2022—2023学年北师大版数学九年级上册2.6一元二次方程的应用同步复习小测（word版含答案）

2.6一元二次方程的应用---九年级同步复习小测（同步训练+课后作业）
【北师大版】
【同步训练】
一、单选题
1．《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如x（x+5）＝24的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为x+5，宽为x的长方形纸片（面积均为24）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为：24×4+25＝121，边长为11，故得x（x+5）＝24的正数解为x＝ ，小明按此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形．已知大正方形的面积为10，小正方形的面积为4，则（　　）
A．m＝2，n＝3 B．m＝ ，n＝2
C．m＝ ，n＝2 D．m＝2，n＝
2．.某公司把500万元资金投入新产品的生产，第一年获得一定的利润，在不抽掉资金和利润的前提下，继续生产，第二年的利润率提高8%，若第二年的利润达到112万元，设第一年的利润率为x，则可列方程为 （　　）
A．500(1+x)(1+x+8%)=112 B．500(1+x)(1+x+8%)=112 +500
C．500(1+x)·8%=112 D．500(1+x)(x+8%)=112
3．某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（　　）
A． B．
C． D．
5．参加一次足球联赛的每两个队之间都进行两场比赛，共要比赛110场，共有（　　）个队参加比赛？
A．8 B．9 C．10 D．11
二、填空题
6．超市的一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销售，准备适当降价，据测算，每降价1元，每天可多售出20箱，若要使每天销售这种饮料获利1400元，每箱应降价多少元？设每箱降价x元，则可列方程（不用化简）为：　 　 .
7．某学校的校园超市4月份的销售额为16万元，6月份的销售额达到了25万元，5、6月份平均每月的增长率为　　 　 　．
8．一个长100m宽60m 的游泳池扩建成一个周长为600 m的大型水上游乐场，把游泳池的长增加x m，那么x等于多少时，水上游乐场的面积为20000㎡？列出方程　 　，能否求出x的值　 　（能或不能）。
9．今年国庆和中秋正好是同一天，某班数学兴趣小组的同学用互送贺卡庆贺，已知共送出贺卡132张，那么兴趣小组有学生　 　名。
10．小奇设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数a2﹣3b﹣5，例如把（1，﹣2）放入其中，就会得到12﹣3×（﹣2）﹣5=2．现将实数对（m，3m）放入其中，得到实数5，则m= 　 　.
三、解答题
11．如图，一幅长 、宽 的图案，其中有一横一竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：1．设竖彩条的宽度为 ， 若图案中两条彩条所占面积是图案面积的 ，求横、竖彩条的宽度．
12．某学校为了美化校园环境，向园林公司购买一批树苗．公司规定：若购买树苗不超过60棵，则每棵树苗售价120元；若购买树苗超过60棵，则每增加1棵，每棵树苗售价均降低0.5元，且每棵树苗的售价降到100元后，不管购买多少棵树苗，每棵树苗售价均为100元．如果该学校向园林公司支付树苗款8800元，那么这所学校购买了多少棵树苗？
13．如图，某农户发展养禽业，准备利用现有的34米长的篱笆靠墙AB（墙长为25米）围成一个面积为120平方米的长方形养鸡场，这个养鸡场的长和宽各是多少？
14．将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个. 已知这种商品每个涨价2元，其销售量将减少20个，问为了赚得8000元，售价应定为多少？这时应进货多少个？
15．如图，某旅游景点要在长、宽分别为20米、12米的矩形水池的正中央建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行的且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的．若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的，求道路的宽．
【课后作业】
一、单选题
1．近几年，我国经济高速发展，但退休人员待遇持续偏低，为了促进社会公平，国家决定大幅增加退休人员退休金．企业退休职工李师傅2012年月退休金为1500元，2014年达到2160元．设李师傅的月退休金从2012年到2014年年平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．1500（1+x）2=2160
B．1500（1+x）2=2060
C．1500+1500（1+x）+1500（1+x）2=2160
D．1500（1+x）=2160
2．如图，在一个半径为6cm圆形纸片上，挖去一个半径为r cm的圆，若余下圆环面积为11π，则r为（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
3．如图，是用4个相同的小矩形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示小矩形的两边长（x＞y），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（　　）
A．x+y=7 B．x﹣y=2 C．x2+y2=25 D．4xy+4=49
4．参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共同签订了45份合同．设共有x家公司参加商品交易会，则x满足的关系式为（　　）
A．x(x＋1)＝45 B．x(x－1)＝45
C．x(x＋1)＝45 D．x(x－1)＝45
5．如图，在宽为20m、长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551m2，则修建的路宽应为（　　）
A．1 m B．1.5 m C．2 m D．2.5 m
二、填空题
6．用22cm长的铁丝，折成一个面积为30cm2的矩形，若设这个矩形的长为xcm，则宽　　 　 　，利用面积这个等量关系得　　 　 　．
7．某校有一块长方形的空地 ，其中长 米，宽 米，准备在这块空地上修3条小路，路宽都一样为 米，并且有一条路与 平行，2条小路与 平行，其余地方植上草坪，所种植的草坪面积为110米.根据题意可列方程　 　.
