2022-2023学年北师大版数学九年级上册6.2 反比例函数的图象与性质 同步练习（较难）（Word版含答案）

北师大版九上 6.2 反比例函数的图象与性质
一、选择题（共8小题）
1. 已知函数 中， 随 的增大而减小，那么它和函数 在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是
A. B.
C. D.
2. 如图，点 在反比例函数 的图象上，且横坐标为 ．若将点 先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后得到点 ．则在第一象限内，经过点 的反比例函数图象的解析式是
A. B.
C. D.
3. 如图，在平面直角坐标系 中，点 是反比例函数 图象上的一点，则 的面积为
A. B. C. D.
4. 函数 的图象可能是
A. B.
C. D.
5. 如图所示，在反比例函数 （）的图象上，有点 ，，，，它们的横坐标依次为 ，，，．分别过这些点作 轴与 轴的垂线，图中阴影部分的面积从左到右依次为 ，，，则
A. B. C. D. 无法确定
6. 函数 与 在同一直角坐标系中的大致图象可能是
A. B.
C. D.
7. 如果反比例函数 （ 为常数）的图象经过点 ，那么 的取值范围是
A. B. C. D.
8. 如图，点 在反比例函数 （）的图象上，点 在反比例函数 （）的图象上，且 轴，，垂足为点 ，交 轴于点 ，则 的面积为
A. B. C. D.
二、填空题（共6小题）
9. 反比例函数 的图象如图所示，点 在反比例函数的图象上，则矩形 的面积是 ．
10. 已知一个函数的图象与 的图象关于 轴对称，则该函数的解析式为 ．
11. 已知反比例函数 ，当 时， 的值随 的值的增大而增大，则实数 的取值范围 ．
12. 我们知道，一次函数 的图象可以由正比例函数 的图象向上平移 个长度单位得到．将函数 的图象向 平移 个长度单位得到函数 的图象．
13. 在反比例函数 的图象所在的每个象限中，如果函数值 随自变量 的增大而增大，那么常数 的取值范围是 ．
14. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 为菱形， 在 轴的正半轴上，，过点 的反比例函数 的图象与 交于点 ，则 的面积为 ．
三、解答题（共6小题）
15. 反比例函数 在一象限上有两点 ，．
（1）如图 ， 轴于 ， 轴于 ，求证： 的面积与 面积相等；
（2）如图 ，若点 ， 且 的面积为 ，求 值．
16. 我们规定：形如 （，， 为常数，且 ）的函数叫做“奇特函数”，当 时，“奇特函数” 就是反比函数 ．
（1）若矩形的两边长分别是 和 ，当这两边长分别增加 和 后，得到的新矩形的面积为 ，求 关于 的函数表达式，并判断这个函数是否为“奇特函数”．
（2）如图所示，在平面直角坐标系中，点 为原点，矩形 的顶点 ， 的坐标分别为 ，， 是 的中点，连接 ， 交于点 ，“奇特函数” 的图象经过 ， 两点．
① 求这个“奇特函数”的表达式．
② 把反比例函数 的图象向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度就可得到中所得“奇特函数”的图象，过线段 的中点 的一条直线 与这个“奇特函数”的图象交于 ， 两点，若以 ，，， 为顶点组成的四边形面积为 ，请直接写出点 的坐标．
17. 已知反比例函数 的图象在第二、四象限内．
（1）求 的取值范围；
（2）若 ， 是这个反比例函数图象上的两个点，试比较 ， 的大小．
18. 如图， 轴，且分别交双曲线 和 于 ， 两点，求 的面积．
19. 图中的曲线是反比例函数 （ 为常数）图象的一支．
（1）根据图象位置，求 的取值范围；
（2）若在该函数的图象上任取一点 ，过 点作 轴的垂线，垂足为 ，当 的面积为 时，求 的值．
