2022—2023学年北师大版数学八年级上册 1.2一定是直角三角形吗 同步复习小测（Word版含答案）

1.2一定是直角三角形吗---八年级同步复习小测（同步训练+课后作业）
【北师大版】
【同步训练】
一、单选题
1． 中， 、 、 的对边分别为a、b、c，若 ，则有（　　）
A． B． C． D．
2．如下图五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（　　）
A．三内角的度数之比为1∶2∶3 B．三内角的度数之比为3∶4∶5
C．三边长之比为3∶4∶5 D．三边长的平方之比为1∶2∶3
4．如图，在中，，分别以点A，点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AB于点O，交AC于D，连接，则的长是（　　）
A． B． C． D．
5．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．1.5，2，2.5 B．7，23，24 C．6，8，10 D．9，12，15
二、填空题
6． 的三边分别是6,8,10，则这个三角形的最大内角的度数是　 　.
7．分别以△ABC的各边为一边向三角形外部作正方形，若这三个正方形的面积分别为6cm2、8cm2、10cm2，则△ABC　 　直角三角形.（填“是”或“不是”）
8．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长都为1，则△ABC是：　 　三角形．
9．三角形的三边a，b，c满足(a－b)2＝c2－2ab，则这个三角形是　 　.
10．在1×3的正方形网格格点上放三枚棋子，按图所示的位置己放置了两枚棋子，若第三枚棋子随机放在其他格点上，则以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率为　 　．
三、解答题
11．如图，在 ABC中，点D是BC上一点，连接AD，若AB=13，BD=5，AD=12，CD=16，求AC的长度．
12．有一块田地的形状和尺寸如图所示，求它的面积.
13．在△ABC中， ，试判断△ABC的形状，并说明理由。
14．如图，已知在 中， ， ，BC边上的中线 ．求证： ．
15．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
【课后作业】
一、单选题
1．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．6，12，8 B．7，24，25 C．1.5，2，2.5 D．9，12，15
2．已知M、N是线段AB上的两点，AM= MN=2，NB=1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC， BC，则△ABC一定是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
二、填空题
3． 如图，每个小正方形边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则AB2＝ 　 　.， ∠ABC　 　.
4．已知：如图，四边形ABDC，AB＝4，AC＝3，CD＝12，BD＝13，∠BAC＝90°．则四边形ABDC的面积是　 　．
5．如图所示的网格是正方形网格，△ 和△ 的顶点都是网格线交点，那么∠ ∠ 　 　°．
6．如图，A、B、C、D均在正方形网格的格点上，则∠ABC-∠DAC=_　 　°
7．如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB﹣∠PCD＝　 　°．（点A，B，C，D，P是网格线交点）
三、解答题
8．如果一个三角形的三边长分别为 ，则这三角形是直角三角形。
9．已知的三边长为a，b，c，且，，，试判断的形状，并说明理由．
10．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解： ，
∴ 是直角三角形，且 ，
故答案为：A.
【分析】如果三角形三边长a、b、c满足 ，那么这个三角形是直角三角形，且边a所对的角是直角.
2．【答案】C
【解析】【解答】由于7，24，25是一组勾股数，15，20，25是一组勾股数，故勾股数构成直角三角形，故答案为：C。
【分析】由于7，24，25是一组勾股数，15，20，25是一组勾股数，故勾股数构成直角三角形。
3．【答案】B
【解析】【解答】A、因为根据三角形内角和定理可求出三个角分别为30度，60度，90度，所以是直角三角形；
B、根据三角形内角和定理可求出三个角分别为45度，60度，75度，所以不是直角三角形；
C、因为32+42=52，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；
D、因为1+2=3，所以是直角三角形．
故答案为：B．
【分析】根据三角形的内角和定理及勾股定理的逆定理进行解答即可．
4．【答案】A
【解析】【解答】解：根据作图可知是的垂直平分线，则，
设，，
，
，
，
是，，
在中，，
，
解得，
即．
故答案为：A．
【分析】由线段的垂直平分线的性质可得，设，则，根据勾股定理的逆定理可判断△ABC是且，在中，根据勾股定理建立关于x的方程并解之即可.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：A、能，因为1.52+22=2.52；
B、不能，因为不符合勾股定理的逆定理；
C、能，因为62+82=102；
D、能，因为92+122=152．
故选B．
【分析】根据勾股定理的逆定理知，当三角形中三边存在：a2+b2=c2关系时是直角三角形．
6．【答案】90°
【解析】【解答】解：∵62＋82＝102，
∴以6，8，10为边能组成直角三角形，
最大的角的度数是90°，
故答案为：90.
【分析】根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再求出答案即可.
7．【答案】不是.
【解析】【解答】∵分别以△ABC的各边为一边向三角形外部作正方形，这三个正方形的面积分别为6cm2、8cm2、10cm2，
∴三边平方后分别为：6，8，10，
∵6+8≠10，
∴△ABC不是直角三角形.
故答案为：不是.
【分析】直接利用正方形的性质结婚和勾股定理的逆定理进而分析得出答案.
8．【答案】直角
【解析】【解答】解：∵AC2=22+32=13，AB2=62+42=52，BC2=82+12=65，
∴AC2+AB2=BC2，∴△ABC是直角三角形．
【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
9．【答案】直角三角形
【解析】【解答】解：∵（a-b）2=c2-2ab，
∴a2-2ab+b2=c2-2ab，
∴a2+b2=c2.
∴△ABC是直角三角形.
故答案为：直角三角形.
【分析】首先对等式进行变形得到a2+b2=c2，然后依据勾股定理的逆定理进行判断即可.
