2022-2023学年苏科版八年级数学上册 2.5等腰三角形的轴对称性同步练习题（Word版含答案）

2022-2023学年苏科版八年级数学上册《2.5等腰三角形的轴对称性》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于点E，下列结论错误的是（　　）
A．BD平分∠ABC B．点D是线段AC的中点
C．AD＝BD＝BC D．△BCD的周长等于AB+BC
2．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D、E分别在BC、AC上，AD＝DE，BD＝CE，若∠ADE＝m°，则∠BAD的度数是（　　）
A．m° B．（90﹣m）° C．（90﹣m）° D．（90﹣m）°
3．如图的方格纸中每一个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC为等腰三角形，这样的格点的个数有（　　）
A．8个 B．9个 C．10个 D．11个
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF＝∠DFE；（2）AE＝AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（　　）
A．①②③④ B．①②④ C．①③ D．②③④
6．已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（　　）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
二．填空题
7．已知等腰三角形的一个内角为70°，则顶角的度数是 　 　．
8．已知三角形的三边长分别为5、a、10，则a的取值范围是 　 　；如果这个三角形中有两条边相等，那么它的周长为 　 　．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，点D在AC上，且BD＝BC，则∠BDC＝　 　．
10．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，MN经过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．若BM＝3cm，MN＝5cm，则CN＝　 　cm．
11．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，D是BC上一点，BD＝2，DE⊥BC交AB于点E，则AE＝　 　．
12．如图，一束平行太阳光照射到等边三角形上，若∠α＝28°，则∠β＝　 　°．
三．解答题
13．证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形．
已知：如图，在△ABC中，　 　；
求证：　 　；
证明：
14．请在图中画出三个以AB为腰的等腰△ABC．
（要求：1．锐角三角形，直角三角形，钝角三角形各画一个；2．点C在格点上．）
15．如图，四边形ABCD中，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CD．
16．如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．
（1）求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．
（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．
17．如图，在等腰△ABC中，AD是底边BC边上的高，点E是AD上的一点．
（1）求证：△BEC是等腰三角形．
（2）若AB＝AC＝13，BC＝10，点E是AD的中点，求BE的长．
18．如图，△ABC中BA＝BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F交BC于E，
求证：△DBE是等腰三角形．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△CAP和△CBQ都是等边三角形，BQ和CP交于点H，求证：BQ⊥CP．
20．如图，AD是等边三角形ABC的中线，E是AB上的点，且AE＝AD，求∠EDB的度数．
21．如图，点D在线段BC上，∠B＝∠C＝∠ADE＝60°，AB＝DC．求证：△ADE为等边三角形．
22．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，AD⊥AB，AE⊥AC．求证：△AED是等边三角形．
23．已知：如图，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．
（1）求证：AD＝AE．
（2）若BE∥AC，试判断△ABC的形状，并说明理由．
24．如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：△ADE是等边三角形．
（2）求证：AE＝AB．
25．如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD交OE于点F，若∠AOB＝60°．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）若EF＝5，求线段OE的长．
参考答案
一．选择题
1．解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝＝72°，
∵AB的垂直平分线是DE，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝36°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝72°﹣36°＝36°＝∠ABD，
∴BD平分∠ABC，故A正确；
∴△BCD的周长为：BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝BC+AB，故D正确；
∵∠DBC＝36°，∠C＝72°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
∴AD＝BD＝BC，故C正确；
∵BD＞CD，
∴AD＞CD，
∴点D不是线段AC的中点，故B错误．
故选：B．
2．解：分别过点E、D作EF⊥CD、DG⊥AB，垂直分别为F、G，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵EF⊥CD，DG⊥AB，
∴∠EFC＝∠DGB＝90°，
在△CEF和△BDG中
∴△CEF≌△DGB（AAS），
∴EF＝DG，
在Rt△DEF和Rt△ADG中
∴Rt△DEF≌Rt△ADG（HL），
∴∠CED＝∠ADB，∠EDC＝∠DAB，
∵AD＝ED，∠ADE＝m°，
∴∠DEA＝（）°，
∴∠ADB＝∠CED＝（180﹣）°，
∴∠BAD＝∠EDC＝180°﹣（∠ADB+∠ADE）＝180°﹣（180﹣+m）°＝（90﹣m）°．
故选：D．
3．解：图中的黑点为C点所在位置，这样的C点共有9个．
故选：B．
4．解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC
∴△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，BD＝CD，∠BED＝∠DFC＝90°
∴DE＝DF
∴AD垂直平分EF
∴（4）错误；
又∵AD所在直线是△ABC的对称轴，
∴（1）∠DEF＝∠DFE；（2）AE＝AF；（3）AD平分∠EDF．
故选：C．
5．解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；
③三个外角相等，则三个内角相等，则其是等边三角形；
④根据等边三角形的性质，可得该等腰三角形的腰与底边相等，则三角形三边相等．
所以都正确．
故选：A．
6．解：根据轴对称的性质可知，
OP1＝OP2＝OP，∠P1OP2＝60°，
∴△P1OP2是等边三角形．
故选：D．
二．填空题
7．解：分两种情况：
当70°的角是底角时，则顶角度数为180°﹣70°﹣70°＝40°；
