2022-2023学年人教版数学九年级下册27.1 图形的相似 同步练习（word、含解析）

27.1 图形的相似
一、选择题（共8小题）
1. 在比例尺为 的地图上，如果A，B两地的距离是 厘米，那么这两地的实际距离是
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
2. 下列说法中正确的个数为
①凡正方形都相似；
②凡等腰三角形都相似；
③凡等腰直角三角形都相似；
④两个相似多边形的面积比为 ，则周长的比为 ．
A. B. C. D.
3. 下列图形中一定是相似形的是
A. 两个等腰三角形 B. 两个菱形
C. 两个矩形 D. 两个正方形
4. 在 中，点 ，， 分别在边 ，， 上，连接 ，，如果 ，，，那么 的值是
A. B. C. D.
5. 已知点 是线段 的黄金分割点，且 ，则下列比例式能成立的是
A. B. C. D.
6. 已知线段 ．按以下步骤作图：
（）作以 为端点的射线 （不与线段 所在直线重合）；
（）在射线 上顺次截取 ；
（）连接 ，过点 作 ，交线段 于点 ．
根据上述作图过程，下列结论中正确的是
A. B.
C. D.
7. 如图，点 是线段 的中点，，下列结论中，说法错误的是
A. 与 相似 B. 与 相似
C. D.
8. 矩形的两边长分别为 和 ，把它按如图方式分割成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，则 的值为
A. B. C. D.
二、填空题（共6小题）
9. 给出以下结论：
①平移前后的两个图形相似；②旋转前后的两个图形相似；③成轴对称的两个图形相似；④放大或缩小前后的两个图形相似．其中正确的是 ．
10. 在比例尺为 的地图上，相距 厘米的两地 ， 的实际距离为 米．
11. 我们知道：四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形是相似四边形．如图，已知梯形 中，，，，， 分别是边 ， 上的点，且 ，如果四边 与四边形 相似，那么 的值是 ．
12. 如图，已知 ，它们分别交直线 ， 于点 ，， 和点 ，，，如果 ，，那么线段 的长是 ．
13. 如图，已知 ，它们依次交直线 ， 于点 ，， 和点 ，，．如果 ，，那么线段 的长是 ．
14. 如图，小芸用灯泡 照射一个矩形相框 ，在墙上形成矩形影子 ．现测得 ，，相框 的面积为 ，则影子 的面积为 ．
三、解答题（共6小题）
15. 如果 能与 ，， 这三个数组成比例，求 的值．
16. 用有向线段（比例尺选用 ）表示两个点的位置差别：
（）点 在点 的正北 处．
（）点 在点 的西北 处．
（）点 在点 的北偏东 方向的 处．
17. 已知：如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴交于点 ，在第一象限内与反比例函数图象交于点 ， 垂直于 轴，垂足为点 ，且 ．求
（1）点 的坐标；
（2）反比例函数的解析式．
18. 根据相似形的定义可以知道，如果一个四边形的四个角与另一个四边形的四个角对应相等，且它们各有的四边对应成比例，那么这两个四边形叫做相似四边形．对应相等的角的顶点叫做这两个相似四边形的对应顶点，以对应顶点为端点的边是这两个相似四边形的对应边，对应边的比叫做这两个相似多边形的相似比．（我们研究的四边形都是指凸四边形）
（1）某学习小组在探究相似四边形的判定时，得到如下两个命题，请判断它们是真命题还是假命题（直接在横线上填写“真”或“假”）．
①梯形的中位线将原梯形分成的两个小的梯形相似； 命题
②有一个内角对应相等的两个菱形相似； 命题
（2）已知：如图 ， 是以 为斜边的等腰直角三角形，以 为直角边作等腰直角三角形 ，再以 为直角边作等腰直角三角形 ．求证：四边形 与四边形 相似．
（3）已知：如图 ，在 中，点 ， 分别在边 ， 上，， 相交于点 ，点 在 的延长线上，连接 ，．如果四边形 与四边形 相似，且点 ，，， 分别对应 ，，，．求证：．
19. 已知：如图，四边形 中，，过点 作 ，分别交 ， 点 ，，且满足 ．
（1）求证：；
（2）求证：．
