2022—2023学年人教版九年级数学上册22.1二次函数的图象与性质　同步练习题（word、含解析）

2022-2023学年人教版九年级数学上册《22.1二次函数的图象与性质》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．如果在二次函数的表达式y＝ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是（　　）
A． B．C． D．
2．已知y＝（m+2）x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．0
3．已知A（，y1），B（2，y2），C（﹣，y3）是二次函数y＝3（x﹣1）2+k图象上三点，则y1、y2、y3的大小关系为（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y3＞y1
4．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则这个二次函数的表达式为（　　）
A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝x2+2x+3 C．y＝﹣x2+2x﹣3 D．y＝﹣x2﹣2x+3
5．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
6．关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣3的判断，下列说法正确的是（　　）
A．抛物线的开口方向向上
B．抛物线的对称轴是直线x＝﹣1
C．抛物线对称轴左侧部分是下降的
D．抛物线顶点到x轴的距离是2
7．已知二次函数y＝x2﹣4x+5（0≤x≤3），则它的最大值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．5
8．如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab＜0；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3；③a+b+c＞0；④当x＜1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3．其中，正确的说法有（　　）
A．①②④ B．①②⑤ C．①③⑤ D．②④⑤
9．已知函数y＝2（x+1）2+1，则（　　）
A．当x＜1 时，y 随x 的增大而增大
B．当x＜1 时，y 随x 的增大而减小
C．当x＜﹣1 时，y 随x 的增大而增大
D．当x＜﹣1 时，y 随x 的增大而减小
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的有（　　）个．
①abc＞0；
②2a+b＝0；
③9a+3b+c＜0；
④4ac﹣b2＜0；
⑤a+b≥m（am+b）（m为任意实数）．
A．3 B．2 C．1 D．0
二．填空题
11．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是　 　．（请用“＞”连接排序）
12．抛物线y＝3x2+6x+11的顶点坐标为 　 　．
13．二次函数y＝3（x﹣1）2+5的最小值为　 　．
14．已知二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，则b＝　 　．
15．二次函数y＝x2﹣2x+1在2≤x≤5范围内的最小值为　 　．
16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＝0；②a+c＞b；③抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；④abc＞0．其中正确的结论是　 　（填写序号）．
三．解答题
17．已知二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），且经过点B（3，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）判断点C（2，﹣3）是否在该函数图象上，并说明理由．
18．如图，已知直线l过点A（4，0），B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点P，若S△AOP＝4，试求二次函数的表达式．
19．如图，直线L1：y＝bx+c与抛物线L2：y＝ax2的两个交点坐标分别为A（m，4），B（1，1）．
（1）求m的值；
（2）过动点P（n，0）且垂直于x轴的直线与L1，L2的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，请直接写出n的取值范围．
20．已知二次函数y＝a（x+a）（x+a﹣1）．
（1）当a＝2时，求该二次函数图象的对称轴．
（2）当a＜0时，判断该二次函数图象的顶点所在的象限，并说明理由．
（3）当0＜x＜3时，y随着x增大而增大，求a的取值范围．
21．已知二次函数y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx﹣2的图象相交于A、B两点，如图所示，其中A（﹣1，﹣1），求△OAB的面积．
22．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0）和点B（0，3），且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A（﹣1，0）和B（2，3）两点，抛物线与y轴交于点C．
（1）求一次函数和二次函数的解析式；
（2）求△ABC的面积．
参考答案
一．选择题
1．解：∵a＞0，b＜0，c＜0，
∴﹣＞0，
∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，
故选：C．
2．解：∵y＝（m+2）x|m|+2是y关于x的二次函数，
∴|m|＝2且m+2≠0．
解得m＝2．
故选：B．
3．解：∵二次函数y＝3（x﹣1）2+k图象的对称轴为直线x＝1，
而A（，y1）到直线x＝1的距离最近，C（﹣，y3）到直线x＝1的距离最远，
∴y3＞y2＞y1．
故选：C．
4．解：由图象知抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+k，
将（﹣3，0）、（0，3）代入，得：，
解得：，
则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3，
故选：D．
5．解：A、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误．
故选：A．
6．解：∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，﹣2），
在对称轴左侧，y随x的增大而增大，
∴A、B、C不正确；
∵抛物线顶点到x轴的距离是|﹣2|＝2，
∴D正确，
故选：D．
7．解：y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
由于0≤x≤3，
