2022—2023学年北师大版数学九年级上册2.5一元二次方程的根与系数的关系同步复习小测（word解析版）

2.5一元二次方程的根与系数关系---九年级同步复习小测（同步训练+课后作业）
【北师大版】
【同步训练】
一、单选题
1．已知方程 的一个根为—2, 那么它的另一个根为(　　)
A．5 B．1 C．3 D．—2
2．方程x2﹣6x+5＝0的两个根之和为（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．5
3．设方程 的两根分别为 ，且 ，那么m的值等于（　　）
A． B．－2 C． D．
4．若x1，x2是一元二次方程x2-7x+5的两根，则的值是（　　）
A． B．- C． D．-
5．已知方程x2－x－2=0的两个实数根为x1、x2，则代数式x1＋x2＋x1x2的值为（　　）
A． B．1 C．3 D．－1
二、填空题
6．请你构造一个二次项系数为 的一元二次方程，使它的两根分别是2和3：　 　.
7．若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是﹣2，则m﹣n＝　 　．
8．若x1，x2是一元二次方程x2+x-2=0的两个实数根，则x1+x2+x1x2=　 　．
9．若关于 的方程 的两个根互为倒数，则 ＝　 　。
10．如果关于x的一元二次方程2x2+6x+3=0有两个实数根α、β，那么（α﹣1）2+（β﹣1）2的值是　 　．
三、解答题
11．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+m+6=0的两实数根，且x12+x22=5，求m的值是多少？
12．已知一元二次方程x2+px+q=0（p2﹣4q≥0）的两个根x1、x2；求证：x1+x2=﹣p，x1 x2=q．
13．已知关于 的一元二次方程 的两根分别为 、 ，有如下结论： ， .试利用上述结论，解决问题：
已知关于 的一元二次方程 的两根分别为 、 ，求 的值.
14．已知：x1、x2是关于x的方程x2+（2a﹣1）x+a2=0的两个实数根且（x1+2）（x2+2）=11，求a的值．
【课后作业】
一、单选题
1．设方程x2﹣5x﹣1=0的两个根是x1和x2，则x1+x2﹣x1x2的值是（　　）
A．-6 B．6 C．-4 D．4
2．已知实数x1，x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝－12，则以x1，x2为根的一元二次方程是(　　)
A．x2－7x＋12＝0 B．x2－7x－12＝0
C．x2＋7x－12＝0 D．x2＋7x＋12＝0
3．若、是一元二次方程的两个根，则的值是（　　）
A．1 B．11 C．－11 D．－1
4．已知一元二次方程的两根之和是3，两根之积是﹣2，则这个方程是（　　）
A．x2+3x﹣2=0 B．x2+3x+2=0 C．x2﹣3x+2=0 D．x2﹣3x﹣2=0
5．若关于x的一元二次方程的两根分别为，，则p、q的值分别是（　　）
A．-3、2 B．3、2 C．-2、3 D．2、3
二、填空题
6．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个实数根为4，则另一实数根的值为　 　．
7．对于一元二次方程 ，若 ，则有 ， .方程 …①， …②所有根之和为　 　.
8．设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，则m2+mn+n2=　 　．
9．已知 ， 是方程 的两个实数根，则 的值等于　 　．
10．设x1、x2是方程x2+mx﹣5＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝1，则m＝　 　.
三、解答题
11．已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，求这个直角三角形的斜边长
12．已知关于x的一元二次方程x2+2x+a=1的两根为x1，x2，且x1，x2满足x12﹣x1x2=0，试求a的值，并求出此时方程的两个实数根．
13．已知实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两根，求 + 的值．
14．已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+2=0的两实数根x1、x2满足x1x2=x1+x2﹣2．
（1）求a的值；
（2）求出该一元二次方程的两实数根．
15．已知一元二次方程2x2﹣6x﹣1=0的两实数根为x1、x2，不解方程，求 的值．
【同步训练答案】
1．【答案】A
【解析】【解答】设方程的两个根为 ，
∴ + =3，
∵方程的一根 = 2，
∴ =5.
故答案为：A.
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2=可得x1+x2=3，结合题意即可求得方程的另一个根。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：方程x2﹣6x+5＝0的两个根之和为6，
故答案为：B.
【分析】根据根与系数的关系得出方程的两根之和为 ，即可得出选项.
3．【答案】B
【解析】【解答】∵方程 的两根分别为 ，∴ ，又∵ ，∴ ，∴ ．
【分析】根据根与系数的关系及 求得 ，再由m与 的关系求得m的值．
4．【答案】A
【解析】【分析】由题意可得x1x2，x1x2，再化，即可求得结果.
