2022-2023学年苏科版八年级数学上册 2.5等腰三角形的轴对称性同步练习题(Word版含答案)

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名称 2022-2023学年苏科版八年级数学上册 2.5等腰三角形的轴对称性同步练习题(Word版含答案)
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资源类型 教案
版本资源 苏科版
科目 数学
更新时间 2022-08-22 14:56:21

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文档简介

2022-2023学年苏科版八年级数学上册《2.5等腰三角形的轴对称性》同步练习题(附答案)
一.选择题
1.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB的垂直平分线DE交AC于D,交AB于点E,下列结论错误的是(  )
A.BD平分∠ABC B.点D是线段AC的中点
C.AD=BD=BC D.△BCD的周长等于AB+BC
2.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,D、E分别在BC、AC上,AD=DE,BD=CE,若∠ADE=m°,则∠BAD的度数是(  )
A.m° B.(90﹣m)° C.(90﹣m)° D.(90﹣m)°
3.如图的方格纸中每一个小方格都是边长为1的正方形,A、B两点都在小方格的格点(顶点)上,请在图中找一个格点C,使△ABC为等腰三角形,这样的格点的个数有(  )
A.8个 B.9个 C.10个 D.11个
4.如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F为垂足,则下列四个结论:(1)∠DEF=∠DFE;(2)AE=AF;(3)AD平分∠EDF;(4)EF垂直平分AD.其中正确的有(  )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.下列三角形:①有两个角等于60°的三角形;②有一个角等于60°的等腰三角形;③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形;④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有(  )
A.①②③④ B.①②④ C.①③ D.②③④
6.已知∠AOB=30°,点P在∠AOB内部,P1与P关于OB对称,P2与P关于OA对称,则P1,O,P2三点所构成的三角形是(  )
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
二.填空题
7.已知等腰三角形的一个内角为70°,则顶角的度数是    .
8.已知三角形的三边长分别为5、a、10,则a的取值范围是    ;如果这个三角形中有两条边相等,那么它的周长为    .
9.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,点D在AC上,且BD=BC,则∠BDC=   .
10.如图,在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线交于点O,MN经过点O,且MN∥BC,分别交AB、AC于点M、N.若BM=3cm,MN=5cm,则CN=   cm.
11.如图,△ABC是边长为6的等边三角形,D是BC上一点,BD=2,DE⊥BC交AB于点E,则AE=   .
12.如图,一束平行太阳光照射到等边三角形上,若∠α=28°,则∠β=   °.
三.解答题
13.证明:有两个角相等的三角形是等腰三角形.
已知:如图,在△ABC中,   ;
求证:   ;
证明:
14.请在图中画出三个以AB为腰的等腰△ABC.
(要求:1.锐角三角形,直角三角形,钝角三角形各画一个;2.点C在格点上.)
15.如图,四边形ABCD中,AB=AC,∠B=∠C,求证:BD=CD.
16.如图,已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上,且AB=AC,AD∥BE,∠GBE的平分线与AD交于点D,连接CD.
(1)求证:①AB=AD;②CD平分∠ACE.
(2)猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系?并对你的猜想加以证明.
17.如图,在等腰△ABC中,AD是底边BC边上的高,点E是AD上的一点.
(1)求证:△BEC是等腰三角形.
(2)若AB=AC=13,BC=10,点E是AD的中点,求BE的长.
18.如图,△ABC中BA=BC,点D是AB延长线上一点,DF⊥AC于F交BC于E,
求证:△DBE是等腰三角形.
19.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,△CAP和△CBQ都是等边三角形,BQ和CP交于点H,求证:BQ⊥CP.
20.如图,AD是等边三角形ABC的中线,E是AB上的点,且AE=AD,求∠EDB的度数.
21.如图,点D在线段BC上,∠B=∠C=∠ADE=60°,AB=DC.求证:△ADE为等边三角形.
22.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,点D、E在BC上,AD⊥AB,AE⊥AC.求证:△AED是等边三角形.
23.已知:如图,AB=AC,点D是BC的中点,AB平分∠DAE,AE⊥BE,垂足为E.
(1)求证:AD=AE.
(2)若BE∥AC,试判断△ABC的形状,并说明理由.
24.如图,△ABC为等边三角形,BD平分∠ABC交AC于点D,DE∥BC交AB于点E.
(1)求证:△ADE是等边三角形.
(2)求证:AE=AB.
25.如图,E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OB,ED⊥OA,C、D是垂足,连接CD交OE于点F,若∠AOB=60°.
(1)求证:△OCD是等边三角形;
(2)若EF=5,求线段OE的长.
