《第 10 章 空间直线与平面》【10.2.3 两条异面直线所成的角】
一、选择题（每小题6分，共12分）
1、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线BC1与D1B1所成角的余弦值为 ( )
A. B. C. D.
2、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB的中点M，DD1的中点N，则异面直线B1M与CN所成的角是( )
A.
B.
C.
D.
二、填充题（每小题10分，共60分）
3、若∠AOB=120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为________.
4、如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，
异面直线A′B′与BC所成的角的大小为________；
异面直线AD′与BC所成的角的大小为________。
5、空间四边形ABCD中，E，F分别为AC，BD的中点，若CD=2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为________.
6、已知，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
E，F分别为棱BC和棱CC1的中点，
则异面直线AC和EF所成的角的大小是 .
7、下列命题正确的命题的序号是
①. 两条异面直线一定在两个不同的平面内；
②. 两条异面直线成120°角；
③. 异面直线所成的角的大小与空间任一点O的位置有关，即O点位置不同时，这一角的大小也不同；
④. 两条直线垂直不一定相交，两条相交直线不一定垂直；
8、如图，在空间四边形（注：空间四边形是指四个点不同在任何一个平面）ABCD中，
E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，
则BD与AC所成的角的大小为________．
三、解答题（第9题12分，第10题16分）
9、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：AC⊥B1D；
10、如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：
（1）BE与CG所成的角的大小；
（2）FO与BD所成的角的大小．
【附录】
考点一 两条异面直线所成的角 任意给定的两条异面直线平移到相交位置时所得到的锐角或直角，称为这两条异面直线所成的角；《第 10 章 空间直线与平面》【10.2.3 两条异面直线所成的角】
一、选择题（每小题6分，共12分）
1、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线BC1与D1B1所成角的余弦值为 ( )
A. B. C. D.
【答案】A；
【解析】在长方体ABCD-A1B1C1D1中，D1B1∥DB，所以∠DBC1是异面直线BC1与D1B1所成的角，
因为AB=BC=1，AA1=，所以DB=，BC1=2，DC1=2，
由余弦定理得；
所以异面直线BC1与D1B1所成角的余弦值为；
【考点】两条异面直线所成的角的定义与求法；与解三角形知识进行了交汇；
2、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB的中点M，DD1的中点N，则异面直线B1M与CN所成的角是( )
A.
B.
C.
D.
【提示】本题考查两条异面直线所成角的大小的求法；可以考虑利用补形法，在右面补一个正方体，平移相交，构造三角形根据余弦定理求解即可；
【答案】D
【解析】由题意，在右面补一个正方体，
如图：因为AB的中点M，取C1E的中点P，连接CP，
可得：CP//B1M，所以，∠NCP或其补角是异面直线B1M 与CN所成的角;
连接NP，设正方体 QUOTE QUOTE ABCD-A1B1C1D1的边长为a,
可得：CN=CP=a， NP=a,
又因为。三角形NCP 的三条边满足：，所以∠NCP=；
即异面直线B1M 与CN所成的角是；故选D；
【考点】两条异面直线所成的角的定义与求法；与解三角形知识进行了交汇，说明了“拼接法”求两条异面直线所成的角的方法；
二、填充题（每小题10分，共60分）
3、若∠AOB=120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为________.
【答案】；
【解析】因为a∥OA，根据等角定理，又因为异面直线所成的角为锐角或直角，
所以a与OB所成的角为
【考点】两条异面直线所成的角的定义与等角定理；注意：异面直线所成的角的或；
4、如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，
异面直线A′B′与BC所成的角的大小为________；
异面直线AD′与BC所成的角的大小为________。
【答案】90°，45°；
【解析】∵BC∥B′C′，∴∠A′B′C′即异面直线A′B′与BC所成的角，且∠A′B′C′＝90°，又BC∥AD，∴∠D′AD是异面直线AD′与BC所成的角，且∠D′AD＝45°.
【考点】两条异面直线所成的角的定义；平移法；
5、空间四边形ABCD中，E，F分别为AC，BD的中点，若CD=2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为________.
【答案】30°；
【解析】取AD的中点H，连FH，EH，在△EFH中∠EFH=90°，HE=2HF，从而∠FEH=30°.
【考点】两条异面直线所成的角的定义；平移法规范作图是前提；
6、已知，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
E，F分别为棱BC和棱CC1的中点，
则异面直线AC和EF所成的角的大小是 .
【答案】60°；
【解析】连接BC1，A1C1，A1B，如图所示:
根据正方体的结构特征，可得EF∥BC1，AC∥A1C1，
则∠A1C1B即为异面直线AC和EF所成的角(或其补角)；因为BC1=A1C1=A1B，所以△A1C1B为等边三角形，故∠A1C1B=60°，即异面直线AC和EF所成的角为60°；
【考点】两条异面直线所成的角的定义；平移法规范作图是前提；
7、下列命题正确的命题的序号是
①. 两条异面直线一定在两个不同的平面内；
②. 两条异面直线成120°角；
③. 异面直线所成的角的大小与空间任一点O的位置有关，即O点位置不同时，这一角的大小也不同；
④. 两条直线垂直不一定相交，两条相交直线不一定垂直；
【答案】选①④
【解析】对于①由异面直线的概念可以判断，这种说法正确；
对于②异面直线所成的角范围是；
对于③异面直线所成的角的大小与O点的位置无关；
对于④当两条异面直线所成的角为90°时，两条直线垂直但不相交.相交时，不一定垂直；
故选①④；
【考点】两条异面直线所成的角的定义、找法、求法与取值范围；
8、如图，在空间四边形（注：空间四边形是指四个点不同在任何一个平面）ABCD中，
E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，
则BD与AC所成的角的大小为________．
【答案】60°；
【解析】依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF(或其补角)即为异面直线AC与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°；
【考点】两条异面直线所成的角的定义、找法、求法；
三、解答题（第9题12分，第10题16分）
9、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：AC⊥B1D；
【提示】将AC与B1D所成的角转化成两相交直线成的角；
【证明】如图，连接BD，交AC于O，
设BB1的中点为E，连接OE，则OE∥DB1，
所以OE与AC所成的角即为DB1与AC所成的角.
连接AE，CE，易证AE=CE，
又O是AC的中点，所以AC⊥OE，所以AC⊥B1D.
【考点】两条异面直线所成的角的定义、找法、求法；本题证明空间的两条直线垂直的方法：
（1）定义法:利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直；
（2）平面几何图形性质法：利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三角形(等边三角形)底边的中线和底边垂直等；
10、如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：
（1）BE与CG所成的角的大小；
（2）FO与BD所成的角的大小．
【解析】∵CG∥FB，∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角．
在Rt△EFB中，EF＝FB，∴∠EBF＝45°，
∴BE与CG所成的角为45°；
（2）如图，连接FH，
∵FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，AE＝HD，∴FB＝HD，FB∥HD，
∴四边形FBDH是平行四边形，∴BD∥FH，∴∠HFO是FO与BD所成的角，
连接HA，AF，则△AFH是等边三角形，
又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°，∴FO与BD所成的角为30°.
【考点】两条异面直线所成的角的定义、找法、求法；求异面直线所成的角的步骤：1、找出（或作出）适合题设的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，将异面直线转化为相交直线；2、求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角；3、结论——设由2所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°<θ<180°，则180°－θ为所求；
【附录】
考点一 两条异面直线所成的角 任意给定的两条异面直线平移到相交位置时所得到的锐角或直角，称为这两条异面直线所成的角；
