2022—2023学年北师大版数学九年级上册2.4用因式分解法求解一元二次方程同步复习小测（word版含解析）

2.4用因式分解法求解一元二次方程---九年级同步复习小测（同步训练+课后作业）
【北师大版】
【同步训练】
一、单选题
1．方程x2=3x的解是（　　）
A．x=3 B．x1=0，x2=3 C．x1=1，x2=3 D．x=0
2．若代数式2x2﹣5x与代数式x2﹣6的值相等，则x的值是（　　）
A．﹣1或6 B．1或﹣6 C．2或3 D．﹣2或﹣3
3．一元二次方程x2＝2x的根为（　　）
A．x＝0 B．x＝-2 C．x＝0或x＝-2 D．x＝0或x＝2
4．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（ ）
A． ，∴ 或
B． ，∴ 或
C． ，∴ 或
D． ，∴
5．用[x]表示不大于x的最大整数，则方程 的解的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
6．方程x2﹣x=0的解是　 　．
7．若（a2+b2）（a2+b2﹣2）=8，则a2+b2=　 　．
8．方程（x-3）2=x-3的根是　 　.
9．对于实数a，b，定义运算“ ”： ，例如：5 3，因为5＞3，所以5 3=5×3﹣32=6．若x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+8=0的两个根，则x1 x2=　 　．
三、解答题
10．回答下面的例题：
解方程：x2﹣|x|﹣2=0．
解：①x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2=0，解得x1=2，x2=﹣1（不合题意，舍去）．
②x＜0时，原方程化为x2+x﹣2=0，解得x1=﹣2，x2=1（不合题意，舍去）．
∴原方程的根是x1=2，x2=﹣2．
请参照例题解方程x2+|x﹣4|﹣8=0．
11．小敏与小霞两位同学解方程3（x-3）=（x-3）2的过程如下框：
小霞： 两边同除以（x-3），得3=x-3，则x=6 小敏： 移项，得3（x-3）-（x-3）2=0，提取公因式，得（x-3）（3-x-3）=0. 则x-3=0或3-x-3=0，解得x1=3，x2=0.
你认为她们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程.
【课后作业】
一、单选题
1．三角形两边的长为6和8，第三边为一元二次方程x2-16x+60=0 的一个实数根，则该三角形的面积是（　　）
A．24 B．24或8 C．48 D．8
2．三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程的两根，则该三角形的周长为（　　）
A．12 B．13 C．18 D．13或18
3．方程 的两个根是（　　）
A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=0，x2=0 D．x1=1，x2=-1
4．方程5x(x＋3)＝3(x＋3)解为(　　)
A．x1＝ ，x2＝3 B．x＝
C．x1＝－ ，x2＝－3 D．x1＝ ，x2＝－3
5．已知实数满足，则的值是（　　）．
A．-2 B．1 C．-1或2 D．-2或1
二、填空题
6．一元二次方程x2-5x-6=0的解是　 　.
7．用　 　法解方程3（x﹣2）2=2x﹣4比较简便．
三、计算题
8．解方程： ．
【同步训练答案】
1．【答案】B
【解析】【解答】解：x2=3x，
x2﹣3x=0，
x（x﹣3）=0，
x=0，x﹣3=0，
x1=0，x2=3，
故选B．
【分析】移项，分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
2．【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意得2x2﹣5x=x2﹣6，即x2﹣5x+6=0，
∵（x﹣2）（x﹣3）=0，
∴x﹣2=0或x﹣3=0，
解得：x=2或x=3，
故选：C．
【分析】根据题意得出2x2﹣5x=x2﹣6，即x2﹣5x+6=0，因式分解法求解可得．
3．【答案】D
【解析】【解答】解：∵x2＝2x，
∴x2﹣2x＝0，则x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝0，x2＝2，
故答案为：D．
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即得.
4．【答案】A
【解析】【解答】解: 用因式分解法时，方程的右边为0，才可以达到化为两个一次方程的目的.因此第二、第三个不对，
第四个漏了一个一次方程，应该是x＝0，x＋2＝0.
所以第一个正确.
故答案为：A.
【分析】用因式分解法时，方程的右边为0，才可以达到化为两个一次方程的目的.因此第二、第三个不对，第四个漏了一个一次方程，应该是x＝0，x＋2＝0.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：因为x≥[x]，方程变形为2[x]=x2-3，
2x≥x2-3，
解此不等式得：-1≤x≤3.
现将x的取值范围分为5类进行求解
（1）-1≤x＜0，则[x]=-1，
原方程化为x2-1=0，
解得x=-1；
（2）0≤x＜1 则[x]=0，
原方程化为x2-3=0，
无解；
（3）1≤x＜2，则[x]=1，
原方程化为x2-5=0，
无解；
（4）2≤x＜3，则[x]=2，
原方程化为x2-7=0，
解得x= ；
（5）x=3显然是原方程的解.
综合以上，所以原方程的解为-1， ，3.
故答案为：C.
【分析】根据定义的新运算可将方程变形为2x≥x2-3，求解可得x的范围，然后分：当-1≤x＜0时，[x]=-1，原方程化为x2-1=0，求解可得x的值；当0≤x＜1时，[x]=0，原方程化为x2-3=0，求解即可；同理可求出1≤x＜2、2≤x＜3、x=3时对应的x的值.
