沪教版（2020）必修三《第10章 空间直线与平面》（“四基”综合测试）
一、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1、已知如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面的关系:
（1）点C与平面β: ；（2） 点A与平面α: ；
（3）直线AB与平面α: ；（4）直线CD与平面α: ；
（5）平面α与平面β: ；
2、如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别
在线段AB，BC，CD，DA上.如果EF∩GH=Q，
那么点Q在直线 上；
3、如图，Rt△O′A′B′是一平面图的直观图，斜边O′B′＝2，
则这个平面图形的面积是
4、下列命题中，不正确的是 (填序号).
①一直线与两平行直线都相交，那么这三条直线共面;
②三条两两垂直的直线共面;
③两两相交直线上的三个点确定一个平面;
④每两条都相交但不共点的四线共面.
5、空间中角A的两边和另一个角B的两边分别平行，A=70°，则B=
6、下列说法正确的个数是 .
（1）若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α;
（2）若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行;
（3）两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.
7、空间四边形ABCD的四条边相等，则对角线AC与BD的位置关系为 .
8、如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，
则图中互相垂直的平面有 对
9、已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，
那么P到平面ABC的距离为 .
10、已知l，m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断：①l⊥m;②m∥α;③l⊥α；
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题:
二、选择题（共4小题 每小题4分，满分16分）
11、一直线l与其外三点A，B，C可确定的平面个数是（ ）
A．1个 B．3个 C．1个或3个 D．1个或3个或4个
12、直线l⊥平面α，l 平面β，则α与β的位置关系是（ ）
A．平行 B．可能重合 C．相交且垂直 D．相交不垂直
13、设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ）
A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面
14、从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α－l－β的平面角的大小是（ ）
A．60° B．120° C．60°或120° D．不确定
三、解答题（共4小题，满分44分）
15、（本题8分）如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点.
（1）求证:E，F，G，H四点共面;
（2）若四边形EFGH是矩形，求证:AC⊥BD；
16、（本题10分）空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，且AB＝AD，求AC与平面BCD所成的角的大小。
17、（本题满分12分）
如图所示，已知P是 ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC=l.
（1）求证:l∥BC;
（2）MN与平面PAD是否平行 试证明你的结论；
18、（本题满分14分、第1小题满分4分、第二小题满分5分、第三小题满分5分）．
如图，点P在四边形ABCD外，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.
（1）求证：DC⊥平面PAC；
（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；
（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，
使得PA∥平面CEF？请说明理由.沪教版（2020）必修三《第10章 空间直线与平面》（“四基”综合测试）
一、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1、已知如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面的关系:
（1）点C与平面β: ；（2） 点A与平面α: ；
（3）直线AB与平面α: ；（4）直线CD与平面α: ；
（5）平面α与平面β: ；
【答案】（1）C β；（2）A α；（3）AB∩α=B；（4）CD α；（5）α∩β=BD；
【考点】空间点、线、面的位置关系及其规范表示；
2、如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别
在线段AB，BC，CD，DA上.如果EF∩GH=Q，
那么点Q在直线 上；
【答案】AC；
【解析】若EF∩GH=Q，则点Q∈平面ABC，Q∈平面ACD，而平面ABC∩平面ACD=AC，所以Q∈AC；
【考点】公理3及其空间点、线、面的位置关系及其规范表示；
3、如图，Rt△O′A′B′是一平面图的直观图，斜边O′B′＝2，
则这个平面图形的面积是
【答案】2；
【解析】∵Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′＝2，
∴直角三角形的直角边长是，∴直角三角形的面积是××＝1，
∴原平面图形的面积是1×2＝2；
【考点】斜二测画法及其规则；以及结合空间想象能力规范复原；
4、下列命题中，不正确的是 (填序号).
①一直线与两平行直线都相交，那么这三条直线共面;
②三条两两垂直的直线共面;
③两两相交直线上的三个点确定一个平面;
④每两条都相交但不共点的四线共面.
【答案】②③；
【解析】三条两两垂直的直线最多可确定三个平面，故②错误;两两相交直线上的三个点若共线就无法确定平面，故③错误;①④正确；
【考点】空间直线、平面位置关系；以及结合空间想象能力与学会利用特殊图形判别位置关系；
5、空间中角A的两边和另一个角B的两边分别平行，A=70°，则B=
【答案】70°或110°
【解析】∵A的两边和B的两边分别平行，∴A=B或A+B=180°，又A=70°，∴B=70°或110°；
【考点】等角定理及其推论；
6、下列说法正确的个数是 .
（1）若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α;
（2）若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行;
（3）两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.
【答案】0；
【解析】直线l与平面α相交时，直线l上也有两个点到平面α的距离相等，故（1）不正确;若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线可能平行也可能异面，故（2）不正确；（3）不正确，因为另一直线也可以在这个平面内；
【考点】空间线、面位置关系及其判定、性质定理；
7、空间四边形ABCD的四条边相等，则对角线AC与BD的位置关系为 .
