《第 10 章 空间直线与平面》【10.3.2 直线与平面垂直】
一、选择题（每小题6分，共12分）
1、能够证明直线l与平面α垂直的条件是（ ）
①l与α内两条平行直线垂直；②l与α内两条相交直线垂直；③l与α内无数条直线垂直；④l与α内任意两条直线垂直；⑤l∥m，m⊥α；⑥直线m，n确定平面α，l⊥m，l⊥n；
A．①②④ B．①③⑥ C．②④⑤ D．③④⑥
【提示】利用直线与平面垂直的概念和判定定理解决；
【答案】C；
【解析】前面的四个命题是直接利用线面垂直的定义与判定定理，显然②④正确，①③错误；命题⑤说明：如果一个平面与两条平行线中的一条垂直必与另一条直线也垂直；命题⑥中直线m，n确定平面α时，直线m，n有相交与平行两种情况，当相交时得l⊥α，当平行时不一定得到l⊥α；
【考点】线面垂直的定义与判定定理；
2、空间四边形的四边相等，那么它的对角线（ ）
A．相交且垂直 B．不相交也不垂直 C．相交不垂直 D．不相交但垂直
【答案】D；
【解析】如图，空间四边形ABCD，假设AC与BD相交，则它们共面α，
从而四点A，B，C，D都在α内，这与ABCD为空间四边形矛盾，
所以AC与BD不相交；取BD的中点O，连接OA与OC，
因为AB＝AD＝DC＝BC，所以AO⊥BD，OC⊥BD，从而可知BD⊥平面AOC，
故AC⊥BD；
【考点】线面垂直的判定定理；同时本题与平面几何中等腰三角形“底边上的中线、高、角平分线三线合一，反证法进行了交汇；
二、填充题（每小题10分，共60分）
3、下列命题中，正确的序号是
①如果直线l与平面α所成的角为60°，且m α，则直线l与m所成的角也是60°；
②若直线a∥平面α，直线b⊥平面α，则直线b⊥直线a；
③若直线a⊥平面α，直线a⊥直线b，则直线b∥平面α；
【答案】②；
【考点】线面垂直的判定、性质定理及其推论；直线与平面所成的角；
4、下列命题中，正确的序号是________．
①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；
③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；
④若平面α内有一条直线与直线l不垂直，则直线l与平面α不垂直．
【答案】③④；
【解析】当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确．根据线面垂直的定义，若l⊥α，则l与α内的所有直线都垂直，所以④正确；
【考点】线面垂直的判定、性质定理及其推论；
5、在正方体ABCD A1B1C1D1中，
（1）直线A1B与平面ABCD所成的角是________；
（2）直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；
（3）直线A1B与平面AB1C1D所成的角是________．
【答案】（1）45°；（2）30°；（3）90°；
【解析】（1）由已知知∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角，∠A1BA＝45°.
（2）连接A1D，AD1，BC1，交点为O，则易证A1D⊥平面ABC1D1，
所以A1B在平面ABC1D1内的射影为OB，
所以A1B与平面ABC1D1所成的角为∠A1BO，
因为A1O＝A1B，所以∠A1BO＝30°.
（3）因为A1B⊥AB1，A1B⊥B1C1，又因为AB1∩B1C1＝B1，
所以A1B⊥平面AB1C1D，即A1B与平面AB1C1D所成的角为90°；
【考点】线面垂直的判定、性质定理及其推论；直线与平面所成的角；
6、如图，P为△ABC所在平面α外一点，PB⊥α，PC⊥AC，
则△ABC的形状为
【答案】直角三角形；
【解析】由PB⊥α，AC α得PB⊥AC，
又AC⊥PC，PC∩PB＝P，
所以AC⊥平面PBC，AC⊥BC；
7、如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，
则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：
（1）与PC垂直的直线有__________________；
（2）与AP垂直的直线有__________________．
【答案】（1）AB，AC，BC；（2）BC；
【解析】（1）因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC 平面ABC.所以PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC.
（2）∠BCA＝90°即BC⊥AC，又BC⊥PC，
AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC，因为AP 平面PAC，所以BC⊥AP；
【考点】线面垂直的判定、性质定理及其推论；
8、在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则点P到BC的距离是________．
【答案】4；
【解析】如图所示，作PD⊥BC于点D，连接AD，
因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，
又PD∩PA＝P，所以CB⊥平面PAD，所以AD⊥BC，
在△ACD中，AC＝5，CD＝3，所以AD＝4，
在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，所以PD＝＝4；
【考点】线面垂直的判定，点M到平面α 的距离的定义；
三、解答题（第9题12分，第10题16分）
9、如图所示，PA⊥平面ABC，
△ABC中BC⊥AC，∠PBA＝θ1，∠PBC＝θ2，∠ABC＝θ3；
试求三个角θ1，θ2，θ3的余弦之间的关系；
【答案】cos θ1cos θ3＝cos θ2；
【解析】 BC⊥平面PAC BC⊥PC，
所以cos θ1＝，cos θ2＝，cos θ3＝.
