2022-2023学年北师大版八年级数学上册 1.3勾股定理的应用 同步复习小测 （Word版含答案）

1.3勾股定理的应用---八年级同步复习小测（同步训练+课后作业）
【北师大版】
【同步训练】
1：单选题
1．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
2．如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心A和B的距离为(　　)mm．
A．90 B．100 C．120 D．150
3．如图，高速公路上有A，B两点相距 ， ， 为两村庄，已知 ， . 于A， 于B，现要在 上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则 的长是 　　 .
A．4 B．5 C．6 D．
4．如图，　在长方形ABCD中，AB=3厘米．在CD边上找一点E，沿直线AE把△ABE折叠，若点D恰好落在BC边上点Ｆ处，且△ABF的面积是6平方厘米，则DE的长为（　　）
A．2cm B．3cm C．2.5cm D．cm
5．如图，在直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=CB，则以下式子一定成立的是(　　)
A．a2+b2=c2 B．(a+c)2=b2
C．(a+b)(a-b)=c2 D．b2=2a2
二、填空题
6．在两条垂直相交的道路上，一辆自行车和一辆摩托车相遇后又分别向北向东驶去，若自行车与摩托车每秒分别行驶7.5米、10米，则10秒后两车相距　 　米；
7．如图，一棵大树在离地面3m、5m两处折成三段，中间一段AB恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6m处，则大树折断前的高度是　 　．
8．如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞　 　米．
9．如图1，塔吊是建筑工地上常用的一种起重设备，可以用来搬运货物.如图2，已知一款塔吊的平衡臂 部分构成一个直角三角形，且 ，起重臂 可以通过拉伸 进行上下调整.现将起重臂 从水平位置调整至 位置，使货物E到达 位置（挂绳 的长度不变且始终与地面垂直）.此时货物E升高了24米，且到塔身 的距离缩短了16米，测得 ，则 的长为　 　米.
10．如图所示，“赵爽弦图”是由8个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为 ，已知 ,则 的值是　 　.
11．《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：原处还有多高的竹子？（1丈＝10尺）
答：原处的竹子还有　 　尺高．
三、解答题
12．如图，一块四边形草地ABCD，其中∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m ， AD＝12m， CD =13cm，求这块草地的面积．
13．一木工师傅做了一个长方形桌面，量得桌面的长为 宽为 ，对角线长为 ，则这个长方形的桌面合格吗？为什么？
14．如图，某校攀岩墙的顶部安装了一根安全绳，让它垂到地面时比墙高多出了 米，教练把绳子的下端拉开 米（即 米）后，发现其下端刚好接触地面（如图），求此攀岩墙的高度 .
15．如图，铁路上 、 两点相距 ， ， 为两村庄， 于 ， 于 ，已知 ， ，现在要在铁路 上建一个土特产品收购站 ，使得 、 两村到 站的距离相等，则 站应建在距点 多少千米处？
16．一块钢板形状如图所示，量得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，请你计算一下这块钢板的面积．
17．一艘轮船以16n mile/h的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12n mile/h的速度向西南方向航行，它们在离开港口1.5h后相距多远？
【课后作业】
一、单选题
1．在△ABC中，∠C＝90°，c2＝2b2，则两直角边a，b的关系是（　　）
A．a＜b B．a＞b
C．a＝b D．以上三种情况都有可能
2．一个圆桶底面直径为7cm，高24cm，则桶内所能容下的最长木棒为（　　）
A．20cm B．25cm C．26cm D．30cm
3．如图，在四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°，则四边形ABCD的面积为(　　)
A．36 B．22 C．18 D．12
4．如图．矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3．则AB的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，它们离开港口3小时相距（　　）海里．
A．60 B．30 C．20 D．80
二、填空题
6．如图，正方形B的面积是　 　.