【解答】由题意得x1x2=7，x1x2=5
则==
故选A.
5．【答案】D
【解析】【解答】由题意得，a=1，b=-1，c=-2，
∴ ， ，
∴x1＋x2＋x1x2=1+(-2)=-1.
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2= =1 ， x1·x2== 2 ，再整体代入计算即可。
6．【答案】
【解析】【解答】解： 二次项系数为1的一元二次方程的两个根为2和3，
方程为 ，
故答案为： .
【分析】设方程为ax2＋bx＋c＝0，则由已知得出a＝1，根据根与系数的关系得，2＋3＝ b，2×3＝c，求出即可.
7．【答案】2
【解析】【解答】把x＝﹣2代入方程x2+mx+2n＝0得：4﹣2m+2n＝0，
即﹣2m+2n＝﹣4，
m﹣n＝2，
故答案为：2．
【分析】将方程的其中一个根代入方程中，得到m和n的解析式，得到答案即可。
8．【答案】-3
【解析】【解答】解：由根与系数的关系可知：x1+x2=-1，x1x2=-2
∴x1+x2+x1x2=-3
故答案为：-3
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
9．【答案】
【解析】【解答】
【分析】设方程两根为、，因为两个根互为倒数，所以=1,,由根与系数的关系可得，=,则=1,解得m=,当 m =时 ， Δ = 4 (-2 ) < 0,不符合题意；当 m = 3 时 ， Δ = 4 ( 2 ) > 0,所以m= .
10．【答案】14
【解析】【解答】解：∵2x2+6x+3=0有两个实数根α，β，
∴α+β=﹣3，αβ= ，
∴（α﹣1）2+（β﹣1）2
=α2﹣2α+1+β2﹣2β+1，
=（α+β）2﹣2（α+β）﹣2αβ+2=（﹣3）2﹣2（﹣3）﹣2× +2=14，
故答案为：14．
【分析】根据根与系数的关系得到α+β=﹣3，αβ= ，化简代数式得到：（α﹣1）2+（β﹣1）2=（α+β）2﹣2（α+β）﹣2αβ+2，代入数据即可得到结论．．
11．【答案】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+（m+1）x+m+6=0的两个实数根，
∴x1+x2=﹣（m+1），x1x2=m+6，
∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=5，
∴（m+1）2﹣2（m+6）=5，
解得：m1=4，m2=﹣4，
又∵方程x2﹣mx+2m﹣1=0有两个实数根，
∴△=（m+1）2﹣4（m+6）≥0，
∴当m=4时，
△=25﹣40=﹣15＜0，舍去；
故符合条件的m的值为m=﹣4
【解析】【分析】首先根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把x12+x22转换为（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用前面的等式即可得到关于m的方程，解方程即可求出结果．
12．【答案】证明：∵a=1，b=p，c=q
∴△=p2﹣4q
∴x=即x1=，x2=，
∴x1+x2=+=﹣p，
x1 x2=.=q．
【解析】【分析】先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可．
13．【答案】解：∵ ， ，
∴ ．
【解析】【分析】根据已给结论可得出 ， ，将 展开，再代入求解即可．
14．【答案】解：∵x1、x2是方程x2+（2a﹣1）x+a2=0的两个实数根，
∴x1+x2=1﹣2a，x1 x2=a2，
∵（x1+2）（x2+2）=11，
∴x1x2+2（x1+x2）+4=11，
∴a2+2（1﹣2a）﹣7=0，
即a2﹣4a﹣5=0，
解得a=﹣1，或a=5
又∵△=（2a﹣1）2﹣4a2=1﹣4a≥0，
∴a≤ ．
∴a=5不合题意，舍去．
∴a=﹣1
【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，由 x1+x2=，x1 x2=，得出 x1+x2=1﹣2a，x1 x2=a2， 将方程 （x1+2）（x2+2）=11 去括号整理为 x1x2+2（x1+x2）+4=11， 然后整体代入即可得出一个关于字母a的方程，求解即可得出a的值，然后根据原方程的根的判别式的值应该不为负数列出不等式，求解得出a的取值范围，再检验即可得出答案。
【课后作业答案】
1．【答案】B
【解析】【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣5x﹣1=0的两个根
∴x1+x2=5，x1x2=﹣1
∴x1+x2﹣x1x2=5+1=6．
故选B．
【分析】先利用根与系数的关系式求得x1+x2=5，x1x2=﹣1，再整体代入即可求解．
2．【答案】B
【解析】【解答】以x1，x2为根的一元二次方程为x2 7x-12=0，
故答案为：B.
