表示S四边形CDFE：S△ADF值．
8．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC延长线上一点，连接AP，分别交BD，CD于点E，F，过点B作BG⊥AP于G，交线段AC于H．
（1）若∠P＝25°，求∠AHG的大小；
（2）求证：AE2＝EF EP．
9．如图，在正方形ABCD中，边长为4，∠MDN＝90°，将∠MDN绕点D旋转，其中DM边分别与射线BA、直线AC交于E、Q两点，DN边与射线BC交于点F；连接EF，且EF与直线AC交于点P．
（1）如图1，点E在线段AB上时，
①求证：AE＝CF；
②求证：DP垂直平分EF；
（2）当AE＝1时，求PQ的长．
10．如图，∠ABC＝∠DBE＝90°，C是DE的中点．
（1）求证：△ABD∽△AEB；
（2）当＝时，求的值；
（3）在（2）的条件下，作∠BAC的平分线，与BE交于点F，若AF＝8，求DE的长．
11．如图，已知：正方形ABCD，点E在CB的延长线上，连接AE、DE，DE与边AB交于点F，FG∥BE交AE于点G．
（1）求证：GF＝BF；
（2）若EB＝1，BC＝4，求AG的长；
（3）在BC边上取点M，使得BM＝BE，连接AM交DE于点O．求证：FO ED＝OD EF．
12．阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，＝，AD与BE相交于点P，求的值．
小昊发现，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F，通过构造△CEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
请回答：的值为　 　．
参考小昊思考问题的方法，解决问题：
（1）如图3，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，点E在AC上，且．求的值；
（2）如图4，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，点E在AC上，且，直接写出的值为　 　．
13．如图1所示，点A、D、C、E在同一直线上，满足∠ABC＝90°，BD⊥BE，且CD＝CB＝CE．
（1）求证：△ABD∽△AEB；
（2）若AB＝BC，求的值；
（3）如图2所示，在（2）的条件下，∠BAE的平分线交BE于F，AF＝2，求BC的值．
14．已知：在△ABC中，点D在BC边上，过点C作一直线与边AB及AD分别交于点F、E．
（1）如图，当＝时，求证：＝；
（2）如图，当＝时，猜想：与之间是否存在着一定的数量关系？若存在，请写出它们之间的关系式，并给出证明过程；若不存在，请说明理由．
15．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．
（1）如图①，当∠ABC＝45°时，求证：AD＝DE；
（2）如图②，当∠ABC＝30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；
16．已知Rt△ABC中，∠AOB＝90°，，∠OAB＝30°，点D在线段AO上，连接BD，如图1，过点D作DE⊥AB 于点E．
（1）F为BD的中点，连接OF、EF，若OD＝8，求EF的长．
（2）将图1中的△ADE绕点A旋转，使D、E、B三点在一条直线上，如图2，过点O作OG⊥OE交BD于点G．
①求的值；
②若点F为线段BD的中点，，直接写出线段OF的长度．
17．已知：在正方形ABCD中，E为BC延长线上一点，连接AE分别交DC、DB于F、G．求证：
（1）∠DAG＝∠DCG；
（2）AG2＝GE GF；
（3）已知，，求该正方形的边长．
18．在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．
（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；
（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；
（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．
19．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E是AB边上一点，EF⊥CE交AD于点F，过点E作∠AEH＝∠BEC，交射线FD于点H，交射线CD于点N．