8．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施． 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．据此规律计算：每件商品降价　 　元时，商场日盈利可达到2100元。
9．若一个矩形的长边的平方等于短边与其周长一半的积，则称这样的矩形为“优美矩形”.某公园在绿化时，工作人员想利用如图所示的直角墙角(两边足够长)和长为38m的篱笆围成一个“优美矩形”形状的花园ABCD，其中边AB，AD为篱笆，且AB大于AD．设AD为xm，依题意可列方程为　 　.
10．根据题意列出方程：有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？设正方形的边长为xm，请列出你求解的方程　 　 ．
三、解答题
11．如图，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长25m，另外三边用木栏围着，木栏长40m.
（1）若养鸡场面积为200，求鸡场靠墙的一边长；
（2）养鸡场面积能达到250吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由.
12．一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定，如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，每增加一棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购了多少棵树苗？
13．某厂工业废气年排放量为400万立方米，为改善锦州市的大气环境质量，决定分二期投入治理，使废气的年排放量减少到256万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同.
（1）求每期减少的百分率是多少？
（2）预计第一期治理中每减少1万立方米废气需投入3万元，第二期治理中每减少1万立方米废气需投入4.5万元，问两期治理完成后需投入多少万元？
14．毕业在即，某商店抓住商机，准备购进一批纪念品，若商店花440元可以购进50本学生纪念品和10本教师纪念品，其中教师纪念品的成本比学生纪念品的成本多8元．
（1）请问这两种不同纪念品的成本分别是多少？
（2）如果商店购进1200个学生纪念品，第一周以每个10元的价格售出400个，第二周若按每个10元的价格仍可售出400个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出100个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售一周后，商店对剩余学生纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批纪念品共获利2500元，问第二周每个纪念品的销售价格为多少元？
15．某纸箱厂要生产一批无盖纸盒，购进了长为20厘米，宽为16厘米的长方形硬纸板，将硬纸板的四个角剪掉四个小正方形（如图所示），剩下的部分正好做成无盖纸盒（不计损耗），若纸盒的底面面积为140平方厘米，则剪下的小正方形的边长是多少厘米？
【同步训练答案】
1．【答案】D
【解析】【解答】解：∵大正方形的面积为10，小正方形的面积为4，
∴关于 x的方程x2+mx﹣n＝0 可化为x（x+m）=n，
∴图中长方形的长为x+m，宽为x ，
∴图中小正方形的边长是，
大正方形的边长是，
∴，
∴，
故m=2，，
故答案为：D.
【分析】先将方程化成x（x+m）=n，则图中长方形的长为x+m，宽为x ，进而可以求出x、m的值，将x、m的值代回，即可求解.
2．【答案】D
【解析】【分析】如果设第一年的利润率为x，那么第一年的利润应该为500x，第二年的利润率应该为（x+8%)，由题意可列出方程．
【解答】由题意可得第一年的利润应该为500x，
第二年的利润率应该为（x+8%)，
∴方程为（500x+500)（x+8%)=112，即500（1+x)（x+8%)=112．
故选D．
3．【答案】C
【解析】【解答】设共有x个班级参赛，根据题意得：
=15，
解得：x1=6，x2=﹣5（不合题意，舍去），
则共有6个班级参赛，
故答案为：C．
【分析】设共有x个班级参赛，则每个班需要赛（x-1）场，故需要赛的场数为，根据计划安排15场比赛，即可列出方程，求解并检验即可。
4．【答案】A
【解析】【解答】解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，∴共比赛场数为 x（x﹣1），∴共比赛了45场，∴ x（x﹣1）=45，
故答案为：A.