当70°的角是顶角时，则顶角为70°．
综上所述，这个等腰三角形的顶角度数为70°或40°，
故答案为：70°或40°．
8．解：根据三角形的三边关系可得：
10﹣5＜a＜10+5，
即5＜a＜15，
∵这个三角形中有两条边相等，
∴a＝10或a＝5（不符合三角形的三边关系，不合题意，舍去）
∴周长为5+10+10＝25，
故答案为：5＜a＜15；25．
9．解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣36°）＝72°，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠C＝72°，
故答案为：72°．
10．解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，
∵MN∥BC，
∴∠OBC＝∠MOB，∠NOC＝∠OCB，
∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠OCN，
∴BM＝MO，ON＝CN，
∴MN＝MO+ON，即MN＝BM+CN，
∵BM＝3cm，MN＝5cm，
∴CN＝MN﹣BM＝5﹣3＝2（cm），
故答案为：2．
11．解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE⊥BC，
∴∠EDB＝90°，∠BED＝30°，
∵BD＝2，
∴EB＝2BD＝4，
∴AE＝AB﹣BE＝6﹣4＝2，
故答案为：2．
12．解：∵已知三角形是等边三角形，
∴∠1＝∠4＝60°，
由题意可得：∵∠α＝28°，
∴∠2＝∠3＝88°，
∴∠β＝180°﹣88°﹣60°＝32°．
故答案为：32．
三．解答题
13．∠B＝∠C，AB＝AC；
证明：过点A作 AD⊥BC，垂足为D．
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在△ABD与△ACD中，
∵∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD（AAS）．
∴AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形．
14．解：如图所示：
15．证明：连接BC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABD＝∠ACD，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴BD＝CD．
16．解：（1）①∵AD∥BE，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD；
②∵AD∥BE，
∴∠ADC＝∠DCE，
由①知AB＝AD，
又∵AB＝AC，
∴AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴∠ACD＝∠DCE，
∴CD平分∠ACE；
（2）∠BDC＝∠BAC，
∵BD、CD分别平分∠ABE，∠ACE，
∴∠DBC＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，
∵∠BDC+∠DBC＝∠DCE，
∴∠BDC+∠ABC＝∠ACE，
∵∠BAC+∠ABC＝∠ACE，
∴∠BDC+∠ABC＝∠ABC+∠BAC，
∴∠BDC＝∠BAC．
17．解：（1）∵等腰△ABC，AD是BC边上的高，
∴AD为BC边上的垂直平分线，
∵E在AD上，
∴BE＝CE，
∴△BEC为等腰三角形；
（2）∵AB＝AC，AD为BC边上的高．
∴D为BC中点，
∴BD＝BC＝5，
∵在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，
∴AD2+BD2＝AB2，即AD2＝132﹣52＝122，
∴AD＝12，
∵E为AD中点
∴DE＝AD＝6，
∵在Rt△BDE中，∠BDE＝90°．
∴BE2＝DE2+BD2＝52+62＝61，
∴BE＝．
18．证明：在△ABC中，BA＝BC，
∵BA＝BC，
∴∠A＝∠C，
∵DF⊥AC，
∴∠C+∠FEC＝90°，
∠A+∠D＝90°，
∴∠FEC＝∠D，
∵∠FEC＝∠BED，
∴∠BED＝∠D，
∴BD＝BE，
即△DBE是等腰三角形．
19．证明：∵△CAP和△CBQ都是等边三角形，
∴∠CAP＝∠CBQ＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCP＝∠ACB﹣∠ACP＝30°，
在△BCH中，∠BHC＝180°﹣∠BCH﹣∠CBH＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴BQ⊥CP．
20．解：∵AD是等边△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°，
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝＝75°，
∴∠EDB＝∠ADB﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．
21．证明：∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝60°+∠CDE，
∠ADC＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD，
∴∠BAD＝∠CDE，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（ASA），
∴AD＝ED，
又∵∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形．
22．证明：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD⊥AB，AE⊥AC，
∴∠BAE＝∠B＝30°，∠C＝∠CAD＝30°，
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝60°，∠AED＝∠C+∠CAE＝60°，
∴AD＝AE，
∴△ADE是等边三角形．
23．（1）证明：∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵AE⊥BE，
∴∠E＝90°＝∠ADB，
∵AB平分∠DAE，
∴∠1＝∠2，
在△ADB和△AEB中，，
∴△ADB≌△AEB（AAS），
∴AD＝AE；
（2）△ABC是等边三角形．理由：
∵BE∥AC，
∴∠EAC＝90°，
∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴∠1＝∠2＝∠3＝30°，
∴∠BAC＝∠1+∠3＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
24．证明：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°．
∴△ADE是等边三角形．
（2）∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC．
∵BD平分∠ABC，
∴AD＝AC．
∵△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD．
∴AE＝AB．
25．解：（1）∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，垂足分别是C，D，
∴DE＝CE，
在Rt△ODE与Rt△OCE中，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE（HL），
∴OD＝OC，
∵∠AOB＝60°，
∴△OCD是等边三角形；
（2）∵△OCD是等边三角形，OF是∠COD的平分线，
∴OE⊥DC，
∵∠AOB＝60°，
∴∠AOE＝∠BOE＝30°，
∵∠ODF＝60°，ED⊥OA，
∴∠EDF＝30°，
∴DE＝2EF＝10，
∴OE＝2DE＝20．