2022-2023学年北师大版九年级数学上册 1.3正方形的性质与判定 同步练习题 （Word版含答案）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．下列说法正确的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相垂直 B．矩形的邻边相等
C．正方形的对角线互相垂直平分 D．菱形的对角线相等
2．如图，正方形ABCD的边长为7，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝4，则四边形EFGH的面积为（　　）
A．20 B．25 C．30 D．35
3．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，0），点E为对角线的交点，点F与点E关于y轴对称，则点F的坐标为（　　）
A．（﹣2，3） B．（3，﹣3） C．（﹣3，2） D．（﹣3，3）
4．正方形具有而菱形不一定有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对边相等 D．邻边相等
5．下列说法中，是正方形具有而矩形不具有的性质是（　　）
A．两组对边分别平行 B．对角线互相垂直
C．四个角都为直角 D．对角线互相平分
6．正方形ABCD的一条对角线长为6，则这个正方形的面积是（　　）
A．9 B．18 C．24 D．36
7．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°．如果再添加一个条件可推出四边形是正方形，那么这个条件可以是（　　）
A．AB＝CD B．BC＝CD C．∠D＝90° D．AC＝BD
8．在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加以下条件，能判定菱形ABCD是正方形的是（　　）
A．AB＝AC B．OA＝OC C．BC⊥CD D．AC⊥BD
9．下列说法不正确的是（　　）
A．对角线互相垂直的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
10．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则下列结论中不正确的是（　　）
A．当AB＝BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当AC＝BD时，它是矩形 D．当AC垂直平分BD时，它是正方形
二．填空题（共3小题）
11．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点C的坐标是（3，2），则点A的坐标是 　 　．
12．如图，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，AC＝10，AE＝CF＝3，则四边形BFDE的面积为 　 　．
13．两个边长为10cm的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分的面积为　 　cm2．
三．解答题（共7小题）
14．如图，已知菱形ABCD，点E、F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接CE、AF、CF，得四边形AECF．
（1）求证：四边形AECF是正方形；
（2）若BD＝4，BE＝3，求菱形ABCD的面积．
15．如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是各边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．求证：
（1）△AHE≌△BEF；
（2）四边形EFGH是正方形．
16．已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，AE⊥BF，且AE＝BF．
（1）求证：矩形ABCD是正方形；
（2）联结BE、EF，当线段DF是线段AF与AD的比例中项时，求证：∠DEF＝∠ABE．
17．如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形．
18．在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，点E为AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AD＝AF；
（2）填空：①当∠ACB＝　 　°时，四边形ADCF为正方形；
②连接DF，当∠ACB＝　 　°时，四边形ABDF为菱形．
19．如图，在△ABC中，D是AB中点，E是AC中点，F是BC中点，请填空：
（1）四边形BDEF是　 　四边形；
（2）若四边形BDEF是菱形，则△ABC满足的条件是　 　．
（3）若四边形BDEF是矩形，则△ABC满足的条件是　 　．
（4）若四边形BDEF是正方形，则△ABC满足的条件是　 　．
并就（2）、（3）、（4）中选取一个进行证明．
20．已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC边一点，DE平分∠ADC，EF∥DC交AD边于点F，连接BD．
（1）求证：四边形EFDC是正方形；
（2）若BE＝1，ED＝2，求BD的长．
参考答案
一．选择题
1．解：A．平行四边形的对角线平分，菱形的对角线垂直，A选项不符合题意；
B．菱形的邻边相等，B选项不符合题意；
C．正方形的对角线垂直，平分且相等，C选项符合题意；
D．矩形的对角线相等，D选项不符合题意，
故选：C．
2．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AH＝BE＝CF＝DG．
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，
，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH＝FE＝GF＝GH，∠AEH＝∠BFE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠BEF+∠BFE＝90°，
∴∠BEF+∠AEH＝90°，
∴∠HEF＝90°，
∴四边形EFGH是正方形，
∵AB＝BC＝CD＝DA＝7，AE＝BF＝CG＝DH＝4，
∴AH＝BE＝DG＝CF＝3，
∴EH＝FE＝GF＝GH＝＝5，
∴四边形EFGH的面积是：5×5＝25，
故选：B．
3．解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，0），
∴OA＝2，OB＝4，
过D作DH⊥y轴于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，DE＝BE，
∵∠AHD＝∠AOB＝90°，
∴∠DAH+∠AHD＝∠AHD+∠BAO＝90°，
∴∠AHD＝∠BAO，
∴△ADH≌△BAO（AAS），
∴AH＝OB＝4，DH＝OA＝2，
∴OH＝6，
∴D（2，6），
∵点B的坐标为（4，0），
∴E（，），
即E（3，3），
∵点F与点E关于y轴对称，
点F的坐标为（﹣3，3），
故选：D．
4．解：正方形具有而菱形不一定有的性质是：对角线相等．
故选：B．
5．解：因为正方形的对角相等，对角线相等、垂直、且互相平分，矩形的对角相等，对角线相等，互相平分，
所以正方形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直．
故选：B．
6．解：在正方形中，对角线相等，所以正方形ABCD的对角线长均为6，
∵正方形又是菱形，
菱形的面积计算公式是S＝ab（a、b是正方形对角线长度）
∴S＝×6×6＝18，
故选：B．
