《第 10 章 空间直线与平面》【*10.5 异面直线间的距离】
一、选择题（每小题6分，共12分）
1、、为异面直线，为、的公垂线，，与、的关系为（ ）
A. 均不相交 B. 与其中一条相交 C. 至少与一条相交 D. 至多与其中一条相交
【答案】D；
【考点】定理与异面直线的公垂线的定义；
2、若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则
A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行
B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直
C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交
D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面
【答案】B；
【解析】对于A，若正确，则l∥m，这与已知矛盾，由此排除A．对于B，由于l和m有且只有一条公垂线a，而过P有且只有一条直线与直线a平行，故B正确；
【考点】定理与异面直线的公垂线的定义；与线、面平行、垂直进行了整合；
二、填充题（每小题10分，共60分）
3、已知正方体的棱长为，异面直线与的距离为__________.
【提示】根据线面垂直性质可得，又，可知所求距离为，从而得到结果.
【答案】
【解析】平面，平面
又 异面直线与之间距离为
故答案为
【考点】异面直线之间的距离的定义；同时考查直线之间的距离的求解的基本方法——直接法；
4、已知长方体的棱、AB、AD的长分别为4cm、5cm、6cm，则异面直线和的距离是______cm.
【提示】画出正方体的图形，直接找出异面直线和之间的距离即可；
【答案】4
【详解】由题意画出长方体，如图：
由图形可知：异面直线与之间的距离是：，
【考点】异面直线之间的距离的定义；同时考查直线之间的距离的求解的基本方法——直接法；
5、若RtΔABC的斜边AB=5，BC=3，BC在平面内，
A在平面内的射影为O，AO=2，
则异面直线AO与BC之间的距离为___________．
【提示】连接，通过证明和可知，
即为异面直线与之间的距离，利用勾股定理可求得结果；
【答案】2
【解析】连接，，， ，，
又，平面，又平面，
即为异面直线与之间的距离：
又
所以，答案为：
【考点】异面直线之间的距离的定义；同时考查求异面直线之间的距离又一方法：结合三垂线定理找异面直线之间的距离；
6、设PA⊥Rt△ABC所在的平面α，∠BAC=90°，PB PC分别与α成45°和30°角，PA=2，则PA与BC的距离是___________；点P到BC的距离是___________.
【提示】作AD⊥BC于点D，连接PD，根据PA⊥面ABC，易得AD是PA与BC的公垂线，平面PAD求解；
【答案】；；
【解析】如图所示：作AD⊥BC于点D，
因为PA⊥面ABC，所以PA⊥AD，
所以AD是PA与BC的公垂线；
因为PB PC分别与α成45°和30°角，PA=2，
所以AB=2，AC=2，BC=4，AD=，
连接PD，由则平面PAD，则PD⊥BC，
所以点P到BC的距离PD=.
故答案为：，；
【考点】异面直线之间的距离的定义；同时考查求异面直线之间的距离又一方法：结合三垂线定理找异面直线之间的距离；
7、为所在平面外一点，为中点，且，，，（）；则异面直线、的距离为 。
【解析】如图，为中点连
，为、公垂线，所以，、距离为；
【考点】异面直线之间的距离的定义；同时考查直线之间的距离的求解的基本方法——直接法；
8、已知点在三角形外，为等腰直角三角形，，，
且，则异面直线与的距离为_____________
【提示】画出空间几何体，取中点M，先根据余弦定理求得；连接，作交于N，则即为异面直线与的距离；
【答案】
【解析】根据题意， 取中点M， 连接，
作交于N，空间几何图形如下图所示:
，，所以
因为为中点，所以，且
则平面，
所以且 ，设
因为
所以由余弦定理可得
代入可解得
在中，可得
在中，由余弦定理可得
代入可得
所以
而，所以即为异面直线与的距离
则，故答案为: ；
【考点】异面直线之间的距离的定义；同时考查直线之间的距离的求解的基本方法——直接法；通过本题体验求异面直线的公垂线的步骤：找、证、求、答，综合性较强；
三、解答题（第9题12分，第10题16分）
9、已知线段平面，为垂足，，
且与平面成30°角，．
求：（1）异面直线与间的距离；
（2）、两点间的距离．
【提示】（1）由题可知是异面直线与的公垂线段，即得出；
（2）过作于，连接，连接，过作交于，根据直角三角形的性质即可求出；
【答案】（1）2；（2）.