则有cos θ1cos θ3＝cos θ2；
【考点】线面垂直的判定、性质定理及其推论；直线与平面所成的角；
10、如图，Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点；
（1）求证：SD⊥平面ABC；
（2）若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
【证明】（1）因为SA＝SC，D为AC的中点，所以SD⊥AC，
在Rt△ABC中，有AD＝DC＝BD，
又SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，
所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，
所以SD⊥平面ABC；
（2）因为BA＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC；
又由(1)知SD⊥平面ABC，所以BD 平面ABC，所以SD⊥BD.
因为AC∩SD＝D，
所以BD⊥平面SAC；
【考点】线面垂直的判定、性质定理及其推论；本题说明线面垂直的判定、性质定理及其推论在具体解题中往往是交叉使用的；
【附录】
考点一 直线与平面互相垂直 如果一条直线与平面上的任意一条直线都垂直，就说这条直线与这个平面互相垂直；
考点二 直线与平面垂直的判定定理 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直；l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝P l⊥α；
考点三 直线与平面垂直的性质定理 直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行；a⊥α，b⊥α a// b
考点四 推论1： 过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直；
考点五 推论2： 过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直；
考点六 点M到平面α 的距离 点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离；
考点七 直线l到平面α 的距离 如果一条直线l平行于一个平面α，那么直线l上任意两点到平面α 的距离都相等（证明过程留作习题），从而就可以把直线l上一点M到平面α 的距离定义为直线l到与它平行的平面α的距离；《第 10 章 空间直线与平面》【10.3.2 直线与平面垂直】
一、选择题（每小题6分，共12分）
1、能够证明直线l与平面α垂直的条件是（ ）
①l与α内两条平行直线垂直；②l与α内两条相交直线垂直；③l与α内无数条直线垂直；④l与α内任意两条直线垂直；⑤l∥m，m⊥α；⑥直线m，n确定平面α，l⊥m，l⊥n；
A．①②④ B．①③⑥ C．②④⑤ D．③④⑥
2、空间四边形的四边相等，那么它的对角线（ ）
A．相交且垂直 B．不相交也不垂直 C．相交不垂直 D．不相交但垂直
二、填充题（每小题10分，共60分）
3、下列命题中，正确的序号是
①如果直线l与平面α所成的角为60°，且m α，则直线l与m所成的角也是60°；
②若直线a∥平面α，直线b⊥平面α，则直线b⊥直线a；
③若直线a⊥平面α，直线a⊥直线b，则直线b∥平面α；
4、下列命题中，正确的序号是________．
①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；
③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；
④若平面α内有一条直线与直线l不垂直，则直线l与平面α不垂直．
5、在正方体ABCD A1B1C1D1中，
（1）直线A1B与平面ABCD所成的角是________；
（2）直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；
（3）直线A1B与平面AB1C1D所成的角是________．
6、如图，P为△ABC所在平面α外一点，PB⊥α，PC⊥AC，
则△ABC的形状为
7、如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，
则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：
（1）与PC垂直的直线有__________________；
（2）与AP垂直的直线有__________________．
8、在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则点P到BC的距离是________．
三、解答题（第9题12分，第10题16分）
9、如图所示，PA⊥平面ABC，
△ABC中BC⊥AC，∠PBA＝θ1，∠PBC＝θ2，∠ABC＝θ3；
试求三个角θ1，θ2，θ3的余弦之间的关系；
10、如图，Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点；
（1）求证：SD⊥平面ABC；
（2）若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
【附录】
考点一 直线与平面互相垂直 如果一条直线与平面上的任意一条直线都垂直，就说这条直线与这个平面互相垂直；
考点二 直线与平面垂直的判定定理 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直；l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝P l⊥α；
考点三 直线与平面垂直的性质定理 直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行；a⊥α，b⊥α a// b
考点四 推论1： 过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直；
考点五 推论2： 过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直；
考点六 点M到平面α 的距离 点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离；
考点七 直线l到平面α 的距离 如果一条直线l平行于一个平面α，那么直线l上任意两点到平面α 的距离都相等（证明过程留作习题），从而就可以把直线l上一点M到平面α 的距离定义为直线l到与它平行的平面α的距离；