【分析】有x支球队参加篮球比赛，则每一支球队需要比赛的场数为（x-1）场，由于每两队之间都比赛一场，故共比赛场数为 x（x﹣1），又共比赛了45场，根据用两个式子表示同一个量，则这两个式子应该相等，从而列出方程.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：设有x队参加比赛．
x（x﹣1）=110，
（x﹣11）（x+10）=0，
解得x=11，x=﹣10（不合题意，舍去）．
故选D．
【分析】每个队都要与其余队比赛一场，2队之间要赛2场．等量关系为：队的个数×（队的个数﹣1）=110，把相关数值代入计算即可．
6．【答案】（12-x）（100+2x）=1400
【解析】【解答】设每箱降价x元，则每天的销售量为 箱，每箱利润为 元
由题意得：
故答案为： .
【分析】先求出降价后的销售量和每箱利润，再根据“利润 每箱利润 销售量”即可得.
7．【答案】25%
【解析】【解答】解：设5、6月份平均每月的增长率为x，由题意得
16（1+x）2=25
解得：x1=﹣2.25（不合题意，舍去），x2=0.25，
答：5、6月份平均每月的增长率为25%．
故答案为：25%．
【分析】由题意可知：4月份的销售额×（1+增长率）2=6月份的销售额，由此设出未知数，把相关数值代入求解即可．
8．【答案】；能
【解析】【解答】解：由于游泳池的长增加xm，那么游乐场的长和宽分别为（100+x）和（600÷2﹣100﹣x），即（x+100）（200﹣x）=20000，解得：x=100．
故答案为：（x+100）（200﹣x）=20000，能
【分析】由于游泳池的长增加xm，那么游乐场的长和宽分别为（100+x）和（600÷2﹣100﹣x），根据矩形的面积等于长乘以宽，列出方程，求解即可得出答案。
9．【答案】12
【解析】【解答】解：设兴趣小组有学生x名，
根据题意得：x（x-1）=132，
解得x1=12，x2=-11（不符合题意，舍去），
∴x=12，
答：兴趣小组有学生12名.
故答案为：12.
【分析】设兴趣小组有学生x名，根据题意列出方程，求出方程的解，即可求解.
10．【答案】10或﹣1
【解析】【解答】解：∵将实数对（m，3m）放入其中，得到实数5，
∴m2﹣9m﹣5=5，解得m=10或﹣1．
故答案为：10或﹣1．
【分析】根据题意得出关于m的式子，求出m的值即可．
11．【答案】解： ＝ ，即 ＝ ．
，解得： ＝ ， ＝ ，
当 ＝ 时，不符合题意舍去，
＝ ＝ ．
答：横彩条的宽度为 ，竖彩条的宽度为 ．
【解析】【分析】根据题干信息列出方程 ＝ ，代入y= 从而解得x即可.
12．【答案】解：依题意购买60棵树苗所需要支付的树苗款为 元，
购买100棵树苗所需要支付的树苗款为 元，
这个学校购买树苗款为8800元，
因此该学校购买树苗的棵数在60与100之间．
设该学校购买了 棵树苗，根据题意得
，
解得： （舍去）或 ，
答：这所学校购买了80棵树苗．
【解析】【分析】根据题意求出 ， 再解方程即可。
13．【答案】解：设这个养鸡场与墙垂直的一边为x，则另一边为（34-2x）m．
依题意得方程x（34-2x）=120，
整理得x2-17x+60=0，
配方得x2-17x+（ ）2=-60+（ ）2，
∴（x-12）（x-5）=0，
所以x1=12，x2=5．
当x=5时，34-2x=34-10=24＜25．
养鸡场长和宽分别为24m，5m或12m，10m．
【解析】【分析】由于分不清哪条边是长，所以要设这个养鸡场与墙垂直的一边为x，则另一边为（34-2x）m，然后根据矩形的面积公式列出方程即可解决问题．
14．【答案】解：设商品的单价是(50+x)元，则每个商品的润是[(50+x)-40]元,销售量是(500-10x)个.由题意，得[(50+x)-40](500-10x)=8000，
即 x2-40x+300=0，解得x1=10,x2=30
故商品的单价可定为50+10=60元或50+30=80元.