7．解：∵四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠D＝90°，AC＝BD，
故A，C，D不符合题意，
当AB＝AD时，即一组邻边相等时，矩形ABCD为正方形，
故B符合题意，
故选：B．
8．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，AC⊥BD，AB＝BC，故B，D不符合题意；
当AB＝AC时，AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴菱形ABCD不是正方形，故A不符合题意；
当BC⊥CD时，∠BCD＝90°，
∴菱形ABCD是正方形，故C符合题意；
故选：C．
9．解：A、对角线互相垂直的矩形是正方形，故选项A不符合题意；
B、对角线相等的菱形是正方形，故选项B不符合题意；
C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项C不符合题意；
D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选项D符合题意．
故选：D．
10．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形，故A正确，
当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形，故B正确，
当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形，故C正确，
当AC垂直平分BD时，它是正方形，故D不正确．
故选：D．
二．填空题
11．解：如图，作AD⊥y轴于点D，CE⊥x轴于点E，则∠ADO＝∠CEO＝90°，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠AOC＝∠DOE＝90°，OA＝OC，
∴∠AOD＝∠COE＝90°﹣∠COD，
在△AOD和△COE中，
，
△AOD≌△COE（AAS），
∵C（3，2），
∴OD＝OE＝3，AD＝CE＝2，
∵点A在第二象限，
∴A（﹣2，3），
故答案为：（﹣2，3）．
12．解：连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，
又∵AE＝CF，
∴OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∵EF垂直平分BD，
∴EB＝ED，
∴四边形BEDF是菱形，
∴BD＝AC＝10，
∵AE＝CF＝3，
∴EF＝4，
∴四边形BFDE的面积为BD EF＝×10×4＝20．
故答案为：20．
13．解：如图，连接OA、OD，则∠AOD＝∠GOE＝90°，
∴∠AOM＝∠DON，
∵ABCD是正方形，O为正方形ABCD的中心，
∴OA＝OD，∠OAM＝∠ODN＝45°，
在△OAM和△ODN中，，
∴△OAM≌△ODN（ASA），
∴S△OAM＝S△ODN，
∴S阴影＝S△ODM+S△ODN＝S△OAM+S△ODM＝S△OAD，
＝S正方形ABCD＝×102＝25（cm2），
故答案是：25．
三．解答题
14．解：（1）连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，
∵BE＝DF，
∴BE+OB＝DF+DO，
∴FO＝EO，
∴EF与AC垂直且互相平分，
∴四边形AECF是菱形，
∴∠AEF＝∠CEF，
又∵∠AED＝45°，
∴∠AEC＝90°，
∴菱形AECF是正方形；
（2）∵BD＝4，BE＝3，
∴FD＝3，
∴EF＝10，
∴AC＝10，
∴菱形ABCD的面积＝AC BD＝×10×4＝20．
15．证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝90°，
又∵AE＝BF＝DH＝CG，
∴AH＝BE＝CF＝DG，
∴△AHE≌△BEF（SAS）；
（2）在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AH＝DG＝CF＝BE，
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE（SAS），
∴EF＝EH＝HG＝GF，∠EHA＝∠HGD，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠EHA＝∠HGD，∠HGD+∠GHD＝90°，
∴∠EHA+∠GHD＝90°，
∴∠EHG＝90°，
∴四边形EFGH是正方形．
16．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ADE＝90°，
∴∠ABF+∠AFB＝90°，
∵AE⊥BF，
∴∠DAE+∠AFB＝90°，
∴∠ABF＝∠DAE，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形；
（2）由（1）可知，△ABF≌△DAE，
∴AF＝DE，
∴DF＝CE，
∵线段DF是线段AF与AD的比例中项，
∴DF2＝AF AD，
∴＝，
∵∠FDE＝∠BCE＝90°，
∴∠DEF＝∠CEB，
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CEB，
∴∠ABE＝∠DEF．
17．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FDC＝∠DCF＝45°，
∵∠E＝90°，ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD＝45°，
∴∠FCE＝∠FDE＝∠E＝90°，
∴四边形DFCE是矩形，
∵DE＝CE，
∴四边形DFCE是正方形．
18．（1）证明：∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∵AD＝CD＝BD，
∵点E为AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵∠AEF＝∠DEB，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF＝BD，
∴AD＝AF；
（2）解：①∵AF∥CD，AF＝CD，AD＝AF，
∴四边形ADCF是菱形，
当四边形ADCF为正方形时，∠DCF＝90°，
∴∠ACB＝∠ACF＝45°；
②∴CD＝CF，
当四边形ABCF为菱形时，BD＝DF，则DC＝DF，
∴CD＝CF＝DF，
∴△DCF为等边三角形，
∴∠DCF＝60°，
∴∠ACB＝∠ACF＝30°．
故答案为：45，30．
19．解：（1）∵在△ABC中，D是AB中点，E是AC中点，F是BC中点，
∴DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形BDEF是 平行四边形，
故答案为：平行；
（2）当AB＝BC时，
∴BD＝BF，
∴平行四边形BDEF是菱形，
故答案为：AB＝BC；
（3）当∠B＝90°时，
∴平行四边形BDEF是矩形，
故答案为；∠B＝90°；
（4）当∠B＝90°，AB＝BC，
∴平行四边形BDEF是正方形，
故答案为：∠B＝90°，AB＝BC
20．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ADC＝∠C＝90°，
∵EF∥DC，
∴四边形FEDC为平行四边形，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
∴∠CDE＝∠DEC，
∴CD＝CE，
∴四边形FEDC是菱形，
又∵∠C＝90°，
∴平行四边形FEDC是正方形；
（2）∵四边形FEDC是正方形，
∴∠CDE＝45°，
∵，
∴CE＝CD＝2，
∴BC＝BE+EC＝1+2＝3，
∴BD2＝BC2+CD2＝32+22＝13，
∴BD＝．