所以当x＝2时，y有最小值1，
当x＝0时，y有最大值5．
故选：D．
8．解：根据图象可知：
①对称轴﹣＞0，故ab＜0，正确；
②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3，正确；
③x＝1时，y＝a+b+c＜0，错误；
④当x＜1时，y随x值的增大而减小，错误；
⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3，正确．
正确的有①②⑤．故选：B．
9．解：∵y＝2（x+1）2+1，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，故选项A错误，
当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项B错误、选项C错误、选项D正确；
故选：D．
10．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点坐标在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，所以②正确；
∵x＝3时，y＜0，
∴9a+3b+c＜0，所以③正确．
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，所以④正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴函数的最大值为a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），
即a+b≥m（am+b），所以⑤正确．
故选：C．
二．填空题
11．解：如图所示：①y＝a1x2的开口小于②y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0，
③y＝a3x2的开口大于④y＝a4x2的开口，开口向下，则a4＜a3＜0，
故a1＞a2＞a3＞a4．
故答案为：a1＞a2＞a3＞a4
12．解：∵y＝3x2+6x+11＝3（x+1）2+8，
∴抛物线y＝3x2+6x+11的顶点坐标为（﹣1，8），
故答案为（﹣1，8）．
13．解：由于二次函数y＝3（x﹣1）2+5中，a＝3＞0，
所以当x＝1时，函数取得最小值为5，
故答案为5．
14．解：∵二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，
∴＝0，
解得b＝，
故答案为：±4．
15．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴在2≤x≤5范围内，当x＝2时，y取得最小值，此时y＝（2﹣1）2＝1，
故答案为：1．
16．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴2a+b＝0，所以①正确；
∵x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
即a+c＜b，所以②错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）
而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），所以③错误；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴b＝﹣2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以④正确．
故答案为①④．
三．解答题
17．解：（1）设二次函数的解析式是y＝a（x﹣h）2+k，
∵二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），
∴y＝a（x﹣1）2﹣4，
∵经过点B（3，0），
∴代入得：0＝a（3﹣1）2﹣4，
解得：a＝1，
∴y＝（x﹣1）2﹣4，
即二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）点C（2，﹣3）在该函数图象上，
理由是：把C（2，﹣3）代入y＝x2﹣2x﹣3得：左边＝﹣3，右边＝4﹣4﹣3＝﹣3，
即左边＝右边，
所以点C在该函数的图象上．
18．解：设直线l的解析式为y＝kx+b，
把A（4，0），B（0，4）分别代入得，
解得，
∴直线l的关系式为y＝﹣x+4，
设P（t，﹣t+4），
∵S△AOP＝4，
∴×4×（﹣t+4）＝4，解得t＝2，
∴P（2，2），
把P（2，2）代入y＝ax2得4a＝2，解得a＝，
∴二次函数的表达式为y＝x2．
19．解：（1）把B（1，1）代入y＝ax2得：a＝1，
∴抛物线解析式为y＝x2．
把A（m，4）代入y＝x2得：4＝m2，
∴m＝±2．
∵点A在二象限，
∴m＝﹣2．
（2）观察函数图象可知：当﹣2＜x＜1时，直线在抛物线的上方，
∴n的取值范围为：﹣2＜n＜1．
20．解：（1）当a＝2时，y＝2（x+2）（x+1），∴二次函数的对称轴为x＝．
（2）由题知二次函数与x轴的交点坐标为（﹣a，0），（1﹣a，0）；
∵a＜0，
∴二次函数的开口方向向下；又﹣a＞0，1﹣a＞0，所以对称轴所在直线为x＝＝＞0，当x＝时，y＝﹣＞0，
所以顶点坐标（，﹣）在第一象限．
（3）由（2）知，二次函数的对称轴为直线x＝，
∵当0＜x＜3时，y随着x增大而增大，
∴当a＞0时，≤0，解得a≥；
当a＜0，≥3，解得a≤﹣．
∴a的取值范围为a≥或a≤﹣．
21．解：∵一次函数y＝kx﹣2的图象相过点A（﹣1，﹣1），
∴﹣1＝﹣k﹣2，解得k＝﹣1，
∴一次函数表达式为y＝﹣x﹣2，
∴令x＝0，得y＝﹣2，
∴G（0，﹣2），
∵y＝ax2过点A（﹣1，﹣1），
∴﹣1＝a×1，解得a＝﹣1，
∴二次函数表达式为y＝﹣x2，
由一次函数与二次函数联立可得，
解得，，
∴S△OAB＝OG |A的横坐标|+OG 点B的横坐标＝×2×1+×2×2＝1+2＝3．
22．解：（1）∵抛物线经过A、B（0，3）
∴由上两式解得
∴抛物线的解析式为：；
（2）由（1）抛物线对称轴为直线x＝
把x＝代入，得y＝4
则点C坐标为（，4）
设线段AB所在直线为：y＝kx+b，则有，
解得
∴AB解析式为：
∵线段AB所在直线经过点A、B（0，3）
抛物线的对称轴l于直线AB交于点D
∴设点D的坐标为D
将点D代入，解得m＝2
∴点D坐标为，
∴CD＝CE﹣DE＝2
过点B作BF⊥l于点F∴BF＝OE＝
∵BF+AE＝OE+AE＝OA＝
∴S△ABC＝S△BCD+S△ACD＝CD BF+CD AE
∴S△ABC＝CD（BF+AE）＝×2×＝
23．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A（﹣1，0）和B（2，3）两点
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，
设直线AB的解析式为y＝mx+n（m≠0），则
，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝x+1；
（2）令x＝0，则y＝﹣x2+2x+3＝3，
∴C（0，3），
则OC＝3，BC＝2，BC∥x轴，
∴S△ABC＝×BC×OC＝＝3．