2022—2023学年北师大版数学九年级上册2.3用公式法求解一元二次方程同步复习小测（word解析版）

2.3用公式法求解一元二次方程---九年级同步复习小测（同步训练+课后作业）
【北师大版】
【同步训练】
一、单选题
1．方程：2x2＝5x＋3的根是（　　）
A．x1=－6，x2=1 B．x1=3，x2=-1
C．x1=1，x2= D．x1= - ，x2=3
2．若一个三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2－8x＋15＝0的一根，则这个三角形的周长为(　　)
A．5 B．3或5 C．13 D．11或13
3．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程﹣4x2+3=5x，下列叙述正确的是（　　）
A．a=﹣4，b=5，c=3 B．a=﹣4，b=﹣5，c=3
C．a=4，b=5，c=3 D．a=4，b=﹣5，c=﹣3
4．已知：关于 的一元二次方程 ，设方程的两个实数根分别为 ， 其中 ，若 是关于 的函数，且 ，若 ，则（　　）
A． B． C． D．
5．对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示 中较大的数，如 ,按这个规定，方程 的解为 (　　)
A． B． C． D． 或-1
二、填空题
6．三角形的每条边的长都是方程x2﹣6x+8=0的根，则三角形的周长是　 　
7．若x2+3xy-2y2=0，那么 = 　 　.
8．对于实数a、b定义：a*b=a+b，a#b=ab，如：2*（﹣1）=2+（﹣1）=1，2#（﹣1）=2×（﹣1）=﹣2．以下结论：
①[2+（﹣5）]#（﹣2）=6；
②（a*b）#c=c（a*b）；
③a*（b#a）=（a*b）#a；
④若x＞0，且满足（1*x）#（1#x）=1，则x=．
正确的是　 　 （填序号即可）
三、计算题
9．解方程：
10．解方程
【课后作业】
一、单选题
1．使分式的值等于零的x是(　　)
A．6 B．-1或6 C．-1 D．-6
2．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值，对于方程-4x2+3=5x，下列叙述正确的是(　　)
A．a=-4,b=5,c=3 B．a=-4,b=-5,c=3
C．a=4,b=5,c=3 D．a=4,b=-5,c=-3
3．方程-x2+3x=1用公式法求解，先确定a，b，c的值，正确的是（　　）
A．a=-1，b=3，c=-1 B．a=-1，b=3，c=1
C．a=-1，b=-3，c=-1 D．a=1，b=-3，c=-1
4．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10=0时，下列变形正确的为（　　）
A．（x+3）2=1 B．（x﹣3）2=1
C．（x+3）2=19 D．（x﹣3）2=19
二、填空题
5．方程（x-3）（x+6）=10的根是　 　.
6．写出方程x2+x-1=0的一个正根　 　。
7．方程 的解为　 　．
8．商家通常依据“利好系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b>a）以及常数k（0≤k≤1）确定实际销售价格为c=a+k（b-a），这里的k被称为利好系数．经验表明，最佳利好系数k恰好使得 ，据此可得，最佳利好系数k的值等于　 　 ．
三、计算题
9．解关于 的方程： ．
10．解下列方程.
（1）
（2）
四、解答题
11．m是什么整数时，方程（m2﹣1）x2﹣6（3m﹣1）x+72＝0有两个不相等的正整数根．
12．关于x的一元二次方程 的一个根是0，求n的值．
13．若 为方程 的一个正根， 为方程 的一个负根，求a+b的值．
【同步训练答案】
1．【答案】D
【解析】解答：移项，得2x2-5x-3=0，
这里a=2，b=-5，c=-3，
∵b2-4ac=（-5）2-4×2×（-3）=25+24=49＞0，
∴x= 或-
所以选D.