【解析】（1）∵平面，，∴，
又，故是异面直线与的公垂线段，由题，所以与间的距离为2；
（2）过作于，连接，
∴是在平面内的射影，
由，∴，
且是与所成角，由题知，
又连接，过作交于，
由，∴，则．
中，，．
中，．
矩形中，，，
∴中，；
【考点】空间两点距离的求解、异面直线之间的距离的定义；同时考查直线之间的距离的求解的基本方法——直接法；解题的关键是正确理解空间中的垂直关系，利用直角三角形的关系求解；
10、正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线A1C1与AB1间的距离.
【提示】求异面直线的距离，有时较难作出它们的公垂线，故通常采用化归思想，转化为求线面距、面面距、或由最值法求得；
【解析】解法1：如图，连结AC1，在正方体AC1中，
∵A1C1∥AC，∴A1C1∥平面AB1C，
∴A1C1与平面AB1C间的距离等于异面直线A1C1与AB1间的距离；
连结B1D1、BD，设B1D1∩A1C1=O1，BD∩AC=O，
∵AC⊥BD，AC⊥DD1，∴AC⊥平面BB1D1D，
∴平面AB1C⊥平面BB1D1D，连结B1O，则平面AB1C∩平面BB1D1D=B1O，
作O1G⊥B1O于G，则O1G⊥平面AB1C，
∴O1G为直线A1C1与平面AB1C间的距离，即为异面直线A1C1与AB1间的距离，
在Rt△OO1B1中，∵O1B1=，OO1=1，∴OB1== ，
∴O1G=，即异面直线A1C1与AB1间距离为；
解法2：如图，在A1C上任取一点M，作MN⊥AB1于N，
作MR⊥A1B1于R，连结RN，
∵平面A1B1C1D1⊥平面A1ABB1，∴MR⊥平面A1ABB1，MR⊥AB1，
∵AB1⊥RN，设A1R=x，则RB1=1－x，
∵∠C1A1B1=∠AB1A1=45°，
∴MR=x，RN=NB1=，
(0＜x＜1
∴当x=时，MN有最小值即异面直线A1C1与AB1距离为；
【考点】空间两点距离的求解、异面直线之间的距离的定义；同时考查直线之间的距离的求解的基本方法直接法与最值法；解题的关键是正确理解空间中的垂直关系，利用直角三角形的关系求解；并且，求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得，以后还可以用空间向量与体积相等法等价解之；
【附录】
考点一 定理 定理：对于任意两条给定的异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交；
考点二 两条异面直线的公垂线；两条异面直线的距离 异面直线和的距离：设直线和是异面直线，当点、分别在和上，且直线既垂直于直线，又垂直于直线时，我们把直线叫做异面直线和公垂线，，垂足、之间的距离叫做异面直线和的距离；《第 10 章 空间直线与平面》【*10.5 异面直线间的距离】
一、选择题（每小题6分，共12分）
1、、为异面直线，为、的公垂线，，与、的关系为（ ）
A. 均不相交 B. 与其中一条相交 C. 至少与一条相交 D. 至多与其中一条相交
2、若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则
A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行
B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直
C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交
D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面
二、填充题（每小题10分，共60分）
3、已知正方体的棱长为，异面直线与的距离为__________.
4、已知长方体的棱、AB、AD的长分别为4cm、5cm、6cm，则异面直线和的距离是______cm.
5、若RtΔABC的斜边AB=5，BC=3，BC在平面内，
A在平面内的射影为O，AO=2，
则异面直线AO与BC之间的距离为___________．
6、设PA⊥Rt△ABC所在的平面α，∠BAC=90°，PB PC分别与α成45°和30°角，PA=2，则PA与BC的距离是___________；点P到BC的距离是___________.
7、为所在平面外一点，为中点，且，，，（）；则异面直线、的距离为 。
8、已知点在三角形外，为等腰直角三角形，，，
且，则异面直线与的距离为_____________
三、解答题（第9题12分，第10题16分）
9、已知线段平面，为垂足，，
且与平面成30°角，．
求：（1）异面直线与间的距离；
（2）、两点间的距离．
【提示】（1）由题可知是异面直线与的公垂线段，即得出；
10、正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线A1C1与AB1间的距离.
【附录】
考点一 定理 定理：对于任意两条给定的异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交；
考点二 两条异面直线的公垂线；两条异面直线的距离 异面直线和的距离：设直线和是异面直线，当点、分别在和上，且直线既垂直于直线，又垂直于直线时，我们把直线叫做异面直线和公垂线，，垂足、之间的距离叫做异面直线和的距离；