当商品每个单价定为60元时，其进货量只能是500-10×10=400个，当商品每个单价为80元时，其进货量只能是500-10×30=200个
【解析】【分析】由题意根据相等关系“每个商品的利润×销售量=总利润8000”可列方程求解。
15．【答案】解：设道路的宽为x米，
则可列方程：
x（12﹣4x）+x（20﹣4x）+16x2=×20×12，
即：x2+4x﹣5=0，
解得：x1=l，x2=﹣5（舍去）．
答：道路的宽为1米．
【解析】【分析】首先假设道路的宽为x米，根据道路的宽为正方形边长的，得出正方形的边长以及道路与正方形的面积进而得出答案．
【课后作业答案】
1．【答案】A
【解析】【解答】设李师傅的月退休金从2012年到2014年年平均增长率为x，依题可得：
1500（1+x）2=2160．
故答案为：A．
【分析】设李师傅的月退休金从2012年到2014年年平均增长率为x，由企业退休职工李师傅2012年月退休金为1500元，2014年达到2160元列出一元二次方程即可得出答案.
2．【答案】D
【解析】【解答】由圆环的面积=外圆面积﹣内圆面积可得：π（62﹣r2）=11π，解得：r1=5，r2=﹣5（不合题意，舍去），故选：D
【分析】利用圆环的面积=外圆面积﹣内圆面积解答此题即可．
3．【答案】C
【解析】【解答】解：A、因为正方形图案的边长7，同时还可用（x+y）来表示，故x+y=7正确；
B、因为正方形图案面积从整体看是49，
从组合来看，可以是（x+y）2，还可以是（4xy+4），
所以有（x+y）2=49，4xy+4=49
即xy=，
所以（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=49﹣45=4，
即x﹣y=2；
C、x2+y2=（x+y）2﹣2xy=49﹣2×=，故x2+y2=25是错误的；
D、由B可知4xy+4=49．
故选C．
【分析】本题中正方形图案的边长7，同时还可用（x+y）来表示，其面积从整体看是49，从组合来看，可以是（x+y）2，还可以是（4xy+4），接下来，我们再灵活运用等式的变形，即可作出判断．
4．【答案】B
【解析】【解答】设有x家公司参加，依题意，得
x（x-1）=45，
故答案为：B.
【分析】 由每两家公司之间都签订了一份合同 ，可设有x家公司参加，则每个公司要签（x-1）分合同，共签订了x(x-1)份合同，由题意得所有公司共同签订了45份合同，据此列出方程即可.
5．【答案】A
【解析】【解答】设修建的路宽应为x米，根据等量关系列方程得：30×20﹣（20x+30x﹣x2）=551，解得：x1=49（不合题意，舍去），x2=1．故选A．
【分析】要求修建的路宽，就要设修建的路宽应为x米，根据题意可知：矩形地面﹣所修路面积=耕地面积，依此列出等量关系解方程即可．
6．【答案】11﹣x；x（11﹣x）=30
【解析】【解答】解：设这个矩形的长为xcm，
那么根据矩形的周长为铁丝的长即22cm，
那么矩形的宽为（11﹣x）cm，
∴x（11﹣x）=30．
故填空答案：11﹣x，x（11﹣x）=30．
【分析】如果设这个矩形的长为xcm，那么根据矩形的周长为铁丝的长即22cm，那么矩形的宽为（11﹣x）cm，根据矩形的面积公式可列出方程．
7．【答案】
【解析】【解答】解：∵长方形长 米，宽 米，路宽为 米，
∴草坪的长为 ，宽为 ，
∴草坪的面积为 .
故答案为 ： .
【分析】利用平移的性质将草坪平移在一起得出一个大的矩形，从而表示出大矩形草坪的长和宽，根据长方形的面积公式列式即可.
8．【答案】20
【解析】【解答】解：∵降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50-x，
由题意得：（50-x）（30+2x）=2100，
化简得：x2-35x+300=0，
解得：x1=15，x2=20，
∵该商场为了尽快减少库存，
∴降的越多，越吸引顾客，
∴选x=20，
故答案为：20
【分析】由题意可得：若降价1元，可多售出2件，若降价x元，可多售出2x件，则每天销售量为（30+2x）件，每件盈利为（50-x）元，相等关系是：每天销售量每件盈利=商场日盈利2100元，根据相等关系列方程即可求解。
9．【答案】 (无需写成一般式)
【解析】【解答】∵AD=xm，且AB大于AD，
∴AB=38-x，
∵矩形ABCD是“优美矩形”，
∴
整理得： .