参考答案
一.选择题
1.解:∵在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,
∴∠ABC=∠C==72°,
∵AB的垂直平分线是DE,
∴AD=BD,
∴∠ABD=∠A=36°,
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=72°﹣36°=36°=∠ABD,
∴BD平分∠ABC,故A正确;
∴△BCD的周长为:BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB,故D正确;
∵∠DBC=36°,∠C=72°,
∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=72°,
∴∠BDC=∠C,
∴BD=BC,
∴AD=BD=BC,故C正确;
∵BD>CD,
∴AD>CD,
∴点D不是线段AC的中点,故B错误.
故选:B.
2.解:分别过点E、D作EF⊥CD、DG⊥AB,垂直分别为F、G,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵EF⊥CD,DG⊥AB,
∴∠EFC=∠DGB=90°,
在△CEF和△BDG中
∴△CEF≌△DGB(AAS),
∴EF=DG,
在Rt△DEF和Rt△ADG中
∴Rt△DEF≌Rt△ADG(HL),
∴∠CED=∠ADB,∠EDC=∠DAB,
∵AD=ED,∠ADE=m°,
∴∠DEA=()°,
∴∠ADB=∠CED=(180﹣)°,
∴∠BAD=∠EDC=180°﹣(∠ADB+∠ADE)=180°﹣(180﹣+m)°=(90﹣m)°.
故选:D.
3.解:图中的黑点为C点所在位置,这样的C点共有9个.
故选:B.
4.解:∵AB=AC,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC
∴△ABC是等腰三角形,AD⊥BC,BD=CD,∠BED=∠DFC=90°
∴DE=DF
∴AD垂直平分EF
∴(4)错误;
又∵AD所在直线是△ABC的对称轴,
∴(1)∠DEF=∠DFE;(2)AE=AF;(3)AD平分∠EDF.
故选:C.
5.解:①两个角为60度,则第三个角也是60度,则其是等边三角形;
②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形;
③三个外角相等,则三个内角相等,则其是等边三角形;
④根据等边三角形的性质,可得该等腰三角形的腰与底边相等,则三角形三边相等.
所以都正确.
故选:A.
6.解:根据轴对称的性质可知,
OP1=OP2=OP,∠P1OP2=60°,
∴△P1OP2是等边三角形.
故选:D.
二.填空题
7.解:分两种情况:
当70°的角是底角时,则顶角度数为180°﹣70°﹣70°=40°;
当70°的角是顶角时,则顶角为70°.
综上所述,这个等腰三角形的顶角度数为70°或40°,
故答案为:70°或40°.
8.解:根据三角形的三边关系可得:
10﹣5<a<10+5,
即5<a<15,
∵这个三角形中有两条边相等,
∴a=10或a=5(不符合三角形的三边关系,不合题意,舍去)
∴周长为5+10+10=25,
故答案为:5<a<15;25.
9.解:∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠C=(180°﹣∠A)=(180°﹣36°)=72°,
∵BD=BC,
∴∠BDC=∠C=72°,
故答案为:72°.
10.解:∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,
∴∠MBO=∠OBC,∠OCN=∠OCB,
∵MN∥BC,
∴∠OBC=∠MOB,∠NOC=∠OCB,
∴∠MBO=∠MOB,∠NOC=∠OCN,
∴BM=MO,ON=CN,
∴MN=MO+ON,即MN=BM+CN,
∵BM=3cm,MN=5cm,
∴CN=MN﹣BM=5﹣3=2(cm),
故答案为:2.
11.解:∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=60°,
∵DE⊥BC,
∴∠EDB=90°,∠BED=30°,
∵BD=2,
∴EB=2BD=4,
∴AE=AB﹣BE=6﹣4=2,
故答案为:2.
12.解:∵已知三角形是等边三角形,
∴∠1=∠4=60°,
由题意可得:∵∠α=28°,
∴∠2=∠3=88°,
∴∠β=180°﹣88°﹣60°=32°.
故答案为:32.
三.解答题
13.∠B=∠C,AB=AC;
证明:过点A作 AD⊥BC,垂足为D.
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
在△ABD与△ACD中,
∵∠B=∠C,∠ADB=∠ADC,AD=AD,
∴△ABD≌△ACD(AAS).
∴AB=AC,
∴△ABC为等腰三角形.
14.解:如图所示:
15.证明:连接BC,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵∠ABD=∠ACD,
∴∠DBC=∠DCB,
∴BD=CD.
