《第 10 章 空间直线与平面》【10.4.2 二面角】
一、选择题（每小题6分，共12分）
1、如果一个二面角的两个半平面分别垂直另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是( )
A大小不确定 B．相等 C．互补 D．相等或互补
2、已知直线m，n与平面α，β，γ，下列可能使α⊥β成立的条件是（ ）
A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝m，m⊥n，nβ C．m∥α，m∥β D．m∥α，m⊥β
二、填充题（每小题10分，共60分）
3、已知AB是平面α的垂线，AC是平面α的斜线，CDα，CD⊥AC，则平面ABC与平面ACD的位置关系是________．
4、如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，
二面角D′－AB－D的大小为________．
5、如图所示，点P在三角形ABC外，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，
二面角B－PA－C的大小等于________．
6、如图所示，平面角为锐角的二面角α EF β，A∈EF，AG α，∠GAE＝45°，
若AG与β所成角为30°，则二面角α EF β的大小为
7、如图所示，平面α⊥平面β，在α与β的交线上取线段AB＝4cm，
AC，BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB，
并且AC＝3cm，BD＝12cm，则线段CD的长为 cm。
8、如图所示，检查工作的相邻两个面是否垂直时，
只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的
另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，
其原理是
三、解答题（第9题12分，第10题16分）
9、如图所示，点P在直角梯形ABCD外，PA⊥平面ABCD，
AB⊥AD，CD⊥AD；
求证：平面PDC⊥平面PAD；
10、如图所示，点P在四边形ABCD外，底面四边形ABCD是边长为1的菱形，
∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝；
（1）证明：平面PBE⊥平面PAB；
（2）求二面角A－BE－P的大小；
【附录】
考点一 二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面；二面角的平面角的定义：在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角；二面角的平面角θ的取值范围为0o≤θ≤180o．
考点二 直二面角 把平面角是直角的二面角叫做直二面角
考点三 两个平面互相垂直 当两个平面相交所成的二面角是直二面角时，我们就说这两个平面互相垂直；
考点四 平面与平面垂直的判定定理 平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直若l, lβ，则 β;
考点五 平面与平面垂直的性质定理 平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么其中一个平面上垂直于交线的直线与另一个平面垂直；若 β，∩ β=l，m，且m l；则m β；《第 10 章 空间直线与平面》【10.4.2 二面角】
一、选择题（每小题6分，共12分）
1、如果一个二面角的两个半平面分别垂直另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是( )
A大小不确定 B．相等 C．互补 D．相等或互补
【答案】A；
【解析】如图，α－l－β为直二面角，γ－a－δ为另一个二面角，
使γ⊥α，δ⊥β，a⊥β.把γ平面固定不动，使平面δ绕直线a转动时，
满足条件，但γ－a－δ的度数不能确定．故选A.
【考点】二面角的定义；与空间想象能力和画特殊图形进行了交汇；
2、已知直线m，n与平面α，β，γ，下列可能使α⊥β成立的条件是（ ）
A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝m，m⊥n，nβ C．m∥α，m∥β D．m∥α，m⊥β
【答案】D；
【解析】选择适合条件的几何图形观察可得，A中α∥β或α与β相交，B中α，β相交，但不一定垂直，C中α∥β或α与β相交；
【考点】平面与平面垂直的判定定理；与线、面平行性质定理进行了交汇；
二、填充题（每小题10分，共60分）
3、已知AB是平面α的垂线，AC是平面α的斜线，CDα，CD⊥AC，则平面ABC与平面ACD的位置关系是________．
【答案】垂直；
【解析】∵AB⊥α，CDα，∴AB⊥CD，
又∵CD⊥AC，AB∩AC＝A，∴CD⊥平面ABC；而CD平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD；
【考点】平面与平面垂直的判定定理；与线、面垂直判定定理进行了交汇；
4、如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，
二面角D′－AB－D的大小为________．
【答案】45°；
【考点】二面角的定义；
5、如图所示，点P在三角形ABC外，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，
二面角B－PA－C的大小等于________．
【答案】90°；
【解析】∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，∴∠BAC是二面角B－PA－C的平面角，
又∠BAC＝90°，则二面角B－PA－C的平面角是90°；
【考点】二面角的定义；
6、如图所示，平面角为锐角的二面角α EF β，A∈EF，AG α，∠GAE＝45°，
若AG与β所成角为30°，则二面角α EF β的大小为
【答案】45°；
【解析】作GH⊥β于H，作HB⊥EF于B，连接GB.