分析：方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：x2－8x＋15＝0，
得：x1=3，x2=5；
当x=3时，三角形三边长为2、3、6，2+3<6，构不成三角形，故x=3不合题意；
当x=5时，三角形三边长为2、5、6，6-2＜5＜6+2，能构成三角形；
所以这个三角形的周长为5+6+2=13．
故答案为：C．
【分析】求出方程的两个根，根据三角形三边的关系，判断得到边长，计算得到三角形的周长即可。
3．【答案】B
【解析】【解答】解：∵﹣4x2+3=5x
∴﹣4x2﹣5x+3=0，或4x2+5x﹣3=0
∴a=﹣4，b=﹣5，c=3或a=4，b=5，c=﹣3．
故选B．
【分析】用公式法求一元二次方程时，首先要把方程化为一般形式．
4．【答案】D
【解析】【解答】解： 是关于 的一元二次方程，
，
由求根公式，得 .
或 .
， ，
， .
，
解得 ，
.
故答案为：D.
【分析】由题意用一元二次方程的求根公式x=并结合已知可求得两个实数根x1、x2的值，然后把x1、x2的值代入y=x1-ax2并结合y0可得关于a的不等式，解这个不等式即可求解.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：当 ，即 时，所求方程变形为 ，
去分母得： ，即 ,
解得：
经检验 是分式方程的解；
当 ，即 时，所求方程变形为 ，
去分母得： 代入公式得： ，
解得： （舍去），
经检验 是分式方程的解，
综上，所求方程的解为 或-1．
故答案为：D.
【分析】分 和 两种情况将所求方程变形，求出解即可．
6．【答案】6或12或10
【解析】【解答】由方程x2﹣6x+8=0，得x=2或4．
当三角形的三边是2，2，2时，则周长是6；
当三角形的三边是4，4，4时，则周长是12；
当三角形的三边长是2，2，4时，2+2=4，不符合三角形的三边关系，应舍去；
当三角形的三边是4，4，2时，则三角形的周长是4+4+2=10．
综上所述此三角形的周长是6或12或10．
【分析】首先用因式分解法求得方程的根，再根据三角形的每条边的长都是方程x2﹣6x+8=0的根，进行分情况计算．
7．【答案】
【解析】【解答】由原方程，两边同时乘以 得： +3 -2=0
设 =t，则上式方程即为： t2+3t-2=0，
解得，t= ，
所以 = ；
所以答案是：
【分析】观察原方程的未知数是次数与所求的 的未知数的次数知，方程的两边同时乘以 ，即可得到关于 的方程，然后利用“换元法”、“公式法”解答即可．
8．【答案】①②④　
【解析】【解答】解：∵[2+（﹣5）]#（﹣2）
=（﹣3）#（﹣2）
=6，∴①正确；
∵（a*b）#c=（a+b）#c=（a+b）c=ac+bc，c（a*b）=c（a+b）=ac+bc，
∴②正确；
∵a*（b#a）=a*ab=a+ab，（a*b）#a=（a+b）#a=（a+b）a=a2+ab，
∴③错误；
∵（1*x）#（1#x）=1，
∴（1+x）#（x）=1，
（1+x）x=1，
x2+x﹣1=0，
解得：x2=，x2=，
∵x＞0，
∴x=，∴④正确．
故答案为：①②④．
【分析】先读懂题意，根据题意求出每个式子的左边和右边，再判断是否正确即可．
9．【答案】解：去括号化简得：
，
，
∴方程没有实数根．
【解析】【分析】先求出 ， 再求解即可。
10．【答案】解：∵ ， ，
∴
∵
∴ ，
【解析】【分析】算出方程根的判别式的值，由该值大于0得出方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式即可得出答案。
【课后作业答案】
1．【答案】A
【解析】【分析】分式的值为0的条件：分式的分子为0且分母不为0时，分式的值为0.
【解答】由题意得，且x+1不等于0，
解得x=6或x=-1，且x不等于-1，
则
故选A.
【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握分式的值为0的条件，即可完成.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：将方程化为一般式可得，-4x2-5x+3=0
∴a=-4，b=-5，c=3
故答案为：B.
