【2013年最新同步教辅】高中数学（新课标人教版必修5 B版）配套精练检测题：第一章 解三角形（含答案解析）

第一章 解三角形
一、选择题．
1. 在△ABC 中，b = 8，c =，S△ABC =，则∠A 等于( )．
A. 30 o B. 60o C. 30o 或 150o D. 60o 或120o
2. 在△ABC中，若a = 2b sin A，则∠B为( )．
A.　　 　　　B.　　 　　　C.或　　 　 　　D.或
3. △ABC中，下述表达式：①sin(A + B)+ sin C；②cos(B + C)+ cos A；
③，其中表示常数的是( )．
A. ①和② B. ①和③
C. ②和③ D. ①②③
4. 已知 a，b，c 是△ABC三边的长，若满足等式(a + b - c)(a + b + c)= ab，则∠C的大小为( )．
A. 60o B. 90o C. 120o D. 150o
5. 若△ABC满足下列条件：
① a = 4，b ( 10，(A ( 30(；
② a ( 6，b ( 10，(A ( 30(；
③ a ( 6，b ( 10，(A ( 150(；
④ a ( 12，b ( 10，(A ( 150(；
⑤ a + b + c = 4，(A ( 30(，(B ( 45(.
则△ABC恰有一个的是( )．
A. ①④ B. ①②③ C. ④⑤ D. ①②⑤
6. △ABC中，若 sin(A + B)sin(A - B)= sin2 C，则△ABC 是( )．
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
7. 在△ABC中，若∠C = 60o，则cos A cos B的取值范围是( )．
A. B. 　　 C. D. 以上都不对
8. △ABC 中，若其面积 S =(a2 + b2 - c2)，则∠C =( )．
A. B. C. D.
二、填空题．
1. 在△ABC 中，如果 sin A∶sin B∶sin C = 2∶3∶4，那么cos C等于 ．
2. 若△ABC的三内角(A，(B，(C满足 sin A ( 2sin Ccos B，则△ABC为　 　三角形．
3. 若△ABC的三边长分别为4，5，7，则△ABC的面积 (　　　　　， 内切圆半径 ( 　　　　　．
4.若△ABC的三内角A，B，C成等差数列，则cos2 A + cos2 C的最小值为 ．
5. 一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东处；行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东处. 这时船与灯塔的距离为 km．
6. 在△ABC中，已知 AB = l，∠C = 50°，当∠B = 时，BC的长取得最大值．
三、解答题．
1. 如图△ABC中，点D在边 BC上，且BD = 2，DC = 1，∠B = 60°，∠ADC = 150°，求AC的长及△ABC的面积．
2. 在△ABC中，A = 45°，B∶C = 4∶5，最大边长为10，求角B，C，△ABC外接圆半径R及面积S．
3. 在△ABC中，a，b，c分别为角 A，B，C的对边，且.
