2022-2023学年北师大版九年级数学上册 1.2矩形的性质与判定 同步练习题 （Word版含答案）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．下列四个命题中，正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．两组对边分别相等的四边形是矩形 D．四个角都相等的四边形是矩形
2．下列关于菱形、矩形的说法正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．矩形的对角线相等且互相平分
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是菱形
3．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OB，若AD＝4，∠AOD＝60°，则AB的长为（　　）
A．4 B．2 C．8 D．8
4．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．12
5．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（　　）
A．3 B． C． D．4
6．在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOD＝60°，OB＝2cm，那么矩形ABCD的面积为（　　）
A．cm2 B．2cm2 C．3cm2 D．4cm2
7．如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处．若∠DBC＝24°，则∠A'EB等于（　　）
A．66° B．60° C．57° D．48°
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是（　　）
A．1 B． C．2 D．
9．如图，已知矩形ABCD中，点E在AD上从A向终点D移动，同时点F在DC上从D向终点C移动，G，H分别是EB，EF的中点，那么（　　）
A．线段GH的长逐渐减小 B．线段GH的长逐渐增大
C．线段GH的长保持不变 D．线段GH的长先增大后减小
10．如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，则下面的结论：
①△ODC是等边三角形；②BC＝2AB；
③S△AOB＝S△BOC；④S△AOE＝S△COE，
其中正确的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二．填空题
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在AB边上，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，连接EF，则线段EF的最小值等于 　 　．
12．如图在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AO，AD的中点，若AB＝12cm，BC＝16cm，则EF＝　 　cm．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，点P从点A向点D以每秒1cm的速度运动，Q以每秒4cm的速度从点C出发，在B、C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止（同时点Q也停止），这段时间内，当运动时间为　 　时，P、Q、C、D四点组成矩形．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．D是AC的中点，DE⊥AC，AE∥BD，若BC＝4，AE＝5，则四边形ACBE的周长是　 　．
15．如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E、F、G、H分别是各边的中点，若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积是　 　．
16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOB＝60°，AE平分∠BAD，AE交BC于E，则∠BOE的大小为　 　．
17．如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是以OD为腰的等腰三角形时，则P点的坐标为　 　．
三．解答题
18．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接AF，DE，DF．
（1）求证：四边形AEFD为矩形；
（2）若AB＝3，DE＝4，BF＝5，求DF的长．
19．如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE∥BD，BE∥AC，OE⊥CD．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）连接DE，若AE＝，BC＝2，求DE的长．
20．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，AO＝8，求OE和OG的长．
21．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝12，CF＝9，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；
C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故原命题错误，不符合题意；
D、四个角都相等的四边形是矩形，正确，符合题意，
故选：D．
2．解：A、∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴选项A不符合题意；
B、∵矩形的对角线相等且互相平分，
∴选项B符合题意；
C、∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
∴选项C不符合题意；
D、∵一组对边相等，另一组对边平行的四边形是梯形或平行四边形，
∴选项D不符合题意；
故选：B．
3．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OD＝OB＝BD，OA＝OC＝AC，
∵OA＝OB，
∴OA＝OD，AC＝BD，
∴ ABCD是矩形，
又∵∠AOD＝60°，
∴△AOD为等边三角形．
∴∠ADB＝60°．
∴tan∠ADB＝＝．
∴AB＝AD＝4．
故选：A．
4．解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8，
∴∠DOC＝90°，CD＝＝＝10，
∴平行四边形OCED为矩形，
∴OE＝CD＝10，
故选：C．
5．解：∵四边形COED是矩形，
∴CE＝OD，
∵点D的坐标是（1，3），
∴OD＝＝，
∴CE＝，
故选：C．
6．解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO＝DO＝OB，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠AOD＝60°，
∴△AOD是等边三角形
∴OA＝OD＝AD＝OC＝OB＝2cm，
∴AC＝4cm，
∴DC＝，
∴S矩形ABCD＝AD DC＝2×2＝4（cm2）
故选：D．
7．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
由折叠的性质得：∠BA'E＝∠A＝90°，∠A'BE＝∠ABE，
∴∠A'BE＝∠ABE＝（90°﹣∠DBC）＝（90°﹣24°）＝33°，
∴∠A'EB＝90°﹣∠A'BE＝90°﹣33°＝57°．
故选：C．
8．解：连接CE，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝8，OA＝OC，
∵EF⊥AC，
∴AE＝CE，
设DE＝x，则CE＝AE＝8﹣x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：x2+62＝（8﹣x）2，