（1）如图a，当点H与点F重合时，求BE的长；
（2）如图b，当点H在线段FD上时，设BE＝x，DN＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）连接AC，当△FHE与△AEC相似时，求线段DN的长．
20．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F．
（1）如图①，若AC＝BC，CE＝EA，探索线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图②，若AC＝mBC，CE＝kEA，探索线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论．
参考答案
1．证明：（1）∵∠ABE＝∠ACD，∠A＝∠A，
∴△ABE∽△ACD，
∴；
（2）∵，
∴，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴∠AED＝∠ABC，
∵∠AED＝∠ACD+∠CDE，∠ABC＝∠ABE+∠CBE，
∴∠ACD+∠CDE＝∠ABE+∠CBE，
∵∠ABE＝∠ACD，
∴∠CDE＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠CDE＝∠ABE＝∠ACD，
∴DE＝CE；
（3）∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝∠CDE+∠ADE＝90°，
∵∠ABE＝∠ACD，∠CDE＝∠ACD，
∴∠A＝∠ADE，∠BEC＝∠ABE+∠A＝∠A+∠ACD＝90°，
∴AE＝DE，BE⊥AC，
∵DE＝CE，
∴AE＝DE＝CE，
∴AB＝BC，
∵AD＝2，BD＝3，
∴BC＝AB＝AD+BD＝5，
在Rt△BDC中，CD＝＝＝4，
在Rt△ADC中，AC＝＝＝2，
∴DE＝AE＝CE＝，
∵∠ADC＝∠GEC＝90°，∠ACD＝∠GCE，
∴△CGE∽△CAD，
∴，
∴GE＝＝＝．
2．（1）证明：∵AE⊥AD，∠BAC＝90°，
∴∠EAD＝∠CAB＝90°，
∵∠B＝30°，∠ADE＝30°，
∴∠B＝∠ADE，
∴△ADE∽△ABC；
（2）证明：∵∠EAD＝∠CAB＝90°，
∴∠EAC＝∠DAB＝90°﹣∠CAD，
∵△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴△ACE∽△ABD；
（3）解：在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝4，∠B＝30°，
∴BC＝2AC＝8，AB＝＝＝4，
∵CE＝x，CD＝2CE，
∴CD＝2x，
∵△ACE∽△ABD，
∴＝，
∴＝，
∴BD＝x，
∴BC＝CD+BD＝2x+x＝8，
解得：x＝16﹣8．
3．（1）证明：∵EB＝EC，
∴∠EBC＝∠C，
∵AG⊥BD，BG＝GD，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠ABD＝∠ABE+∠EBC，∠ADB＝∠DAC+∠C，
∴∠ABE＝∠DAC，
即∠ABE＝∠EAF．
（2）证明：∵∠AEF＝∠BEA，∠EAF＝∠ABE，
∴△AEF∽△BEA，
∴＝，
∴AE2＝EF EB，
∵EB＝EC，
∴AE2＝EF EC．
（3）解：设BE交AG于J，连接DJ，DE．
∵AG垂直平分线段BD，
∴JB＝JD，
∴∠JBD＝∠JDG，
∵∠JBD＝∠C，
∴∠JDB＝∠C，
∴DJ∥AC，
∴∠AEF＝∠DJF，
∵AF＝DF，∠AFE＝∠DFJ，
∴△AFE≌△DFJ（AAS），
∴EF＝FJ，AE＝DJ，
∵AF＝DF，
∴四边形AJDE是平行四边形，
∴DE∥AG，
∵AG⊥BC，
∴ED⊥BC，
∵EB＝EC，
∴BD＝DC＝，
∴BG＝DG＝，
∵tan∠JDG＝tan∠C＝＝＝，
∴JG＝，
∵∠JGD＝90°，
∴DJ＝＝＝，
∴AE＝DJ＝．
4．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABE＝∠ECF＝90°．
∵AE⊥EF，∠AEB+∠FEC＝90°．
∴∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△ABE∽△ECF；