【分析】以x1，x2为根的一元二次方程是x2 （x1＋x2）x+x1x2=0，代入即可得出结果。
3．【答案】B
【解析】【分析】∵、是一元二次方程的两个根，
∴，
∴.
故选B.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两根之和是3，两根之积是﹣2，
∴这个一元二次方程可为x2﹣3x﹣2=0．
故选D．
【分析】根据根与系数的关系可写出二次项系数为1的一元二次方程，然后对各选项进行判断．
5．【答案】A
【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系：，，可得，，所以p=-3，q=2.
6．【答案】﹣2
【解析】【解答】解：设方程x2+mx﹣8=0的两个实数根分别为4和m，
则有4m=﹣8，
解得：m=﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】设方程x2+mx﹣8=0的两个实数根分别为4和m，根据根与系数的关系即可得出4m=﹣8，解之即可得出结论．
7．【答案】3
【解析】【解答】解：∵ …①， ，
∴ ，
∵ …②， ，
∴方程无解，
∴方程 …①， …②所有根之和为：3.
故答案为：3.
【分析】由题意可得x1+x2=3，关于y的一元二次方程无根，据此求解.
8．【答案】11
【解析】【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，
∴m+n=﹣2，mn=﹣7，
∴m2+mn+n2=（m+n）2﹣mn=（﹣2）2﹣（﹣7）=11．
故答案为：11．
【分析】根据跟与系数的关系找出m+n=﹣2、mn=﹣7，将m2+mn+n2转化成只含m+n、mn的格式，代入数据即可得出结论．
9．【答案】10
【解析】【解答】解：∵x1、x2是方程x2+6x+3=0的两个实数根，
∴x1+x2= 6，x1 x2=3．
∴ ．
故答案为：10．
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2= 6，x1 x2=3，将原式变形为，然后整体代入计算即可.
10．【答案】4
【解析】【解答】解：∵x1、x2是方程x2+mx﹣5＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣5.
∵x1+x2﹣x1x2＝1，
∴﹣m﹣（﹣5）＝1，
∴m＝4.
故答案为：4.
【分析】利用根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣5，结合x1+x2﹣x1x2＝1，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值.
11．【答案】解：设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．
∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，
∴a+b=4，ab=3.5；
根据勾股定理可得：c2=a2+b2=（a+b）2-2ab=16-7=9，
∴c=3
【解析】【分析】根据根与系数的关系，求出两根之积与两根之和的值，再根据勾股定理列出直角三角形三边之间的关系式，然后将此式化简为两根之积与两根之和的形式，最后代入两根之积与两根之和的值进行计算。
12．【答案】解：∵x12﹣x1x2=0，∴x1=0或x1=x2，当x1=0时，∵x1+x2=﹣2，x1x2=a﹣1，∴x2=﹣2，a=1；当x1=x2时，∵x1+x2=﹣2，x1x2=a﹣1，∴x2=﹣1，a=2，综上所述，当a=1时，方程的两个实数根为x1=0，x2=﹣2；当a=2时，方程的两个实数根为x1=x2=﹣1．
【解析】【分析】先由x12﹣x1x2=0可求出x1=0或x1=x2，然后分x1=0和x1=x2两种情况来求.因为一元二次方程x2+2x+a=1的两根为x1，x2，再根据根与系数的关系来求a的值和两根.一元二次方程ax2+bx+c=1的两根为x1，x2，则x1+x2=，x1x2=.
13．【答案】解：∵实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两根，
∴a+b=1，ab=﹣1，
∴ + = = =﹣1
【解析】【分析】由根与系数的关系可得出a+b=1、ab=﹣1，利用通分将 + 变形为 ，代入数据即可得出结论．
14．【答案】解：（1）∵x1+x2=a，x1x2=2，
又x1x2=x1+x2﹣2，
∴a﹣2=2，a=4；
（2）方程可化为x2﹣4x+2=0，
∴（x﹣2）2=2，
解得：x﹣2=或x﹣2=﹣，
∴x1=2+，x2=2﹣．
【解析】【分析】（1）根据根与系数的关系的关系x1+x2=a，x1x2=2，如何根据x1x2=x1+x2﹣2得到关于a的方程，解方程即可得到结论；
（2）解方程即可得到结果．
15．【答案】解：∵一元二次方程2x2﹣6x﹣1=0的两实数根为x1、x2，
∴x1+x2=3，x1 x2=﹣ ．
∴ = = ﹣2=﹣20
【解析】【分析】由根与系数的关系可得出x1+x2=3，x1 x2=﹣ ，将 转化为只含x1+x2和x1 x2的形式，代入数据即可得出结论．