《第 10 章 空间直线与平面》【10.2.2 异面直线】
一、选择题（每小题6分，共12分）
1、异面直线是指（ ）
A．空间中两条不相交的直线 B．分别位于两个不同平面内的两条直线
C．平面内的一条直线与平面外的一条直线 D．空间中既不平行也不相交的两条直线
2、空间四边形（注：空间四边形是指四个点不同在任何一个平面）ABCD的四条边所在直线成异面直线的有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
二、填充题（每小题10分，共60分）
3、若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则直线a与直线c的位置关系是
4、直线a与直线b相交，直线c也与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是
5、分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是
6、空间中有三条线段AB，BC，CD，且，那么直线AB与CD的位置关系是
7、如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图，
图中的四条线段、、和
在原正方体中相互异面的有__________对.
8、设a，b，c表示直线，给出以下四个论断:①a⊥b;②b⊥c;③a⊥c;④a∥c.以其中任意两个为条件，另外的某一个为结论，写出你认为正确的一个命题 .
三、解答题（第9题12分，第10题16分）
9、如图所示，已知α∩β＝a，b β，a∩b＝A，且c α，c∥a；
求证：b，c为异面直线。
10、如图所示，若P是△ABC所在平面外一点，PA≠PB，PN⊥AB，
N为垂足，M为AB的中点，求证：PN与MC为异面直线；
【附录】
考点一 异面直线的定义 不同在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线；
考点二 异面直线判定定理 过平面外一点与平面上一点的直线，和此平面上不经过该点的任何一条直线都是异面直线；
如图，若AB∩α=B，A α，a α，B a， 直线AB与α为异面直线《第 10 章 空间直线与平面》【10.2.2 异面直线】
一、选择题（每小题6分，共12分）
1、异面直线是指（ ）
A．空间中两条不相交的直线 B．分别位于两个不同平面内的两条直线
C．平面内的一条直线与平面外的一条直线 D．空间中既不平行也不相交的两条直线
【答案】D；
【解析】对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一个是异面，所以，A应排除；
对于B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可能异面，
如图，就是相交的情况，所以，B应排除；
对于C，如图的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，
显然它们是相交直线，所以，C应排除；
只有D符合定义；故选D；
【考点】异面直线的定义；注意：“不同在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线”等价为“空间中既不平行也不相交的两条直线”；
2、空间四边形（注：空间四边形是指四个点不同在任何一个平面）ABCD的四条边所在直线成异面直线的有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】B
【解析】空间四边形ABCD的四条边所在直线中，成异面直线的有：AB和CD，AD和BC，
所以，空间四边形ABCD的四条边所在直线成异面直线的有2对；
【考点】异面直线的定义；结合图形利用枚举即可；
二、填充题（每小题10分，共60分）
3、若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则直线a与直线c的位置关系是
4、直线a与直线b相交，直线c也与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是
【答案】相交、平行、异面；
【解析】如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB与AA1相交，
A1B1与AA1相交，AB∥A1B1；AD与AA1相交，AB与AD相交，
AA1与AB相交；A1D1与AA1相交，AB与AA1相交，AB与A1D1异面．
【考点】异面直线的定义与判断空间位置关系交汇；对于判断空间位置关系，借助特殊图形是特别有效的方法；
5、分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是
【答案】异面或相交；
【解析】如图所示，a，b是异面直线，AB，DE都与a，b相交，
过点B作BF∥a，设过BF，b的平面α，则D∈平面α，E 平面α，
AB 平面α，所以AB，DE异面；
【考点】异面直线的定义与判断空间位置关系交汇；规范画图不仅适用与解填充、选择题，同时也能增进空间想象能力；
6、空间中有三条线段AB，BC，CD，且，那么直线AB与CD的位置关系是
【答案】平行或异面或相交；
【解析】
如图可知AB，CD有相交，平行，异面三种情况
【考点】异面直线的定义与判断空间位置关系交汇；规范画图不仅适用与解填充、选择题，同时也能增进
7、如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图，
图中的四条线段、、和
在原正方体中相互异面的有__________对.
【答案】3；
【解析】画出展开图复原的几何体，所以C与G重合，F，B重合，所以：四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有：AB与GH，AB与CD，GH与EF，共有3对．
【考点】异面直线的定义与判断空间位置关系交汇；逆向思维范画除特殊图形再解答；
8、设a，b，c表示直线，给出以下四个论断:①a⊥b;②b⊥c;③a⊥c;④a∥c.以其中任意两个为条件，另外的某一个为结论，写出你认为正确的一个命题 .
【答案】④① ②；
【解析】由两平行线中一条直线垂直一条直线，则另一直线也垂直这条直线，即④① ②；
【考点】异面直线的定义与判断空间位置关系交汇；
三、解答题（第9题12分，第10题16分）
9、如图所示，已知α∩β＝a，b β，a∩b＝A，且c α，c∥a；
求证：b，c为异面直线。
【证明】假设b，c不是异面直线，即b，c为共面直线，
则b，c为相交直线或平行直线.
（1）若b∥c，已知a∥c，则a∥b，这与已知条件a∩b＝A矛盾，∴b，c平行不成立；
（2）若b∩c＝P，已知b β，c α，
又α∩β＝a，则P∈b β，且P∈c α，∴P∈α，且P∈β，则P∈a.
∴a∩c＝P，这与已知a∥c相矛盾，因此，b，c相交也不成立.
综上可知，b，c为异面直线；
【考点】异面直线的定义与判别；这里主要用了反证法；
10、如图所示，若P是△ABC所在平面外一点，PA≠PB，PN⊥AB，
N为垂足，M为AB的中点，求证：PN与MC为异面直线；
【证明】证法1、（判定定理法）
∵PA≠PB，PN⊥AB，N为垂足，M是AB的中点，
∴点N与点M不重合.
∵N∈平面ABC，P 平面ABC，CM 平面ABC，N CM，
∴由异面直线的判定方法可知，直线PN与MC为异面直线；
证法2、（反证法0
假设PN与MC不是异面直线，则存在一个平面α，使得PN α，MC α，
于是P∈α，C∈α，N∈α，M∈α.
∵PA≠PB，PN⊥AB，N为垂足，M是AB的中点，
∴点M与点N不重合.
∵M∈α，N∈α，∴直线MN α.
∵A∈MN，B∈MN，∴A∈α，B∈α，
即A，B，C，P四点均在平面α内，这与点P在平面ABC外相矛盾.
∴假设不成立.故PN与MC为异面直线；
【考点】异面直线的定义与判别；异面直线的判断方法：（1）定义法：由定义判断.两直线不可能在同一个平面内；（2）图形直观判断法：熟记几类异面直线的画法，可快速判断；（3）运用判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线异面；（4）反证法：假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线，结合题中的条件，经正确的推理得出矛盾，从而断定假设“这两条直线不是异面直线”是错误的，进而得出结论：这两条直线是异面直线。
【附录】
考点一 异面直线的定义 不同在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线；
考点二 异面直线判定定理 过平面外一点与平面上一点的直线，和此平面上不经过该点的任何一条直线都是异面直线；
如图，若AB∩α=B，A α，a α，B a， 直线AB与α为异面直线