（2）证明：∵BG⊥AC，
∴∠ABG+∠BAG＝90°，
∴∠ABH＝∠ECM，
由（1）知，∠BAH＝∠CEM，
∴△ABH∽△ECM；，
∴＝，
∴AH CM＝BH EM；
（3）解：作MR⊥BC，垂足为R，
∵＝，AB＝6，
∴BC＝8，
∵E是BC的中点，
∴BE＝EC＝4，
∵△ABE∽△ECF，
∴＝，即＝
∴CF＝，
∵CD∥RM∥AB，
∴△ERM∽△ECF，△CRM∽△CBA，
∴＝，＝，即＝，＝，
∴RM＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
∵△ABE∽△ECF，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴EM＝RM＝×＝．
5．（1）解：如图1中，
∵GH∥AD，
∴△GHE∽△ADE，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△GHE∽△ADE∽△ABC，
故答案为△ADE，△ABC．
（2）解：∵GH∥BD，
∴∠FGH∠DBF，
∵BF＝FG，∠DFB＝∠GFH，
∴△BFD≌△GFH（ASA），
∴BD＝GH，
∵GH∥AD，
∴＝＝＝，
∴＝．
（3）证明：如图2中，
∵GH∥BD，
∴＝，
∵GH∥PA，
∴＝，
∵DH∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴PF∥AG，即PF∥AC．
6．（1）证明：∵DA平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠DAE，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE＝∠C＝90°，
∴△ACD∽△ADE．
（2）证明：连接DF．
∵EF∥BC，
∴∠AFE＝∠C＝90°，∠AEF＝∠B，
∵∠ADE＝∠AFE＝90°，
∴A，E，D，F四点共圆，
∴∠ADF＝∠AEF，
∴∠B＝∠ADF，
∴∠DAB＝∠DAF，
∴△BAD∽△DAF，
∴＝，
∴AD2＝AB AF．
（3）解：设DG交EF于O．
∵DG⊥BC，AC⊥BC，
∴DG∥AC，
∴∠ADG＝∠DAC＝∠DAG，
∴AG＝GD，
∵∠AED+∠EAD＝90°，∠EDG+∠ADG＝90°，
∴∠GED＝∠GDE，
∴DG＝EG＝AG，
∵∠AFE＝90°，
∴FG＝EG＝AG＝DG＝5，
∵OE∥BD，
∴＝，
∴＝，
∴OG＝，
∴OG∥AF．EG＝AG，
∴OE＝OF，
∴AF＝2OG＝，
∴AD2＝AB AF＝18×，
∵AD＞0，
∴AD＝．
7．解：（1）①∵BE＝1，
∴CE＝BC﹣BE＝4﹣1＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠BEA＝90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠BEA+∠FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
∴△ABE∽△ECN，
∴＝，
即：＝，
解得：CN＝；
②过点E作EF⊥AD于F，如图1所示：
则四边形ABEF是矩形，
∴AB＝EF＝2，AF＝BE，
由折叠的性质得：CE＝C′E，CN＝C′N，∠EC′N＝∠C＝90°，
∴∠NC′D+∠EC′F＝90°，
∵∠C′ND+∠NC′D＝90°，
∴∠EC′F＝∠C′ND，
∵∠D＝∠EFC′，
∴△EC′F∽△NC′D，
∴＝＝，
∴＝＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝＝，
∴C′D＝BE，
设BE＝x，则C′D＝AF＝x，C′F＝4﹣2x，CE＝4﹣x，
∴＝，＝，
∴DN＝x（2﹣x），CN＝，
∴CN+DN＝x（2﹣x）+＝CD＝2，
解得：x＝2或x＝，
∴BE＝2或BE＝；
（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴BC＝AD，AD∥BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴＝＝，
∴＝（）2＝，
∴S△ADF＝s△BEF，
S△ABF＝＝＝S△BEF，
S四边形CDFE＝S△ADF+S△ABF﹣S△BEF＝S△BEF+S△BEF﹣S△BEF＝（+﹣1）S△BEF，