7．如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中(片在结合部分不重叠无缝隙)，则图2中阴影部分面积为　 　。
8．我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽问绳索长是多少？”示意图如下图所示，设绳索 的长为 尺，根据题意，可列方程为　 　．
9．如图，在高3米，坡面线段AB长为5米的楼梯表面铺地毯，已知楼梯宽1.5米，地毯售价为40元/平方米，若将楼梯表面铺满地毯，则至少需　 　元．
10．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了　 　米．
三、解答题
11．如图，一木杆在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部12米处，已知木杆原长18米，求木杆断裂处离地面多少米？
12．如图，在四边形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，CD=12cm，DA=13cm，∠B=90°。求四边形ABCD的面积。
13．甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以12海里/时的速度向北偏东35°航行，乙船向南偏东55°航行.2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C、B两船相距40海里，问乙船的速度是每小时多少海里？
14．如图，某公路稽查站设立了如下测速方法：先在公路旁选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21m，∠ACD=60°，∠BCD=30°．某辆汽车从A到B用时为2s，本路段对汽车限速为40km/h，这辆汽车是否超速？说明理由．（≈1.732）
15．如图，一艘轮船从小岛 处出发，向正北方向以每小时20海里的速度行驶了1.5小时到达 处执行任务，再向正东方向以相同的速度行驶了2小时到达 处继续执行任务，然后以相同的速度直接从 处返回 处轮船返回时比出去时节省了多少时间？（不含执行任务时间）
16．如图，海中一渔船在A处且与小岛C相距70nmile，若该渔船由西向东航行30nmile到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上；求该渔船此时与小岛C之间的距离．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：设芦苇长x尺，由题意得：
（x 1）2＋52＝x2．
故答案为：B．
【分析】建立数学模型，运用勾股定理进行计算即可
2．【答案】D
【解析】【解答】由题意得：BC=180-60=120mm，AC=150-60=90mm，
由勾股定理得AB==150mm.
故答案为：D.
【分析】由题意先求出AC、BC的长，然后利用勾股定理求出AB即可.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：设 km，则 ，
在 中，
，
在 中，
，
由题意可知： ，
∴ ，
解得： .
所以， = .
故答案为：A
【分析】设 km，则 ，利用勾股定理可得，，根据DE=CE建立方程，解出x值即可.
4．【答案】D
【解析】【分析】∵△ABF的面积是6cm2，AB=3cm，
∴BF=4cm．
在直角三角形ABF中，根据勾股定理，得
AF=5．根据折叠的性质，得AD=AF=5．
∵四边形ABCD是长方形，
∴BC=AD=5，
∴CF=5-4=1．
设DE=x，则EF=DE=x，CE=3-x，
在直角三角形EFC中，根据勾股定理，得
1+（3-x)2=x2，
解，得x=．
即DE=．
故选D.
【点评】此题综合运用了矩形的性质、勾股定理以及折叠的性质，善于运用勾股定理构造方程求解。
5．【答案】D
【解析】【解答】解：在直角三角形ABC中，∠B=90°
∴a2+c2=b2
又∵AB=CB=a
∴b2=a2+a2=2a2.
故答案为：D.
【分析】先利用勾股定理得a2+c2=b2，然后将AB=CB=a代入化简即可。
6．【答案】125
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意可得，在Rt△ACB中，AC=75m，BC=100m，
则AB= =125（m），
故答案为：125．
【分析】直接根据题意画出直角三角形，进而利用勾股定理得出答案．
7．【答案】10m
【解析】【解答】解：如图，作BE⊥DC于点E，
由题意得：AD＝BE＝3m，AB＝DE＝2m，
∵DC＝6m，
∴EC＝4m，
∴在Rt△BEC中，由勾股定理得：BC＝ ＝5（m），
∴大树的高度为5+5＝10（m），
故答案为：10m．
【分析】作BE⊥DC于点E，由题得到：AD＝BE＝3m，AB＝DE＝2m，再利用勾股定理求解即可。
8．【答案】13
【解析】【解答】解：如图所示，
AB，CD为树，且AB＝14米，CD＝9米，BD为两树距离12米，
过C作CE⊥AB于E，
则CE＝BD＝12，AE＝AB CD＝5，
在直角三角形AEC中，
AC＝ ＝ ＝13．
答：小鸟至少要飞13米．
故答案为：13．
【分析】先求出CE＝BD＝12，AE＝AB CD＝5，再利用勾股定理求出AC=13，进行作答即可。
9．【答案】7
【解析】【解答】解：∵货物升高了24米，DE的长度不变且D1E1与水平线AD垂直，
∴ D1F=24m，
∵ 货物水平靠近AH16m，
∴ DF=16m，
设AD=AD1=x，在Rt△AD1F中：
，
解得：x=26，
∴AF=10.
如 图：过 D1作 D1M⊥BC于点M，设AC为y，
则CF=MD1=10+y，
∵AC=AB，AB⊥BD1，
∴BM= MD1=10+y，
∴CM=y+10+y=10+2y=24，
解得：y=7，
∴AC=7，
故答案为：7.
【分析】设AD=AD1=x，在Rt△AD1F中，根据勾股定理求出x的长，过 D1作 D1M⊥BC于点M，设AC为y，则CF=MD1=10+y，CM=y+10+y=10+2y=24，继而即可求解.