(1)求∠A的大小；
(2)若a =，b + c = 3，求b和c的值．
4. 海中有一小岛B，周围3.8海里内有暗礁. 一军舰从A地出发由西向东航行，望见小岛B正好在北偏东75° 的位置；航行8海里到达C处，望见小岛B在北偏东60°的位置. 若此舰不改变航行的方向继续前进，此舰有没有触礁的危险？
参考答案
一、选择题．
1. C
【解析】 bc sin A = 16，
∴ sin A =，
A = 30° ，或 150° ．
2. D
【解析】 =，
∴ ，
∴ sin B =，∴ B =，或．
3. C
【解析】 ①sin(A + B)+ sin C = 2sin C，不一定为常数．
②cos(B + C)+ cos A = - cos A + cos A = 0，
③= tantan= cottan= 1．
∴ ②和③为常数．
4. C
【解析】 原式可化为 a2 + ab + b2 - c2 = 0，
∴ cos C == -，
∴ C＝120°．
5. C
【解析】 ①∵ sin B = ==＞1，
∴ △ABC不存在．
②∵ bsin A = 10×sin 30° = 5，且5＜6＜10，
∴ △ABC有两解．
③∵ ∠A = 150° 且a＜b，
∴ △ABC不存在．
④∵ ∠A = 150° 且a＞b，
∴ △ABC有一解．
⑤ 由已知，得∠C = 105°．
当 时，各边有正数解．
∴ △ABC有一解．
∴ ④⑤符合题条件．
6. B
【解析】 sin(A + B)sin(A - B)= sin2 C，
∴ sin C sin(A - B)= sin2 C．
∵ C∈(0，π)，
∴ sin(A - B)= sin C = sin(A + B)．
∴ sin A cos B - cos A sin B = sin A cos B+ cos A sin B，
∴ cos A sin B = 0，
∴ A =．
∴ △ABC为直角三角形．
7. A
【解析】 cos A cos B = cos(120o- B)cos B
=(-cos B +sin B)cos B
= -(1 + cos 2B)+sin 2B =sin(2B - 30o)-，
∵ B∈(0o，120o)，
∴ -30°＜2B - 30°＜210°．
∴ 由图象知cos A cos B∈．
8. C
【解析】 由题知ab sin C =(a2 + b2 - c2)，
∴ sin C == cos C，
∴ C =．
二、填空题．
1. -．
【解析】 因为sin A∶sin B∶sin C = a∶b∶c = 2∶3∶4，
所以设 a = 2k，b = 3k，c = 4k．
cos C === -．
2. 等腰．
【解析】 ∵ sin A = sin(B + C)= 2sin C cos B，
∴ sin B cos C + cos B sin C = 2 sin C cos B，
∴tan B = tan C，
∵ B，C∈(0，?)，
∴ B = C．
即为等腰三角形．
3. 4；．
【解析】 ∵ cos ? == -，
∴ sin ? =．
∴ S =×4×5×= 4．
∵ ，
∴ ．
4. ．
【解析】 ∵ C + A = 2B，∴ B =．
设A =- x，C =+ x，则
cos2 A + cos2 C = cos2(- x)+ cos2(+ x)
=(cos x +sin x)2 +(cos x -sin x)2
=cos2 x+sin2 x =+ sin2 x≥．
5. ．
【解析】 ，
BC =××60 = 30．
6. 40°．
【解析】 ，
∴ BC =≤，
∴ sin(50° + B)= 1时，BC最长，
此时 B?????°．
三、解答题．
1. 【解】在△ABD中，∠BAD = 150o- 60o= 90o，∴ AD = 2sin 60o =．
在△ACD中，AC2 =()2＋12 - 2××1×cos 150o= 7，
∴ AC =．
∴ AB = 2cos 60° = 1，S△ABC =×1×3×sin 60°=．
2. 【解】由A + B + C = 180°，A = 45°，可得 B = 60°，C = 75°．
由正弦定理，R == 5(-)．
由面积公式，S =bcsin A = c · 2Rsin Bsin A = 75-25．
3. (1)【解】由及A + B + C = 180°，
得2［1-cos(B + C)］-2cos2 A + 1 =，
∴ 4(1 + cosA)- 4cos2 A = 5，
即4 cos2 A- 4cos A + 1= 0，∴ cos A =，
∵ 0°＜A＜180°，
∴ A = 60°．
(2)【解】由余弦定理，得，
∵ cos A =，∴ =，
∴ (b + c)2 - a2 = 3bc．
将a =，b + c = 3代入上式，得bc = 2．
由 得 或
4.【解】如图，过点B作BD⊥AE且交AE于D．
由已知，AC = 8，∠ABD = 75o，∠CBD = 60o．
在Rt△ABD 中，AD = BD · tan∠ABD = BD · tan 75o.
在Rt△CBD 中，CD = BD · tan∠CBD = BD · tan 60o．
∴ AD - CD = BD(tan 75o- tan 60o)= AC = 8，
∴ BD == 4＞3.8．
∴ 该军舰没有触礁的危险．