6．【答案】0或1
【解析】【解答】解：原方程变形为：x（x﹣1）=0，
∴x=0或x=1．
【分析】本题应对方程进行变形，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．
7．【答案】4
【解析】【解答】解：（a2+b2）2﹣2（a2+b2）﹣8=0，
（a2+b2﹣4）（a2+b2+2）=0，
所以a2+b2﹣4=0，
所以a2+b2=4
【分析】将a2+b2看成一个整体然后利用单项式乘以多项式的法则，去括号，再将右边的8移到左边，利用十字相乘法分解因式，根据偶次方的非负性，及两个因式的乘积为0，得出方程a2+b2﹣4=0，移项即可得出答案。
8．【答案】x1=3，x2=4
【解析】【解答】解：（x﹣3）2=x﹣3，
（x﹣3）2﹣（x﹣3）=0，
（x﹣3）（x﹣3﹣1）=0，
∴x1=3，x2=4.
故答案为：x1=3，x2=4.
【分析】用因式分解求解该方程，移项化为两个一次式的乘积为0，即ab=0，当ab=0，则a=0或b=0.
9．【答案】±4
【解析】【解答】解：x2﹣6x+8=0，
解得：x=4或2，
当x1=2，x2=4时，x1 x2=22﹣2×4=﹣4；
当x1=4，x2=2时，x1 x2=4×2﹣22=4；
故答案为：±4．
【分析】根据题意用因式分解法求出方程的根，再根据新定义求出代数式的值.
10．【答案】解：当x≥4时，原方程化为x2+x﹣12=0，解得：x1=3，x2=﹣4（不合题意，舍去）．
当x＜4时，原方程化为x2﹣x﹣4=0，解得：x1= ，x2= ，
∴原方程的根是x=3或x= 或x=
【解析】【分析】分类讨论：当x≥4时，原方程式为x2+x﹣12=0；当x＜4时，原方程式为x2﹣x﹣4=0，然后分别利用因式分解法解方程求出满足条件的x的值，从而得到原方程的解．
11．【答案】解：小敏：×，小霞：×
移项，得3（x-3）-（x-3）2=0，
提取公因式，得（x-3）[3-（x-3）]=0，
去括号，得（x-3）（3-x+3）=0，
则x-3=0或6-x=0，
解得x1=3，x2=6
【解析】【分析】观察两人的解法可知：小霞在方程的两边同时除以（x-3），此解法错误；小敏提取公因式后，符号出现错误；观察方程特点：两边含有公因式（x-3），因此先整体移项，再利用因式分解法解方程.
【课后作业答案】
1．【答案】B
【解析】【分析】首先利用因式分解法求得方程x2-16x+60=0的根，然后利用分类讨论的方法求得第三边是10与6时的三角形的面积，注意当第三边等于10时，是直角三角形，当第三边为6时，是等腰三角形，利用三线合一与勾股定理的知识，即可求得面积．
【解答】∵x2-16x+60=0，
∴（x-10)（x-6)=0，
解得：x1=10，x2=6，
∵三角形两边长为6和8，
当x=10时，
∵102=62+82，
∴此三角形是直角三角形，
∴该三角形的面积是：×6×8=24；
当x=6时，设AB=AC=6，BC=8，
过点A作AD⊥BC于D，
∴BD=BA=4，
∴AD==2，
∴S△ABC=×BC×AD=×8×2=8．
∴该三角形的面积是24或8．
故选B．
【点评】此题考查了因式分解法解一元二次方程、勾股定理与逆定理、等腰三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与分类讨论思想的应用．
2．【答案】B
【解析】【解答】解：
或者
即第三边长为9或4．
边长为9，3，6不满足三角形三边关系；
而4，3，6能构成三角形，
所以三角形的周长为3+4+6=13，
故答案为：B
【分析】先求出一元二次方程的解，再根据三角形三边关系对所求的解进行取舍，尤其是第二步必须注意。
3．【答案】B
【解析】【解答】解：
或
故答案为：B.
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：5x（x＋3）-3（x＋3）=0，
（x＋3） （5x-3）=0，∴x+3=0或5x-3=0，
∴x1＝ ，x2＝－3．
故答案为：D．
【分析】先对方程进行移项，然后提取公因式（x-3），利用因式分解法解方程.
5．【答案】D
【解析】【分析】由方程可得，，
再把看作一个整体运用解一元二次方程的方法求解即可.
【解答】
或
解得或1
故选D.
【点评】解答该类题目的一般思路是先求出x的值，但此题行不通，注意整体思想的灵活运用．
6．【答案】x1=-1,x2=6
【解析】【解答】解：∵x2-5x-6=0
∴（x-6）（x+1）=0
∴x1=6，x2=-1
【分析】根据题意，利用十字相乘法解一元二次方程得到答案即可。
7．【答案】因式分解
【解析】【解答】解：由方程3（x﹣2）2=2x﹣4知：
两边有公因式x﹣2，
∴用因式分解法解方程3（x﹣2）2=2x﹣4比较简便．
【分析】此题通过观察可知等式的右边可提出公因式2，变为2（x﹣2），移项后可把（x﹣2）看作是公因式，用提公因式的方法把左边分解因式，从而解出方程，所以用因式分解法比较简便．
8．【答案】原方程整理得： ，
因式分解得： ，
∴ 或 ，
∴ ．