10．【答案】
【解析】【解答】∵八个直三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形
∴CG=NG，CF=DG=NF
∴
∴
∴
故
故答案为： .
【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出CG=NG，CF=DG=NF，再根据 ， ， ， ，即可得出答案.
11．【答案】
【解析】【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝ ．
故答案为：
【分析】设原处还有x尺高的竹子，则折断的长用x可以表示为（10-x）尺，根据勾股定理可得：x2+32=（10-x）2，即可求得原处竹子的高度。
12．【答案】解：连结AC，
在△ABC中，
∵∠B=90°，AB=4m，BC=3m，
∴AC= =5（m），S△ABC= ×3×4=6（m2），
在△ACD中，
∵AD=12m，AC=5m，CD=13m，
∴AD2+AC2=CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S△ACD= ×5×12=30（m2）．
∴四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=6+30=36（m2）．
【解析】【分析】连结AC利用勾股定理得出AC的长，利用勾股定理的逆定理判断出△ACD是直角三角形，根据三角形的面积公式算出两三角形的面积，再相加即可。
13．【答案】解：这个长方形桌面合格.
理由如下：
这三条边构成的三角形是直角三角形
此长方形桌面合格.
【解析】【分析】根据勾股定理证明三条边构成的三角形是直角三角形，故可证明合格.
14．【答案】解：设攀岩墙的高 为x米，则绳子 的长为 米.
在 中， 米， ，
所以 ，解得 ，所以 米.
即攀岩墙的高度 为 米.
【解析】【分析】 设攀岩墙的高 为x米，则绳子 的长为 米，在 中， 根据勾股定理构建求解即可.
15．【答案】解：设 ，则 ，
∵ 、 两村到 站的距离相等，
∴ .
在 中，由勾股定理得 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
站应建在距点A10千米处.
【解析】【分析】设AP=xkm，则DP=(25-x)km，由题意可得BP=PC，由勾股定理可得BP2=AB2+AP2，PC2=CD2+PD2，则AB2+AP2=CD2+PD2，然后代入数据计算即可.
16．【答案】解：∵42+32=52，52+122=132，
即AB2+BC2=AC2，故∠B=90°，
同理，∠ACD=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
= ×3×4+ ×5×12
=6+30
=36．
【解析】【分析】由勾股定理逆定理可得△ACD与△ABC均为直角三角形，进而可求解其面积．
17．【答案】解：如图：
轮船一从O航行到A轮船二从O航行到B
∠AOB＝ 且OA＝16× ＝24
OB＝12× ＝18
【解析】【分析】根据路程=速度×时间分别求出OA、OB的长，再根据勾股定理求出AB的长即可.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】∵∠C=90°，∴c2=a2+b2，
∵c2=2b2，∴a2+b2=2b2，
∴a2=b2，
∴a=b，
故答案为：C.
【分析】结合直角三角形性质与勾股定理的性质，斜边的平方等于两直角边的平方和；然后再与题意结合计算a,b的关系。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，
AC为圆桶底面直径，CB是桶高，
∴AC＝7cm，CB＝24cm，
∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，
∴（cm）．
故桶内所能容下的最长木棒的长度为25cm．
故答案为：B．
【分析】圆桶内容下的木棒最长时，木棒、圆桶的直径、桶高刚好构成直角三角形，根据勾股定理求解即可.
3．【答案】A
【解析】【分析】连接BD，在直角三角形ABD中，BD2=AB2+AD2=32+42=25；在三角形BCD中，因为BD2+CD2=169=BC2，所以三角形BCD也是直角三角形，所以四边形ABCD的面积为==36，
故选A。
【点评】本题属于对勾股定理的基本知识的了解和逆定理的应用。
4．【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8，
∴BC=8，
∵△AEF是△AEB翻折而成，
∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，
∴CE=8﹣3=5，
在Rt△CEF中，CF= = =4，
设AB=x，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+4）2=x2+82，解得x=6，
故答案为：D．
【分析】由四边形ABCD是矩形，得到对边相等，根据折叠的性质，得到对边相等△CEF是直角三角形，根据勾股定理求出CF和AB的长.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：作出图形，
因为东北和东南的夹角为90°，所以△ABC为直角三角形．
在Rt△ABC中，AC=16×3=48（km），
BC=12×3km=36（km）．
则AB= = =60（km）
故选A．
【分析】根据题意，画出图形，且东北和东南的夹角为90°，根据题目中给出的1小时后和速度可以计算AC，BC的长度，在直角△ABC中，已知AC，BC可以求得AB的长．
6．【答案】144.