10．【答案】
【解析】【解答】解：∵共有6种等可能的结果，以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的有4种情况，
∴以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率为： ．
故答案为： ．
【分析】由题可知共有6种等可能的结果，以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的有4种情况，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．
11．【答案】解：∵AB=13，BD=5，AD=12，
∴ ，
∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°．
∴∠ADC＝90°，△ADC是直角三角形．
∵DC=16，
∴AC= =20．
【解析】【分析】由三角形三边的关系可判断△ABD是直角三角形，然后由勾股定理即可求出AC的长。
12．【答案】解：连接AC，
在Rt△ACD中，AC为斜边，
已知AD＝4，CD＝3，
则AC＝ ＝5，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ABC﹣S△ACD＝ AC CB﹣ AD DC＝24，
答：面积为24.
【解析】【分析】 连接AC， 在Rt△ACD中 ,利用勾股定理算出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC为直角三角形 ，且∠ACB=90°，从而根据直角三角形的面积计算方法，由S四边形ABCD＝S△ABC﹣S△ACD即可算出答案.
13．【答案】解：△ABC是直角三角形．理由如下：
∵AB2+BC2=32+42=25=52=AC2，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形．
【解析】【分析】分别求出AB2+BC2和AC2的值，利用勾股定理的逆定理，可判断得出△ABC的形状。
14．【答案】证明：∵AD是BC边上的中线
∴
在 中，
∴
∴AD垂直平分BC
∴
【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理即可得出答案。
15．【答案】解：由题意可得：RP=18海里，PQ=24海里，QR=30海里，
∵182+242=302，
∴△RPQ是直角三角形，
∴∠RPQ=90°，
∵“远航”号沿东北方向航行，即沿北偏东45°方向航行，
∴∠RPS=45°，
∴“海天”号沿北偏西45°（或西北）方向航行．
【解析】【分析】先利用勾股定理求出△RPQ是直角三角形，再求出∠RPS=45°，即可得到答案。
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：A、62+82≠122，不符合勾股定理的逆定理，故正确．
B、72+242=252，符合勾股定理的逆定理，故错误；
C、1.52+22=2.52，符合勾股定理的逆定理，故错误；
D、92+122=152，符合勾股定理的逆定理，故错误；
故选A．
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
2．【答案】B
【解析】【解答】如图所示 ，AC=AN=4， BC=BM=3，AB=2+2+1=5，
∴AC2 +BC2 =AB2 ，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90° ，
故答案为：B．
【分析】先求出AC2 +BC2 =AB2 ，再证明求解即可。
3．【答案】10；45
【解析】【解答】解：AB2=12+32=10
连接AC，由勾股定理可知，AC2+BC2=AB2
∴三角形ABC为等腰直角三角形
∴∠ABC=45°
【分析】连接AC，根据勾股定理，即可得到AB2，分别计算得到AC，BC以及AB的长度，由勾股定理的逆定理，即可得到三角形ACB为等腰直角三角形。
4．【答案】36
【解析】【解答】解：连接BC，
∵∠A＝90°，AB＝4，AC＝3
∴BC＝5，
∵BC＝5，BD＝13，CD＝12
∴BC2+CD2＝BD2
∴△BCD是直角三角形
∴S四边形ABCD＝S△BCD+S△ABC＝×4×3+ ×5×12＝36。
故答案为：36
【分析】连接BC，三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理可求出BC的长为5，再根据勾股定理的逆定理可以判定以CD、BD和BC为边的三角形BCD为直角三角形，则四边形ABCD的面积可以用直角三角形ABC与直角三角形BDC的面积之和来求得。
5．【答案】45
【解析】【解答】解：如图，连接AD，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为45
【分析】先利用平行线的性质得出 ，然后通过勾股定理的逆定理得出 为等腰直角三角形，从而可得出答案.
6．【答案】45
【解析】【解答】
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵AE//BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∴∠EAC=∠ABC，
∵△AED是等腰直角三角形，
∴∠EAD=45°，
∵∠EAC-∠DAC=45°，
∴∠ABC-∠DAC=45°，
故答案为：45.
【分析】利用勾股定理和平行线的性质计算求解即可。
7．【答案】45
【解析】【解答】解：连接AE，PE，
则∠EAB＝∠PCD，
故∠PAB﹣∠PCD＝∠PAB﹣∠EAB＝∠PAE，
设正方形网格的边长为a，
则PA＝ ，PE＝ ，AE＝ ，
∵PA2+PE2＝5a2+5a2＝10a2＝AE2，
∴△APE是直角三角形，∠APE＝90°，
又∵PA＝PE，
∴∠PAE＝∠PEA＝45°，
∴∠PAB﹣∠PCD＝45°，
故答案为：45．
【分析】连接AE，PE，由题可知：EAB＝∠PCD，则∠PAB﹣∠PCD＝∠PAB﹣∠EAB＝∠PAE，然后根据勾股定理求出PA、PE、AE的长，再利用勾股定理的逆定理可判断三角形PAE的形状，再计算即可。
8．【答案】解：∵∴∵∠C＝
【解析】【分析】根据已知条件可得 += +=,而=,所以=+,根据勾股定理的逆定理可得∠C=，即三角形是直角三角形。
9．【答案】解：是直角三角形
理由：∵，，
∴；
又∵，∴
∴是以为斜边的直角三角形．
【解析】【分析】利用勾股定理的逆定理证明即可。
10．【答案】连接AC，
在Rt△ABC中，
有AC2=AB2+BC2=4 +3 =25，
又AC>0，
∴AC=5
∵AC2+CD =52+12 =169=13 =AD
∴∠ACD=90°，
S四边形ABCD= AB×BC+ AC×CD=36
【解析】【分析】连接AC，在直角三角形ABC中，根据勾股定理计算得到AC的长度，继而由勾股定理的逆定理求出∠ACD为90°，计算得到四边形的面积即可。