∴S四边形CDFE：S△ADF＝（+﹣1）S△BEF：s△BEF＝1+﹣．
8．（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，
∵∠ACB＝∠P+∠CAP，
∴∠CAP＝20°，
∵BG⊥AP，
∴∠AGH＝90°，
∴AHG＝90°﹣20°＝70°．
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴A，C关于BD对称，∠ACB＝∠ACD＝45°，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠ACB＝∠P+∠CAE＝45°，∠ECF+∠ECA＝45°，
∴∠ECF＝∠P，
∵∠CEF＝∠PEC，
∴△CEF∽△PEC，
∴＝，
∴EC2＝EF EP，
∴EA2＝EF EP．
9．（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠ADC＝∠DAE＝∠DCF＝90°，
∴∠ADC＝∠MDN＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF．
②∵△ADE≌△CDF（ASA），
∴DE＝DF，∵∠MDN＝90°，
∴∠DEF＝45°，
∵∠DAC＝45°，
∴∠DAQ＝∠PEQ，∵∠AQD＝∠EQP，
∴△AQD∽△EQP，
∴＝，
∴＝，∵∠AQE＝∠PQD，
∴△AQE∽△DQP，
∴∠QDP＝∠QAE＝45°，
∴∠DPE＝90°，
∴DP⊥EF，∵DE＝DF，
∴PE＝PF，
∴DP垂直平分线段EF．
（2）解：①当点E在线段AB上时，作QH⊥AD于H，QG⊥AB于G．
在Rt△ADE中，DE＝＝，
∵∠QAH＝∠QAG＝45°，
∴HQ＝QG＝AH＝AG，设QH＝x，
∵×4×x+×1×x＝×1×4，
∵x＝，
∴AQ＝，DQ＝＝，EQ＝，
∵△AQD∽△EQP，
∴AQ PQ＝DQ EQ，
∴PQ＝＝．
②当点E在BA的延长线上时，作QH⊥AD于H，QG⊥AB于G．
在Rt△ADE中，DE＝＝，
∵∠QAH＝∠QAG＝45°，
∴HQ＝QG＝AH＝AG，设QH＝x，
∵×4×x﹣×1×x＝×1×4，
∵x＝，
∴AQ＝，DQ＝＝，EQ＝，
∵△AQD∽△EQP，
∴AQ PQ＝DQ EQ，
∴PQ＝＝．
综上所述，PQ的长为或．
10．解：（1）证明：∵∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝90°，
∵∠DBE＝90°，C是DE的中点．
∴BC＝CD＝CE，
∴∠E＝∠CBE．
∵∠CBE+∠CBD＝90°，∠ABD+∠CBD＝90°，
∴∠CBE＝∠ABD，
∴∠E＝∠ABD，
又∵∠BAD＝∠EAB，
∴△ABD∽△AEB；
（2）∵＝，
∴设AB＝4，BC＝3，
∴AC＝＝5，
∵BC＝CD＝3，
∴AD＝AC﹣CD＝5﹣3＝2，
由（1）可知：△ABD∽△AEB，
∴＝＝，
∴AB2＝AD AE，
∴42＝2AE，
∴AE＝8，
∴＝＝＝；
∴的值为；
（3）过点F作FG⊥AE于点G，
∵＝，
∴设AB＝4x，BC＝3x，
由（2）可知：AE＝8x，AD＝2x，
∴DE＝AE﹣AD＝6x，
∵AF平分∠BAC，
∴＝，
∴＝＝，
∵tanE＝＝，
∴cosE＝，sinE＝，
∴＝，
∴BE＝x，
∴EF＝BE＝x，
∴sinE＝＝，
∴FG＝x，
∵tanE＝，
∴GE＝2GF＝x，
∴AG＝AE﹣GE＝x，
∵AF2＝AG2+GF2，AF＝8，
∴64＝+，
∴x＝，
∴DE＝6x＝3．
∴DE的长为3．
11．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝CD，
∵GF∥BE，
∴GF∥BC，
∴GF∥AD，
∴，
∵AB∥CD，
，
∵AD＝CD，
∴GF＝BF；
（2）∵EB＝1，BC＝4，
∴＝4，AE＝，
∴＝＝4，
∴AG＝；
（3）延长GF交AM于H，∵GF∥BC，
∴FH∥BC
∴＝，
∴＝，
∵BM＝BE，
∴GF＝FH，
∵GF∥AD，
∴，，
∴，
∴＝，
∴FO ED＝OD EF．
12．解：如图2，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F，
∴∠F＝∠APF，∠FCE＝∠EAP，
∵BE为AC边的中线，
∴AE＝CE，
∴△AEP≌△CEF（AAS），
∴AP＝FC，
∵PD∥FC，