20. 根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．
（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．
（ⅰ）各边成比例的两个凸四边形相似；（ 命题）
（ⅱ）三个角分别相等的两个凸四边形相似；（ 命题）
（ⅲ）两个大小不同的正方形相似；（ 命题）
（2）如图①，在四边形 和四边形 中，，，．求证：四边形 与四边形 相似；
（3）如图②，四边形 中，， 与 相交于点 ，过点 作 分别交 ， 于点 ，．记四边形 的面积为 ，四边形 的面积为 ，若四边形 四边形 ，求 的值．
答案
1. C
【解析】根据题意， 厘米 米．
即两地间的实际距离是 米．
故选C．
2. B
【解析】①所有正方形的边成比例，角相等，都相似，故①正确；
②等腰三角形形状不一定相同，所以不一定相似，故②错误；
③所有等腰直角三角形的边成比例，角分别相等，都相似，故③正确；
④两个相似多边形的面积比为 ，则周长的比为 ，故④错误．
所以说法正确的有①③，共 个．
故选B．
3. D
【解析】A、两个等腰三角形，三个角不一定相等，因此不一定相似，故本选项错误，不符合题意．
B、两个菱形对应角不一定相等，故本选项不符合题意；
C、两个矩形的边不一定成比例，故不一定相似，故本选项错误，不符合题意，
D、两个正方形四个角相等，各边一定对应成比例，所以一定相似，故本选项正确，符合题意．
4. B
【解析】如图：
，
，
，
，
．
5. C
【解析】根据黄金分割定义可知： 是 和 的比例中项，即 ，
．
6. C
【解析】作出图形如图．
由题意，得 ．
，
，
．
故选：C．
7. D
【解析】，，
，
又 ，
，
故A选项正确；
，
，
为 的中点，
，
，
又 ，
，
故B，C选项正确；
，
，
若 ，则 ，
，
根据现有条件无法判断 ，故 ，
故D选项不正确．
故选：D．
8. B
9. ①②③④
【解析】平移前后、旋转前后、成轴对称的两个图形，放大或缩小前后的两个图形都形状相同，都是相似图形．
10.
【解析】设相距 厘米的两地 ， 的实际距离为 厘米，
根据题意得：，
解得：，
经检验， 是上述方程的解，
，
相距 厘米的两地 ， 的实际距离为 ．
11.
【解析】 四边 与四边形 相似，
，
，，
，
解得：，
四边 与四边形 相似，
．
12.
【解析】，
，
，
又 ，
，
解得 ，
故答案为：．
13.
【解析】，
，
，
设 ，则 ，
，
，
，
解得：，经检验符合题意；
故答案为：．
14.
【解析】由题意可知 ，
，
矩形 的面积：矩形 的面积 ，
又矩形 的面积为 ，则矩形 的面积为 ．
15. 或 或
16. 方向按照上北、下南、左西、右东加以区分，长度按比例缩小．
17. （1） 对于直线 ，当 时，得 ，
解得 ．
直线 与 轴的交点 的坐标为 ．
．
，
．
点 的坐标为 ．
（2） 垂直于 轴，
，
，
，
，
设反比例函数的解析式：，
把点 代入得 ，
反比例函数的解析式：．
18. （1） 假；真.
（2） 因为 ，， 是等腰直角三角形，
所以 ，．
所以 ，，，．
设 ，则 ，，．
所以 ．
所以四边形 与四边形 相似．
（3） 因为如果四边形 与四边形 相似，且点 ，，， 分别对应 ，，，，
所以 ，．
所以 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ．
所以 ，．
所以 ．
所以 ．
19. （1） ，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2） ，
，
，
，
，
，
，，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
．
20. （1） （ⅰ）假
（ⅱ）假
（ⅲ）真
（2） 如图，连接 ，，
，且 ，
，
，，，
，
，
，
，
，
，，，
，，
又 ，，，
四边形 与四边形 相似．
（3） 四边形 四边形 ，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．