20. 定义：如果一个 与 的函数图象经过平移后能与某反比例函数的图象重合，那么称这个函数是 与 的“反比例平移函数”．例如： 的图象向左平移 个单位，再向下平移 个单位得到 的图象，则 是 与 的“反比例平移函数”．
（1）若矩形的两边分别是 ，，当这两边分别增加 ， 后，得到的新矩形的面积为 ，求 与 的函数表达式，并判断这个函数是否为“反比例平移函数”．
（2）如图，在平面直角坐标系中，点 为原点，矩形 的顶点 ， 的坐标分别为 ，．点 是 的中点，连接 ， 交于点 ，“反比例平移函数” 的图象经过 ， 两点．则这个“反比例平移函数”的表达式为 ；这个“反比例平移函数”的图象经过适当的变换与某一个反比例函数的图象重合，请写出这个反比例函数的表达式 ．
（3）在（2）的条件下，已知过线段 中点的一条直线 交这个“反比例平移函数”图象于 ， 两点（ 在 的右侧），若 ，，， 为顶点组成的四边形面积为 ，请求出点 的坐标．
答案
1. D
2. D
【解析】 点 在反比例函数 的图象上，且横坐标为 ，
点 的纵坐标为 ，即点 的坐标为 ，
将点 先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后得到点 ．
点 的坐标为 ，
经过点 的反比例函数图象的解析式为 ．
3. B
【解析】 点 是反比例函数 图象上的一点，
由反比例函数的几何意义可知：
．
4. C
5. C
【解析】由题意可知，以点 和点 为相对顶点的矩形的面积为 ，且被分成四等份，每份的面积为 ．题图中以点 和点 为相对顶点的矩形的面积也是 ，若将题图中右边两块阴影部分向左平移，可知 ．故选C．
6. B
【解析】当 时，函数 的图象位于第一、三象限，函数 的图象开口向下，顶点在 轴正半轴上，选项B符合题意；
当 时，函数 的图象位于第二、四象限，函数 的图象开口向上，顶点在 轴负半轴上，无选项符合题意．
故选B．
7. D
【解析】，，
点 在第四象限，
的图象的一支位于第四象限，
，
．
8. B
【解析】过 点作 轴于 点，设 交 轴于点 ，如图，
轴，，
四边形 和四边形 都是矩形，
，，
，
的面积 ．
9.
【解析】 点 在反比例函数 的图象上，
矩形 的面积是 ，故答案为 ．
10.
11.
12. 左，
【解析】函数 的图象可以看成是由反比例函数 的图象向左平移 个单位长度得到．
13.
14.
【解析】连接 ，作 于 ，
点 在反比例函数 的图象上，
．
四边形 为菱形，
，
又 ，
为等边三角形，
．
四边形 为菱形，
，
．
15. （1） 设 ，，代入 中，得 ，
所以 ，，
所以 ．
（2） 由题意 ，
所以 ，，
作 轴于 ， 轴于 ．
因为 ，，
所以 ，
解得 ，
所以 ．
16. （1） 由题意得 ，
因为 ，
所以 ．
所以 ．
根据定义， 是“奇特函数”．
（2） ；，，，．
【解析】① 由题意得，，易得：直线 的函数表达式为 ，直线 的函数表达式为 ．
由 得
所以点 ，将点 代入函数 中，得 整理得 解得
所以“奇特函数”的表达式为 ．
② ，，，．
17. （1） 反比例函数 的图象在第二、四象限内，
，
．
（2） 易知 ， 是这个反比例函数图象上位于第四象限的分支上的两个点，结合图象（图略）可知，．
18. 因为 轴，分别交双曲线 和 于 ，，
所以 轴，
所以 ，
，
所以 ．
19. （1） 这个反比例函数的图象分布在第一、三象限，
，解得 ．
（2） 设点 的坐标为 ，
的面积为 ，
，
，
，
．
20. （1） ，
向右平移 个单位，再向上平移 个单位得到 ．
是“反比例平移函数”．
（2） ；
【解析】由题意可得 ，，
直线 ：，
直线 ：，
，
代入 ，
可得“反比例平移函数”的解析式为：，
反比例函数的解析式为：．
（3）
如图，当点 在点 左侧时，设线段 的中点为 ，由反比例函数中心对称性，四边形 为平行四边形．
四边形 的面积为 ，
，
，．
是 的“反比例平移函数”，
，．
过 作 轴的垂线，与 ， 轴分别交于 ， 点．
．
设 ，
即
，
点 的坐标为 ．
当点 在点 右侧时，同理可得点 的坐标为 ．