∴△BPD∽△BFC，
∴＝，
∴＝，
故答案为：；
（1）如图3，过A作AF∥BC，交BP延长线于点F，
∴△AFE∽△CBE，
∴，
∵，
∴，
设AF＝3x，BC＝2x，
∵，
∴BD＝3x，
∴AF＝BD＝3x，
∵AF∥BD，
∴△AFP∽△DBP，
∴＝＝1；
（2）如图4，过C作CF∥AP交PB于F，
∴△BCF∽△BDP，
∴，
设CF＝2x，PD＝3x，
∵CF∥AP，
∴△ECF∽△EAP，
∴，
∴AP＝7x，AD＝4x，
∴．
故答案为：．
13．解：（1）∵∠ABC＝90°，∠DBE＝90°，
∴∠ABD＝∠CBE，
∵BC＝CE，
∴∠CBE＝∠E，
∴∠ABD＝∠E，
∵∠A＝∠A，
∴△ABD∽△AEB；
（2）∵AB：BC＝4：3，
∴设AB＝4，BC＝3，
∴AC＝＝5，
∵BC＝CD＝3，
∴AD＝AC﹣CD＝5﹣3＝2，
由（1）可知：△ABD∽△AEB，
∴＝＝，
∴AB2＝AD AE，
∴42＝2AE，
∴AE＝8，
在Rt△DBE中
＝＝＝；
（3）过点F作FM⊥AE于点M，
∵AB：BC＝4：3，
∴设AB＝4x，BC＝3x，
∴由（2）可知；AE＝8x，AD＝2x，
∴DE＝AE﹣AD＝6x，
作FN⊥AB，交AB延长线于点N，作AP⊥EB，交EB于点P，
∴S△ABF＝AB FN＝BF AP，S△AEF＝EF AP＝AE FM，
∵AF平分∠BAC，
∴FN＝FM，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴＝，
∴BE＝x，
∴EF＝BE＝x，
∴MF＝x，
∴ME＝2MF＝x，
∴AM＝AE﹣ME＝x，
∵AF2＝AM2+MF2，
∴4＝（x）2+（x）2，
∴x＝，
BC＝3x＝．
14．解：（1）如图1，过D作DG∥FC交AB于G，
∴＝，
∴FB，
∵EF∥DG
∴；
（2）猜想，
证明：如图2，过D作DG∥FC交AB于G，
∴，
∴FG＝，
∴＝．
15．（1）证明：如图1，过点D作DF⊥BC，交AB于点F，
则∠BDE+∠FDE＝90°，
∵DE⊥AD，
∴∠FDE+∠ADF＝90°，
∴∠BDE＝∠ADF，
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠C＝45°，
∵MN∥AC，
∴∠EBD＝180°﹣∠C＝135°，
∵∠BFD＝45°，DF⊥BC，
∴∠BFD＝45°，BD＝DF，
∴∠AFD＝135°，
∴∠EBD＝∠AFD，
在△BDE和△FDA中
，
∴△BDE≌△FDA（ASA），
∴AD＝DE；
（2）解：DE＝AD，
理由：如图2，过点D作DG⊥BC，交AB于点G，
则∠BDE+∠GDE＝90°，
∵DE⊥AD，
∴∠GDE+∠ADG＝90°，
∴∠BDE＝∠ADG，
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠C＝60°，
∵MN∥AC，
∴∠EBD＝180°﹣∠C＝120°，
∵∠ABC＝30°，DG⊥BC，
∴∠BGD＝60°，
∴∠AGD＝120°，
∴∠EBD＝∠AGD，
∴△BDE∽△GDA，
∴＝，
在Rt△BDG中，
＝，
∴DE＝AD；
16．解：（1）在Rt△ABC中，∠AOB＝90°，，∠OAB＝30°，
∴OB＝6，AB＝12，
在Rt△OBD中，∵OD＝8，
∴BD＝＝10，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴EF＝BD＝5；
（2）①∵∠AOB＝90°，
∵OG⊥OE，
∴∠EOG＝90°，
∴∠AOB﹣∠AOG＝∠EOG﹣∠AOG，
∴∠AOE＝∠BOG，
∵∠AEG+∠OEG＝∠EOG+∠OEG，
∴∠AEO＝∠OGB，
∴△AEO∽△OGB，
∴＝＝；
②在Rt△ADE中，∵∠DAE＝30°，AD＝2，
∴AE＝3，DE＝，
∵＝；
∴BG＝，
∴DE＝BG，
∵点F为线段BD的中点，
∴点F为线段EG的中点，
在Rt△AEB中，
BE＝＝3，
∴EG＝3﹣，
∴OF＝EG＝．
17．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，∠ADG＝∠CDG＝45°，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DAG＝∠DCG；
（2）∵AD∥BE，
∴∠DAG＝∠E，
∵△ADG≌△CDG，
∴∠DAG＝∠GCD，AG＝CG，