【分析】根据题意，将方程化为一般式，即可得到a，b以及c的值。
3．【答案】A
【解析】【解答】将-x2+3x=1整理为一般形式得：-x2+3x-1=0，
可得出a=-1，b=3，c=-1．
故选A
【分析】将一元二次方程整理为一般形式，找出二次项系数a，一次项系数b及常数项c即可．
4．【答案】D
【解析】【解答】解：方程移项得：x2﹣6x=10，
配方得：x2﹣6x+9=19，即（x﹣3）2=19，
故选D．
【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．
5．【答案】x1=4，x2=-7．
【解析】【解答】∵（x-3）（x+6）=10
∴x2+3x-28=0
x= =
∴x1=4，x2=-7．
【分析】此题容易出错，要注意解一元二次方程时若采用因式分解法，方程的右边必须为零．因此此题先要化简，然后公式法即可求解．
6．【答案】
【解析】【解答】这里a=1，b=1，c=-1，
∵△=1+4=5，
∴
则方程的一个正根为
【分析】找出方程中a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可得到结果
7．【答案】 ，
【解析】【解答】 ，
a= ，b= ，c=-1，
∴△=3+4 ＞0，
，
∴ ， .
故答案为： ， .
【分析】利用一元二次方程公式法解此方程，先求出b2-4ac的值，再代入公式求出方程的解。
8．【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴3（c-a）2=（b-a）（b-c）
∵c=a+k（b-a），
∴c-a=k（b-a），
∴3（c-a）2=3 =（b-a）（b-c），
∵b＞a，即b-a≠0，
∴3k2（b-a）=b-c，
∴3k2（b-a）=b-a-k（b-a），
∴3k2=1-k，即3k2+k-1=0，
整理，解得：k= 或 ，
又∵0≤k≤1，
∴ k= .
故答案为：.
【分析】先由得3（c-a）2=（b-a）（b-c），再由c=a+k（b-a）得c-a=k（b-a），即可得3 =（b-a）（b-c），再利用b-a≠0进行化简得3k2（b-a）=b-c，把c=a+k（b-a）代入得到关于k的一元二次方程3k2+k-1=0，解出k值，最后通过0≤k≤1求得符合条件的k值即可.
9．【答案】解：移项得 ．
合并同类项得 ．
．
化简得 ．
；
．
解得 ．
原方程的根是 ， ．
【解析】【分析】先合并同类项，再计算求解即可。
10．【答案】（1）解：∵x2-6x+3=0，
∴x2-24x+12=0，
∴b2-4ac=528，
∴x=，
∴x1=12+，x2=12-.
（2）解：∵2x2-1=4x，
∴2x2-4x-1=0，
∴b2-4ac=24，
∴x=，
∴x1=1+，x2=1-.
【解析】【分析】（1）原方程可变形为x2-24x+12=0，然后计算出b2-4ac的值，利用求根公式进行计算；
（2）原方程可变形为2x2-4x-1=0，然后计算出b2-4ac的值，利用求根公式进行计算..
11．【答案】解：∵m2﹣1≠0，
∴m≠±1，
∵△＝36（m﹣3）2＞0，
∴m≠3，
用求根公式可得：x1＝ ，x2＝ ，
∵x1，x2是正整数
∴m﹣1＝1，2，3，6，m+1＝1，2，3，4，6，12，
解得m＝2．这时x1＝6，x2＝4．
【解析】【分析】首先根据已知条件可得m2-1≠0，进而得到m≠±1，然后根据根的判别式△＞0，可得m≠3；再利用求根公式用含m的式子表示x，因为，方程有两个不相等的正整数根，所以分情况讨论m的值即可．
12．【答案】解：将x＝0代入所给的方程中得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵当 时，所给方程不是一元二次方程，
∴ ．
【解析】【分析】先根据0是所给方程的一个根求出n的值，因为二次项的系数为n－1，所以n≠1．
13．【答案】解： ，
，
，
为方程 的一个正根，
，
，
，
，
，
为方程 的一个负根，
，
．
【解析】【分析】利用直接开平方及配方法求出a、b的值，再带入计算即可。