8、如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，
则图中互相垂直的平面有 对
【答案】5；
【解析】∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAB⊥平面ABCD，
又由题意可得CD⊥平面PAD，AB⊥平面PAD，BC⊥平面PAB，
∴平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PAB，∴共有5对互相垂直的平面；
【考点】线、面垂直判定、性质定理与三垂线定理的交汇与综合；
9、已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，
那么P到平面ABC的距离为 .
【答案】；
【解析】作PD，PE分别垂直于AC，BC，PO⊥平面ABC.连接CO，OD，
由题意知CD⊥PD，CD⊥PO，PD∩PO=P，
∴CD⊥平面PDO，OD 平面PDO，∴CD⊥OD.
∵PD=PE=，PC=2，∴sin∠PCE=sin∠PCD=，
∴∠PCB=∠PCA=60°，又易知PO⊥CO，CO为∠ACB平分线，
∴∠OCD=45°，∴OD=CD=1，OC=；
又PC=2，∴PO=；
【考点】利用三垂线定理找点到平面的距离的交汇与综合；
10、已知l，m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断：①l⊥m;②m∥α;③l⊥α；
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题:
【答案】如果l⊥α，m∥α，则l⊥m
【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题:
（1）如果l⊥α，m∥α，则l⊥m，正确;
（2）如果l⊥α，l⊥m，则m∥α，不正确，有可能m在平面α内;
（3）如果l⊥m，m∥α，则l⊥α，不正确，有可能l与α斜交，l∥α.
【考点】综合考查三垂线定理与空间线、面位置关系的交汇与综合；
二、选择题（共4小题 每小题4分，满分16分）
11、一直线l与其外三点A，B，C可确定的平面个数是（ ）
A．1个 B．3个 C．1个或3个 D．1个或3个或4个
【答案】D；
【解析】当A，B，C共线且与l平行或相交时，确定一个平面；当A，B，C共线且与l异面时，可确定3个平面；当A，B，C三点不共线时，可确定4个平面.
【考点】公理2及其推论，两直线位置关系；空间想象能力，合理分类讨论；当然，根据选择题的特点，也可以借助正方体、长方体、空间四边形等特殊图形；
12、直线l⊥平面α，l 平面β，则α与β的位置关系是（ ）
A．平行 B．可能重合 C．相交且垂直 D．相交不垂直
【答案】C；
【解析】由面面垂直的判定定理，得α与β垂直；
【考点】面面垂直的判定定理；
13、设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ）
A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面
【答案】B
【解析】α内有无数直线与β平行是α∥β的必要不充分条件，A不符合;
α内有两条相交直线与β平行是α∥β的充要条件，B符合;
α，β平行同一条直线是α∥β的必要不充分条件，C不符合;
α，β垂直同一平面是α∥β的必要不充分条件，D不符合.
【考点】面面平行的判定定理；
14、从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α－l－β的平面角的大小是（ ）
A．60° B．120° C．60°或120° D．不确定
三、解答题（共4小题，满分44分）
15、（本题8分）如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点.
（1）求证:E，F，G，H四点共面;
（2）若四边形EFGH是矩形，求证:AC⊥BD；
【证明】（1）在△ABD中，
∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH∥BD.
同理FG∥BD，则EH∥FG.
故E，F，G，H四点共面.
（2）由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.
又∵四边形EFGH是矩形，∴EH⊥GH，故AC⊥BD.
16、（本题10分）空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，且AB＝AD，求AC与平面BCD所成的角的大小。
【答案】45°
【解析】如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO.
因为AB＝AD，所以AO⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，AO 平面ABD，所以AO⊥平面BCD.
因此，∠ACO即为AC与平面BCD所成的角.
由于∠BAD＝90°＝∠BCD，所以AO＝OC＝BD，
又AO⊥OC，所以∠ACO＝45°.
17、（本题满分12分）
如图所示，已知P是 ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC=l.
（1）求证:l∥BC;
（2）MN与平面PAD是否平行 试证明你的结论；
【证明】（1）因为BC∥AD，BC 平面PAD，AD 平面PAD，
所以BC∥平面PAD；
又因为平面PBC∩平面PAD=l，所以BC∥l.
（2）平行.取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE=AM.
可知四边形AMNE为平行四边形.
所以MN∥AE.
又因为MN 平面APD，AE 平面APD，
所以MN∥平面APD.
18、（本题满分14分、第1小题满分4分、第二小题满分5分、第三小题满分5分）．
如图，点P在四边形ABCD外，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.
（1）求证：DC⊥平面PAC；
（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；
（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，
使得PA∥平面CEF？请说明理由.
