《第 10 章 空间直线与平面》【10.3.4 三垂线定理】
一、选择题（每小题6分，共12分）
1、如图，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直相交
C．垂直但不相交 D．相交但不垂直
2、如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P α，PB⊥α，
C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
钝角三角形 D．无法确定
二、填充题（每小题10分，共60分）
3、在平面α内和这个平面的斜线l垂直的直线有
4、已知△ABC所在平面外一点P；
（1）若点P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影O是△ABC的______________；
（2）若PA、PB、PC两两垂直，则点P在平面ABC内的射影O是△ABC的_____________；
（填“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”）
5、如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，
C是圆周上不同于A，B的一动点；
则△PBC是 三角形；
6、PO⊥平面ABC，O为垂足，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝5，PA＝PB＝PC＝10，则PO的长
等于
7、如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，
则图中直角三角形的个数为
8、已知斜线与平面所成的角为，在平面内任意作的异面直线，则与成的角
有最小值 ，最大值
三、解答题（第9题12分，第10题16分）
9、已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，试判断平行四边形ABCD的形状；
10、等腰直角三角形的斜边在平面内，若与所成的角为，求：斜边上的中线与所成的角的大小；
【提示】设在平面内的射影为点O，连接，则，就是与所成的角，
【附录】
考点一 三垂线定理 三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直；
已知 PO、PA分别是 平面的垂线、斜线, OA是PA在平面上的射影，a ；则a⊥OAa⊥PA.《第 10 章 空间直线与平面》【10.3.4 三垂线定理】
一、选择题（每小题6分，共12分）
1、如图，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直相交
C．垂直但不相交 D．相交但不垂直
【答案】C；
【解析】因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MA；
又M在平面ABCD外，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交；
【考点】三垂线定理与异面直线判定定理；
2、如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P α，PB⊥α，
C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
钝角三角形 D．无法确定
【答案】B
【解析】PB⊥α且PC⊥AC，所以AC⊥BC；
【考点】三垂线定理；
二、填充题（每小题10分，共60分）
3、在平面α内和这个平面的斜线l垂直的直线有
【答案】有无数多条；
【考点】三垂线定理；与异面直线所成角的定义简单交汇；
4、已知△ABC所在平面外一点P；
（1）若点P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影O是△ABC的______________；
（2）若PA、PB、PC两两垂直，则点P在平面ABC内的射影O是△ABC的_____________；
（填“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”）
【答案】（1）外心；（2）垂心；
【解析】（1）P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影到△ABC三顶点的距离都相等，所以是外心；（2）由线面垂直与三垂线定理，得三条高交于一点，垂心；
【考点】三垂线定理；与平面几何中“四心”的简单交汇；
5、如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，
C是圆周上不同于A，B的一动点；
则△PBC是 三角形；
【答案】直角；
【解析】因为，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的一动点，所以，BC⊥AC，
又因为，PA⊥平面ABC，AC为斜线PC在平面ABC上的射影，所以，BC⊥PC，
所以，△BPC是直角三角形．
【考点】三垂线定理；主要是：要熟悉三垂线定理中“垂线、斜线与射影、平面内直线”构成的基本图形；
6、PO⊥平面ABC，O为垂足，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝5，PA＝PB＝PC＝10，则PO的长
等于
【答案】；
【解析】∵PA＝PB＝PC，∴P在面ABC上的射影O为△ABC的外心．
又△ABC为直角三角形，∴O为斜边BA的中点．
在△ABC中，BC＝5，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴；
【考点】三垂线定理；与解直角三角形的简单交汇；
7、如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，
则图中直角三角形的个数为
【提示】由在中，，为所在平面外一点，
平面（垂线），AC是斜线PC在平面ABC的射影；
能推导出平面．由此能求出空间四边形围成的几何体
中有多少个直角三角形；
【答案】4；
【解析】在中，，
为所在平面外一点，平面，
，，得 ；
直角三角形有，，，；4个；
【考点】三垂线定理；与直线与平面垂直的性质的应用的简单交汇；解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的灵活运用；
8、已知斜线与平面所成的角为，在平面内任意作的异面直线，则与成的角
有最小值 ，最大值
【提示】根据线面角的定义，可求与成的角有最小值，根据异面直线所成角的范围，可求与成的角有最大值，即可；
【答案】有最小值，最大值；
【解析】因为斜线与平面所成的角为是直线与平面内任意一条直线所成角中的最小值，
则与成的角有最小值.
又因为异面直线所成角的范围为，所以与成的角有最大值；
【考点】三垂线定理；与线面角的定义以及两条异面直线所成角的范围的简单交汇；
三、解答题（第9题12分，第10题16分）
9、已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，试判断平行四边形ABCD的形状；
【解析】由于PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以PA⊥BD；
又PC⊥BD，且PC 平面PAC，
PA 平面PAC，PC∩PA=P，所以BD⊥平面PAC，
又AC 平面PAC，所以BD⊥AC，
又四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是菱形；
【考点】三垂线定理；
10、等腰直角三角形的斜边在平面内，若与所成的角为，求：斜边上的中线与所成的角的大小；
【提示】设在平面内的射影为点O，连接，则，就是与所成的角，设，根据勾股定理和直角三角形的有关知识求出线面角的正弦值；
【答案】；
【解析】如图，设在平面内的射影为点O，连接，
则，就是与所成的角，
设，则，所以，
，所以，所以；故答案为：；
【考点】三垂线定理；与线面角的定义简单交汇；解决此类问题的关键是：借助三垂线定理的基本图形熟练掌握线面角的定义与作法；
【附录】
考点一 三垂线定理 三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直；
已知 PO、PA分别是 平面的垂线、斜线, OA是PA在平面上的射影，a ；则a⊥OAa⊥PA.