则GB⊥EF，∠GBH是二面角的平面角．
又∠GAH是AG与β所成的角，
设AG＝a，则，GB＝a，GH＝a，
sin∠GBH＝＝.
所以∠GBH＝45°，即二面角α EF β的大小为45°；
【考点】二面角的定义；与利用三垂线定理整合找二面角的平面角的方法；
7、如图所示，平面α⊥平面β，在α与β的交线上取线段AB＝4cm，
AC，BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB，
并且AC＝3cm，BD＝12cm，则线段CD的长为 cm。
【提示】利用已知三角形中的长度关系求解注意△ACB，△BCD都是Rt△；
【答案】13 ；
【解析】连接BC；因为BD⊥AB，直线AB是两个互相垂直的平面α和β的交线，
所以BD⊥α，BD⊥BC．所以△CBD是直角三角形，
在Rt△BAC中，BC＝＝5，在Rt△CBD中，CD＝＝13，所以CD的长为13cm；
【考点】面面垂直的性质定理；同时本题综合运用了面面垂直的性质以及直角三角形中的勾股定理；要求CD的长，关键要构造三角形，将CD转化到三角形中去求解；另外，本题也可以通过连接AD求解。
8、如图所示，检查工作的相邻两个面是否垂直时，
只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的
另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，
其原理是
【答案】面面垂直的判定定理；
【解析】如图，因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB β，OC β且OB∩OC＝O，
根据线面垂直的判定定理，可得OA⊥β.又OA α，
根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β；
【考点】面面垂直的判定定理；同时与线面垂直的判定定理进行了交汇；
三、解答题（第9题12分，第10题16分）
9、如图所示，点P在直角梯形ABCD外，PA⊥平面ABCD，
AB⊥AD，CD⊥AD；
求证：平面PDC⊥平面PAD；
【证明】∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴PA⊥CD.
又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.
又∵CD平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD；
【考点】面面垂直的判定定理；同时与线面垂直的判定定理进行了交汇；
10、如图所示，点P在四边形ABCD外，底面四边形ABCD是边长为1的菱形，
∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝；
（1）证明：平面PBE⊥平面PAB；
（2）求二面角A－BE－P的大小；
【解析】（1）证明：如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．
因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，
又AB∥CD，所以BE⊥AB，
又因为PA⊥平面ABCD，BE平面ABCD，
所以PA⊥BE，而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB.
又BE平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.
（2）由（1）知，BE⊥平面PAB，PB平面PAB，所以PB⊥BE.
又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A－BE－P的平面角．
在Rt△PAB中，tan∠PBA＝＝，∠PBA＝60°，
故二面角A－BE－P的大小是60°；
【考点】面面垂直的判定定理；综上，在有关空间“垂直”的判定与性质证明中，线面垂直的判定与性质和面面垂直的判定与性质定理定理，往往是“交叉”进行地；
【附录】
考点一 二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面；二面角的平面角的定义：在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角；二面角的平面角θ的取值范围为0o≤θ≤180o．
考点二 直二面角 把平面角是直角的二面角叫做直二面角
考点三 两个平面互相垂直 当两个平面相交所成的二面角是直二面角时，我们就说这两个平面互相垂直；
考点四 平面与平面垂直的判定定理 平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直若l, lβ，则 β;
考点五 平面与平面垂直的性质定理 平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么其中一个平面上垂直于交线的直线与另一个平面垂直；若 β，∩ β=l，m，且m l；则m β；