故答案为： .
【分析】根据AD=xm，就可以得出AB=38-x，由矩形的面积公式结合矩形是“优美矩形”就可以得出关于x的方程.
10．【答案】（x+5）（x+2）=54　
【解析】【解答】解：设正方形的边长为xm，
那么长方形的两边应该为：x+5，x+2，
∴（x+5）（x+2）=54．
故答案为：（x+5）（x+2）=54．
【分析】如果设正方形的边长为xm，那么长方形的两边应该为：x+5，x+2，根据面积相等可列出的方程．
11．【答案】（1）设宽为x米，长（40-2x）米，根据题意得：
x（40-2x）=200，
-2x2+40x-200=0，
解得：x1=x2=10，
则鸡场靠墙的一边长为：40-2x=20（米），
答：鸡场靠墙的一边长20米．
（2）根据题意得：x（40-2x）=250，
∴-2x2+40x-250=0，
∵b2-4ac=402-4×（-2）×（-250）＜0，
∴方程无实数根，
∴不能使鸡场的面积能达到250m2．
【解析】【分析】（1）首先设出鸡场宽为x米，则长（40-2x）米，然后根据矩形的面积=长×宽，用未知数表示出鸡场的面积，根据面积为200m2，可得方程，解方程即可；
（2）要求鸡场的面积能否达到250平方米，只需让鸡场的面积先等于250，然后看得出的一元二次方程有没有解，如果有就证明可以达到250平方米，如果方程无实数根，说明不能达到250平方米．
12．【答案】解：因为60棵树苗售价为120元×60=7200元＜8800元，
所以该校购买树苗超过60棵，设该校共购买了x棵树苗，由题意得：
x[120-0.5（x-60）]=8800，
解得：x1=220，x2=80．
当x=220时，120-0.5×（220-60）=40＜100，
∴x=220（不合题意，舍去）；
当x=80时，120-0.5×（80-60）=110＞100，
∴x=80，
答：该校共购买了80棵树苗．
【解析】【分析】根据设该校共购买了x棵树苗，由题意得：x[120-0.5（x-60）]=8800，进而得出即可．
13．【答案】（1）设每期减少的百分率是x，
根据题意得400（1-x）2=256，
解得x1=0.2，x2=1.8（舍去），
所以每期减少的百分率为20%．
（2）根据题意有400×0.2×3=240（万元），
（400-400×0.2）×0.2×4.5=288（万元），
∴240+288=528（万元），
答：两期治理完成后需要投入528万元．
【解析】【分析】（1）本题为平均变化率问题，可按照增长率的一般规律进行解答．增长率问题的一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．根据这个关系来列出方程，求出百分率是多少；
（2）根据（1）中得出的百分率，分别求出第一期和第二期的投资，然后相加得出两期的总投资即可．
14．【答案】解：（1）设学生纪念品的成本为x元，根据题意得：
50x+10（x+8）=440，
解得：x=6，
∴x+8=6+8=14．
答：学生纪念品的成本为6元，教师纪念品的成本为14元．
（2）第二周单价降低x元后，这周销售的销量为400+100x，由题意得出：
400×（10﹣6）+（10﹣x﹣6）（400+100x）+（4﹣6）[（1200﹣400）﹣（400+100x）]=2500，
即1600+（4﹣x）（400+100x）﹣2（400﹣100x）=2500，
整理得：x2﹣2x+1=0，
解得：x1=x2=1，
则10﹣1=9元．
答：第二周每个纪念品的销售价格为9元．
【解析】【分析】（1）可设学生纪念品的成本为x元，根据题意列方程即可求解；
（2）第二周销售的销量=400+降低的元数×100；第二周每个旅游纪念品的销售价格降x元，根据纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，进而得出等式求出即可．
15．【答案】解：设设小正方形的边长为 ，根据题意得：
解得
宽为
解得
答：剪下的小正方形的边长是3厘米
【解析】【分析】先求出，再计算求解即可。