【解析】【解答】解：如图，根据勾股定理可以得出：
a2+b2=c2，
a2=25，c2=169，
b2=169-25=144，
因此B的面积是144.
故答案为：144.
【分析】根据勾股定理可以得出a2+b2=c2，故b2=c2-a2=144=正方形B的面积.
7．【答案】
【解析】【解答】解：由题意可得，
直角三角形的斜边长为3，一条直角边长为2，
故直角三角形的另一条直角边长为： ，
故阴影部分的面积是： ，
故答案为： ．
【分析】由题意可知直角三角形的斜边长为3，一直角边长为2，利用勾股定理求出另一条直角边，再利用三角形的面积公式就可求出阴影部分的面积。
8．【答案】x2 （x 3）2＝82
【解析】【解答】解：设绳索长为x尺，根据题意得：
x2 （x 3）2＝82，
故答案为：x2 （x 3）2＝82．
【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
9．【答案】420元
【解析】【解答】解：如图所示：
在Rt△ABC中，由勾股定理可知：BC= =4米．
地毯的总长=BC+AC=4+3=7米．
地毯的面积=7×1.5=10.5平方米．
地毯的总价=40×10.5=420元．
故答案为：420元．
【分析】利用平移法可求地毯的长等于直角三角形的两直角边的和，再乘以宽得面积，乘以单价，得出费用.
10．【答案】9
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，
∴AB＝ ＝ ＝15（米），
∵CD＝10（米），
∴AD＝ ＝6（米），
∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），
答：船向岸边移动了9米，
故答案为：9．
【分析】先利用勾股定理求出AB=15，再根据CD=10求出AD=6，最后计算求解即可。
11．【答案】解：设木杆断裂处离地面x米，
由题意得： ，
解得x＝5，
答：木杆断裂处离地面5米.
【解析】【分析】设木杆断裂处离地面x米，由勾股定理建立方程，求解即可.
12．【答案】解：连接AC
∵∠ABC＝90°
∴AC＝ ＝5
又∵ ＝25， ＝144， ＝169
∴ ＋ ＝
∴∠ACD＝90°
∴S四边形ABCD＝
【解析】【分析】连接AC。在直角三角形ABC中，用勾股定理可求得AC的长；结合已知用勾股定理的逆定理可求得∠ACD=90°，于是S四边形ABCD=S三角形ABC+S三角形ACD=可求解。
13．【答案】解：∵甲的速度是12海里/时，时间是2小时，
∴AC=24海里.
∵∠EAC=35°，∠FAB=55°，
∴∠CAB=90°.
∵BC=40海里，
∴AB=32海里.
∵乙船也用2小时，
∴乙船的速度是16海里/时
【解析】【分析】由路程=速度时间可求得AC的长，根据三角形内角和定理可求得∠CAB=，用勾股定理可求得AB的长，再根据速度=路程时间即可求得乙船的速度。
14．【答案】解：超速．
理由：由题意得，
在Rt△ADC和Rt△BCD中，∠ACD=60°，∠BCD=30°，
∠CAD=∠ACB=30°，
故AB=BC，
在Rt△BDC中，cos30°===，
则AB=BC=14≈24.2（米），
∵汽车从A到B用时2秒，
∴速度为24.2÷2=12.1（米/秒），
∵12.1×3600=43560（米/时），
∴该车速度为43.56千米/小时，
∵大于40千米/小时，
∴此校车在AB路段超速．
【解析】【分析】分别在Rt△ADC和Rt△BCD中，求得AB的长，由从A到B用时2秒，即可求得这辆校车的速度，比较与40千米/小时的大小，即可确定这辆校车是否超速．
15．【答案】解： （海里），
（海里），
再Rt△ABC中，∠ABC=90°，
由勾股定理得： （海里），
∴返回所用时间为： 小时，
出去所用时间为： 小时，
∴则返回时比出去时节省的时间为： 小时.
答：返回时比出去时节省了1小时.
【解析】【分析】利用已知条件，可求出AB，BC的长；再利用勾股定理求出AC的长；然后求出返回所用时间和出去所用时间，求差即可.
16．【答案】解：过点C作CD⊥AB于点D，由题意得：
∠BCD=30°，设BC=x，则：
在Rt△BCD中，BD=BC sin30°= x，CD=BC cos30°= x；
∴AD=30 x，
∵AD2+CD2=AC2，即：（30+ x）2+（ x）2=702，
解之得：x=50（负值舍去），
答：渔船此时与C岛之间的距离为50海里．
【解析】【分析】过点C作CD⊥AB于点D，由题意得：∠BCD=30°，设BC=x，解直角三角形即可得到结论．