16.解:(1)①∵AD∥BE,
∴∠ADB=∠DBC,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC,
∴∠ABD=∠ADB,
∴AB=AD;
②∵AD∥BE,
∴∠ADC=∠DCE,
由①知AB=AD,
又∵AB=AC,
∴AC=AD,
∴∠ACD=∠ADC,
∴∠ACD=∠DCE,
∴CD平分∠ACE;
(2)∠BDC=∠BAC,
∵BD、CD分别平分∠ABE,∠ACE,
∴∠DBC=∠ABC,∠DCE=∠ACE,
∵∠BDC+∠DBC=∠DCE,
∴∠BDC+∠ABC=∠ACE,
∵∠BAC+∠ABC=∠ACE,
∴∠BDC+∠ABC=∠ABC+∠BAC,
∴∠BDC=∠BAC.
17.解:(1)∵等腰△ABC,AD是BC边上的高,
∴AD为BC边上的垂直平分线,
∵E在AD上,
∴BE=CE,
∴△BEC为等腰三角形;
(2)∵AB=AC,AD为BC边上的高.
∴D为BC中点,
∴BD=BC=5,
∵在Rt△ABD中,∠ADB=90°,
∴AD2+BD2=AB2,即AD2=132﹣52=122,
∴AD=12,
∵E为AD中点
∴DE=AD=6,
∵在Rt△BDE中,∠BDE=90°.
∴BE2=DE2+BD2=52+62=61,
∴BE=.
18.证明:在△ABC中,BA=BC,
∵BA=BC,
∴∠A=∠C,
∵DF⊥AC,
∴∠C+∠FEC=90°,
∠A+∠D=90°,
∴∠FEC=∠D,
∵∠FEC=∠BED,
∴∠BED=∠D,
∴BD=BE,
即△DBE是等腰三角形.
19.证明:∵△CAP和△CBQ都是等边三角形,
∴∠CAP=∠CBQ=60°,
∵∠ACB=90°,
∴∠BCP=∠ACB﹣∠ACP=30°,
在△BCH中,∠BHC=180°﹣∠BCH﹣∠CBH=180°﹣30°﹣60°=90°,
∴BQ⊥CP.
20.解:∵AD是等边△ABC的中线,
∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD=∠BAC=×60°=30°,
∴∠ADC=90°,
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED==75°,
∴∠EDB=∠ADB﹣∠ADE=90°﹣75°=15°.
21.证明:∵∠ADC=∠ADE+∠CDE=60°+∠CDE,
∠ADC=∠B+∠BAD=60°+∠BAD,
∴∠BAD=∠CDE,
在△ABD和△DCE中,

∴△ABD≌△DCE(ASA),
∴AD=ED,
又∵∠ADE=60°,
∴△ADE是等边三角形.
22.证明:∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°,
∵AD⊥AB,AE⊥AC,
∴∠BAE=∠B=30°,∠C=∠CAD=30°,
∴∠ADE=∠B+∠BAD=60°,∠AED=∠C+∠CAE=60°,
∴AD=AE,
∴△ADE是等边三角形.
23.(1)证明:∵AB=AC,点D是BC的中点,
∴AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,
∵AE⊥BE,
∴∠E=90°=∠ADB,
∵AB平分∠DAE,
∴∠1=∠2,
在△ADB和△AEB中,,
∴△ADB≌△AEB(AAS),
∴AD=AE;
(2)△ABC是等边三角形.理由:
∵BE∥AC,
∴∠EAC=90°,
∵AB=AC,点D是BC的中点,
∴∠1=∠2=∠3=30°,
∴∠BAC=∠1+∠3=60°,
∴△ABC是等边三角形.
24.证明:(1)∵△ABC为等边三角形,
∴∠A=∠ABC=∠C=60°.
∵DE∥BC,
∴∠AED=∠ABC=60°,∠ADE=∠C=60°.
∴△ADE是等边三角形.
(2)∵△ABC为等边三角形,
∴AB=BC=AC.
∵BD平分∠ABC,
∴AD=AC.
∵△ADE是等边三角形,
∴AE=AD.
∴AE=AB.
25.解:(1)∵点E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OB,ED⊥OA,垂足分别是C,D,
∴DE=CE,
在Rt△ODE与Rt△OCE中,
∴Rt△ODE≌Rt△OCE(HL),
∴OD=OC,
∵∠AOB=60°,
∴△OCD是等边三角形;
(2)∵△OCD是等边三角形,OF是∠COD的平分线,
∴OE⊥DC,
∵∠AOB=60°,
∴∠AOE=∠BOE=30°,
∵∠ODF=60°,ED⊥OA,
∴∠EDF=30°,
∴DE=2EF=10,
∴OE=2DE=20.