2022-2023学年北师大版九年级数学上册 1.2 矩形的性质与判定 同步练习 （Word版含答案）

（北师大版）九年级上册 1.2 矩形的性质与判定 同步练习
一、单选题
1．下列语句正确的是（　　）
A．平行四边形是轴对称图形
B．矩形的对角线相等
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线相等的四边形是矩形
2．如图，有两张形状、大小完全相同的直角三角形纸片（同一个直角三角形的两条直角边不相等），把两个三角形相等的边靠在一起（两张纸片不重叠），可以拼出若干种图形，其中，形状不同的四边形有（　　）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
3．如图：在矩形ABCD中，AB＝1．BC＝ ，P为边AD上任意一点，连接PB，则PB+ PD的最小值为（　　）
A． B．2 C． D．
4．图中是形状、大小都相同的两个长方形，第一个长方形的阴影面积为m，第二个长方形的阴影面积为n，则m与n关系为 （　　）
A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．不确定
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOD=120°，AB=2，则AC的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE所在直线折叠得到△AGE，延长AG交CD于点F，已知CF＝2，FD＝1，则BC的长是（　　）
A．3 B．2 C．2 D．2
7．如图，在中，，P为边上一动点，于E，于F，则的最小值为（　　）
A．2.4 B．4.8 C．5 D．6
8．如图，矩形ABCD中，AB＝2 ，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是（　　）
A．4 +3 B．2 C．2 +6 D．4
二、填空题
9．在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形．你添加的条件是　 　． （写出一种即可）
10．如图，在矩形中，，，，数轴上点所表示的数是　 　．
11．在平面直角坐标系中，矩形 的位置如图所示，其中 ， 轴，则顶点D的坐标为　 　.
12．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为　 　．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG，AE，FG分别交射线CD于点P，H，连接AH，若点P是CH的中点，则△APH的周长为　 　
14．如图，在矩形ABCD中， ， ，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则 的最小值为　 　．
三、解答题
15．已知，如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动．当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标．
16．如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，EF⊥CE且与AB相交于点F，若DE=2，AD+DC=8，且CE=EF，求AE的长。
17．已知：如图，在 ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH为矩形．
18．如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．
求证：四边形AEBD是矩形．
19．如图，在矩形 中， 是 上的一点， ， ，垂足为点 ．求证： ．
20．如图，在矩形ABCD中，E、F分别在AB、CD上，且AE＝CF．求证：四边形DEBF是平行四边形．
21．在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点 ，以点A为旋转中心，把 顺时针旋转，得 .
（Ⅰ）如图①，当旋转后满足 轴时，求点C的坐标.
（Ⅱ）如图②，当旋转后点C恰好落在x轴正半轴上时，求点D的坐标.
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边 上的一点P旋转后的对应点为 ，当 取得最小值时，求点P的坐标（直接写出结果即可）
22．在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、连结OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．
（1）如图1，当t=3时，求DF的长．
（2）如图2，当点E在线段AB上移动的过程中， 的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出 的值．
（3）连结AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值．
参考答案
1．B
2．B
3．C
4．B
5．B
6．B
7．B
8．B
9．对角线相等
10．
11．（3，2）
12．
13．20
14．
15．解：过P作PM⊥OA于M．
（1）当OP=OD时，
OP=5，CO=4，
∴易得CP=3，
∴P（3，4）；
（2）当OD=PD时，
PD=DO=5，PM=4，
∴易得MD=3，从而CP=2或CP'=8，
∴P（2，4）或（8，4）；
综上，满足题意的点P的坐标为（3，4）、（2，4）、（8，4），
16．解： ∠AEF+∠DEC=90°，∠DCE+∠DEC=90°， ∠AEF=∠DCE， CE=EF，∠EAF=∠EDC， ， CD=EA， DE=2，AD+DC=8，DE+2AE=8， AE=3
17．证明：在 ABCD中，
∵AD//BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵AF，BE分别平分∠BAD，∠ABC，
∴∠BAF=∠DAF，∠ABE=∠CBE，
∴∠FAB+∠ABE= (∠DAB+∠ABC)=90°，
∴∠HEF=∠AEB=90°，
同理∠EFG=∠HGF=90°，
∴四边形EFGH是矩形．
18．证明：∵点O为AB的中点，
∴OA=OB，
又∵OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴四边形AEBD是矩形．
19．证明：连接DE，
∵AD=AE，
∴∠AED=∠ADE．
在矩形ABCD中，
AD∥BC，∠C=90°．
∴∠ADE=∠DEC，
∴∠DEC=∠AED．
又∵DF⊥AE，
∴∠DFE=∠C=90°．
∵DE=DE，
∴△DFE≌△DCE（AAS）．
∴DF=DC．
20．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AE＝CF，
∴EB＝FD，EB∥FD，
∴四边形DEBF是平行四边形．
21．解：（Ⅰ）如图①中，作 轴于H.
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴
（Ⅱ）如图②中，作 于K.
在 中，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
（Ⅲ）如图③中，连接PA、AP′，作点A关于y轴的对称点A′，连接DA′交y轴于P′，连接AP′．
由题意PA=AP′，
∴AP′+PD=PA+PD，
根据两点之间线段最短，可知当点P与点P′重合时，PA+PD的值最小．
，
∴直线A′D的解析式为 ，
点P坐标
22．（1）解：当t=3时，点E为AB的中点，
∵A（8，0），C（0，6），
∴OA=8，OC=6，
∵点D为OB的中点，
∴DE∥OA，DE= OA=4，
∵四边形OABC是矩形，
∴OA⊥AB，
∴DE⊥AB，
∴∠OAB=∠DEA=90°，
又∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°，
∴四边形DFAE是矩形，
∴DF=AE=3.
（2）解： 的大小不变。
理由如下：
如图2所示：作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，
∵四边形OABC是矩形，
∴OA⊥AB，
∴四边形DMAN是矩形，
∴∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA，
∴ = ， = ，
∵点D为OB的中点，
∴M、N分别是OA、AB的中点，
∴DM= AB=3，DN= OA=4，
∵∠EDF=90°，
∴∠FDM=∠EDN，
又∵∠DMF=∠DNE=90°，
∴△DMF∽△DNE，
∴ = = .
（3）解：作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，
若AD将△DEF的面积分成1：2的两部分，
设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点；
①当点E到达中点之前时，如图3所示，NE=3-t，
由△DMF∽△DNE得：MF= （3-t），
∴AF=4+MF=- t+ ，
∵点G为EF的三等分点，
∴G（ ， t），
设直线AD的解析式为y=kx+b，
把A（8，0），D（4，3）代入得： ，
解得： ，
∴直线AD的解析式为y=- x+6，
把G（ ， t）代入得：t= ；
②当点E越过中点之后，如图4所示，NE=t-3，
由△DMF∽△DNE得：MF= （t-3），
∴AF=4-MF=- t+ ，
∵点G为EF的三等分点，
∴G（ ， t），
代入直线AD的解析式y=- x+6得：t= ；
综上所述，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，t的值为 或 .