解得：x＝，
即DE＝；
故选：B．
9．解：连接BF，
∵G，H分别是EB，EF的中点，
∴GH为△BEF的中位线，
∴GH＝BF，
由于F点从D到C运动，CF的长不断减小，
在Rt△BFC中，BF＝，BF长度也逐渐减小，
故GH的长度逐渐减小，
故选：A．
10．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，OA＝OC，OD＝OB，AC＝BD，
∴OA＝OD＝OC＝OB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝45°，
∵∠CAE＝15°，
∴∠DAC＝45°﹣15°＝30°，
∴∠ACD＝90°﹣∠DAC＝90°﹣30°＝60°，
∵OD＝OC，
∴△ODC是等边三角形，故①正确；
∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAC＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴AC＝2AB，
而AC＞BC，
∴2AB＞BC，故②错误；
∵OA＝OC，
∴S△AOB＝S△BOC、S△AOE＝S△COE，故③、④正确；
故选：C．
二．填空题
11．解：如图，连接CD．
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF＝CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，
∵S△ABC＝BC AC＝AB CD，
∴×8×6＝×10×CD，
解得CD＝4.8，
∴EF＝4.8．
故答案为：4.8．
12．解：在Rt△ABC中，AC＝＝＝20（cm），
∴矩形ABCD中，BD＝20cm，DO＝10cm，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴EF＝OD＝＝5（cm），
故答案为：5．
13．解：根据已知可知：当点P到达点D时，点Q将由C﹣B﹣C﹣B﹣C运动，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠D＝90°，
∴PD∥CQ，
若PD＝CQ，则四边形APQB是矩形，
由题意得DP＝12﹣t，
当0≤t≤3时，CQ＝4t，12﹣t＝4t，
∴t＝2.4（s），
当3＜t≤6时，CQ＝24﹣4t，12﹣t＝24﹣4t，
∴t＝4（s），
当6＜t≤9时，CQ＝4t﹣24，12﹣t＝4t﹣24，
∴t＝7.2（s）；
当9＜t≤12时，CQ＝48﹣4t，12﹣t＝48﹣4t，
∴t＝12（s），此时PQ与DC重合，无法构成矩形，故舍去，
故答案为：2.4s或4s或7.2s．
14．解：∵AE∥BD，
∴∠CDB＝∠DAE，
∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，
∴∠C＝∠ADE＝90°，
∴DE∥BC，
∵D为AC中点，
∴AD＝CD，
在△ADE和△DCB中
∵，
∴△ADE≌△DCB（ASA），
∴DE＝BC＝4，
在Rt△DCB中，BC＝4，BD＝5，由勾股定理得：DC＝3，
∴AD＝DC＝3，
∵ED＝BC，DE∥BC，
∴四边形DEBC是平行四边形，
∴CD＝BE＝3，
∴四边形ACBE的周长是AC+BC+BE+AE＝3+3+4+3+5＝18，
故答案为：18．
15．解：∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，
∴EH∥BD且EH＝BD，FG∥BD且＝BD，
∴EH∥FG，EH＝FG，
同理EF∥HG，EF＝HG，
又∵AC⊥BD，
∴四边形EFGH是矩形，
∴四边形EFGH的面积＝EF×EH＝AC×BD＝×8××6＝12．
16．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OB，∠ABO＝60°，
∴∠OBE＝30°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE，
∴BE＝OB，
∴∠BOE＝（180°﹣30°）＝75°；
故答案为：75°．
17．解：∵四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），
∴BC＝OA＝10，OC＝AB＝4，
∵点D是OA的中点，
∴OD＝AD＝5，
①若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，
在Rt△OPC中，CP＝＝＝3，
则P的坐标是（3，4）．
②若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，
过D作DM⊥BC于点M，
在Rt△PDM中，PM＝＝＝3，
当P在M的左边时，CP＝5﹣3＝2，则P的坐标是（2，4）；
当P在M的右侧时，CP＝5+3＝8，则P的坐标是（8，4）．
综上所述，P的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．
故答案为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．
三．解答题
18．（1）证明：∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴AD＝BC＝EF，
又∵AD∥EF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴平行四边形AEFD为矩形；
（2）解：由（1）知，四边形AEFD为矩形，
∴DF＝AE，AF＝DE＝4，
∵AB＝3，DE＝4，BF＝5，
∴AB2+AF2＝BF2，
∴△BAF为直角三角形，∠BAF＝90°，
∴，
∴AB×AF＝BF×AE，
即3×4＝5AE，
∴，
∴．
19．解：（1）设AB，OE交于F，
∵AE∥BD，BE∥AC，
∴四边形AEBO是平行四边形，
∴AF＝BF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，OD＝OB．
∴OF∥BC，
∵OE⊥CD，
∴OE⊥AB．
∴AB⊥BC，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）连接DE，过E作EH⊥DA交DA的延长线于H，
∵四边形AEBO是平行四边形，
∴AE＝OB，
∵OD＝OB
∴BD＝2AE＝2，
∵AD＝BC＝2，
∴AB＝＝＝2，
∴AF＝AB＝，
∵∠AFE＝∠FAH＝∠AHE＝90°，
∴四边形AHEF是矩形，
∴EH＝AF＝，AH＝EF＝OF＝AD＝1，
∴DE＝＝＝．
20．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴OB＝OD，
∵点E为AD中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG为平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG为矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝10，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝90°，
∴OB＝＝＝6，
∵点E为AD的中点，AD＝10，
∴OE＝AD＝5，
由（1）可知，四边形OEFG是矩形，
∴∠OGA＝90°，
∴OG⊥AB，
∴AB OG＝OA OB，
∴OG＝＝＝．
21．（1）证明：
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠ECB＝∠OEC，
∴∠ACE＝∠OEC，
∴OE＝OC，
同理可得OC＝OF，
∴OE＝OF；
（2）解：∵CE、CF分别平分∠ACB和∠ACD，
∴∠ACE+ACF＝∠BCD＝90°，
∴EF＝＝＝15，
∴OC＝EF＝；
（3）解：当O在AC的中点时，四边形AECF是矩形，
理由如下：
当O为AC中点时，则有OA＝OC＝OE＝OF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵AC＝EF，
∴四边形AECF为矩形．