∴∠GCD＝∠E，
∵∠GCE＝∠GCD+90°，∠GFC＝∠DAG+90°，
∴∠GFC＝∠GCE，
∴△GCF∽△GEC，
∴CG2＝GE GF，
∴AG2＝GE GF；
（3）∵，，
∴GE＝GF+EF＝3﹣3，
∵CG2＝GE GF，
∴CG＝3﹣，
∴GF：CG＝CF：CE＝1：，
∵EF＝2﹣2，
∴CF＝﹣1，CE＝3﹣3，
∵CF∥AB，
∴△EFC∽△EAB，
∴，
∴，
解得：AB＝．
18．解：（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B＝∠ACB＝45°，BC＝BC1，
∴∠CC1B＝∠C1CB＝45°，
∴∠CC1A1＝∠CC1B+∠A1C1B＝45°+45°＝90°．
（2）∵△ABC≌△A1BC1，
∴BA＝BA1，BC＝BC1，∠ABC＝∠A1BC1，
∴，∠ABC+∠ABC1＝∠A1BC1+∠ABC1，
∴∠ABA1＝∠CBC1，
∴△ABA1∽△CBC1．
∴，
∵S△ABA1＝4，
∴S△CBC1＝；
（3）①如图1，过点B作BD⊥AC，D为垂足，
∵△ABC为锐角三角形，
∴点D在线段AC上，
在Rt△BCD中，BD＝BC×sin45°＝，
当P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为：EP1＝BP1﹣BE＝BD﹣BE＝﹣2；
②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为：EP1＝BC+BE＝2+5＝7．
19．解：（1）∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠BEC＝90°，
∵∠AEF＝∠BEC，
∴∠AEF＝∠BEC＝45°，
∵∠B＝90°，
∴BE＝BC，
∵BC＝3，
∴BE＝3；
（2）过点E作EG⊥CN，垂足为点G，
∴四边形BEGC是矩形，
∴BE＝CG，
∵AB∥CN，
∴∠AEH＝∠ENC，∠BEC＝∠ECN，
∵∠AEH＝∠BEC，
∴∠ENC＝∠ECN，
∴EN＝EC，
∴CN＝2CG＝2BE，
∵BE＝x，DN＝y，CD＝AB＝4，
∴y＝2x﹣4（2≤x≤3）；
（3）∵∠BAD＝90°，
∴∠AFE+∠AEF＝90°，
∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠CEB＝90°，
∴∠AFE＝∠CEB，
∴∠HFE＝∠AEC，
当△FHE与△AEC相似时，
（ⅰ）若∠FHE＝∠EAC，
∵∠BAD＝∠B，∠AEH＝∠BEC，
∴∠FHE＝∠ECB，
∴∠EAC＝∠ECB，
∴，
∵AB＝4，BC＝3，
∴BE＝，
∵设BE＝x，DN＝y，y＝2x﹣4，
∴DN＝；
（ⅱ）若∠FHE＝∠ECA，如所示，设EG与AC交于点O，
∵EN＝EC，EG⊥CN，
∴∠1＝∠2，
∵AH∥EG，
∴∠FHE＝∠1，
∴∠FHE＝∠2，
∴∠2＝∠ECA，
∴EO＝CO，
设EO＝CO＝3k，则AE＝4k，AO＝5k，
∴AO+CO＝8k＝5，
∴k＝，
∴AE＝，BE＝，
∴DN＝1，
综上所述，线段DN的长为或1时△FHE与△AEC相似．
20．证明：（1）作EH⊥CD，EQ⊥AB，
∵AC＝BC，CD⊥AB，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝90°，∠A＝∠ACD＝45°，
∵EH⊥CD，EQ⊥AB，
∴∠AQE＝∠EHC＝90°，
在△AEQ与△ECH中，
，
∴△AEQ≌△ECH（AAS），
∴EQ＝EH，
∵EH⊥CD，EQ⊥AB，CD⊥AB，
∴四边形EQDH是矩形，
∴∠QEH＝90°，
∴∠FEQ＝∠GEH＝90°﹣∠QEB，
又∵∠EQF＝∠EHG＝90°，EQ＝EH，
∴Rt△EFQ≌Rt△EGH，
∴EF＝EG；
（2）过E作EQ⊥AB，EH⊥CD，
∵CD⊥AB，
∴EQ∥CD，EH∥AB，
∵EF⊥BE，
∴∠EFQ+∠EBF＝90°，
∵∠EBF+∠DGB＝90°，∠DGB＝∠EGH（对顶角相等）
∴∠EFQ＝∠EGH，
∴△EFQ∽△EGH，
∴＝，
在△ADC中，
∵EQ∥CD，
∴＝，
又∵CE＝kEA，
∴AC＝（k+1）AE
∴CD＝（k+1）EQ，
同理＝，
∴AD＝EH，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝mBC
即＝，
∴＝，
∴EF＝EG．