人教版数学八年级下册19.1.1变量与函数（2）教学设计

19.1.1变量与函数(2)教学设计
一、 教材分析：
本节是人教版数学八年级下册第十九章第1节，在这一节中，学生首次接触函数这个概念，它是研究运动变化规律的重要数学模型，刻画了变化过程中变量之间的对应关系。函数概念是中学数学的核心概念，是之后学习各类函数、方程等内容的重要基础。因此，本节课具有极其重要的作用。
二、 学情分析：
八年级的学生求知欲旺盛，具有强烈的操作兴趣。观察能力、记忆能力和想象能力等也有了进一步的发展。但这一阶段自我意识增强，因此在教学中引导学生通过动手实践与探索，参与到函数概念的形成过程过程中去，激发他们的学习兴趣，并培养他们分析问题和解决问题的能力。同时向学生渗透变化与对应的思想和建模思想。
三、 教学目标：
1.知识与技能：
结合实例，了解函数的概念，了解自变量与函数的意义。能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值。
过程与方法：
经历动手实践与探索，观察等活动参与函数概念的形成过程，初步体会变量之间的联系，感受变化与对应的思想，提高学生分析问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观 ：
在解决问题的过程中体会数学的应用价值,增强对学习的兴趣和积极参与数学活动的热情，感受数学的严谨性及数学结论的确定性。
四、教学重点：了解函数概念和自变量的意义。会求函数值。
教学难点：概括并理解函数概念中的单值对应关系。
五、 教学方法
启发式教学法、。分析归纳法、自主探究法、
六、教学准备
多媒体辅助教学。
七：教学过程
一：创设情境，提出问题：
提问：（1）同学们，上节课我们已经学习了常量与变量，那么我想问一下大家什么什么变量？什么什么常量？
（2）你能指出下列式子中的变量与常量吗？它们变量之间有什么关系吗？
y=2x a=3+2.4b C=2πR
学生独立思考并回答问题（1）小组合作讨论回答问题（2）
通过前面的问题，我们体会到万物皆变，在运动变化过程中往往蕴含着量的变化，这节课呢我们一起来研究两个变量之间的关系——函数。
（设计意图：通过复习上节课的内容，提出本节课需要研究的问题，引起合理的选择性注意，起先行组织者作用。）
二：合作探究，形成概念：
问题1：我们继续来看由71页问题所得的四个关系式
（1）s=60t；（2）y=10x；（3）S=πr ；（4）y=5－x
每个关系式中是否都存在两个变量？在这四个关系式中，是那一个量随那一个量的变化而变化？当一个变量取定一个值时？另一个变量的值是唯一确定的吗？
师生一起分析变化过程（1）中变量之间的关系，引导学生得出（1）有两个变量s,t,然后是s随着t的变化而变化。
设计意图：初步概括变量的联动性。
师生活动：教师引导学生取定t的一些值，计算s的对应值并列表。
T/h 1 2 3 4 5 ......
S/km 60 120 180 240 300 ......
在学生观察观察分析讨论发表自己意见的基础上，师生共同归纳：时间t，里程s的值是按照某种规律变化的。当t的值确定后，s 的值有一个且只有一个。也就是说，当t取定一个值时，s的值由t的值完全确定，而且唯一确定。
设计意图：通过师生，共同讨论，得出函数概念的第一次概括归纳的样例。
师生活动：引导学生对变化过程（2）-（4）进行类似于变化过程（1）的变量关系小组讨论分析之后得出：
上面的每个问题中的两个变量互相联系。当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有惟一确定的值与其对应。
设计意图：对能用解析式表示的变量之间的对应关系的共同特征进行初步概括。
问题2
师生活动：引导学生说出年份与人口数的对应关系，体会用表格也可以由一个变量的值确定出另一个相关变量的值。
设计意图：让学生体会到，当一个变量取定一个值时，可以通过查表唯一确定出另一个变量的值。突出函数的本质属性，剥离“用公式表示变量关系”这一非本质属性。
问题3：下图是体检时的心电图．其中图上点的横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的对应值吗？
师生活动：引导学生观察心电图，体会由心电图可以根据时间确定生物电流的数值。体会这也是变量之间的单值对应关系。
设计意图：让学生体会到，当一个变量取定一个值时，通过图像也可以确定另一个变量的唯一值。突出函数的本质属性。
问题4：上述实际问题中两个变量之间的关系，当一个变量取定一个值时，既有通过公式确定另一个变量唯一的值，又有通过对应表格确定另一个变量唯一的值，还有通过图像确定另一个变量唯一的值。综合这些现象，你能归纳出上面实例中变量之间关系的共同特点吗？请大家相互讨论。
学生分组讨论归纳出如下结论：
函数的概念：一般来说，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就说x是自变量，y是x的函数。
强调学生注意：一个变化过程中只有两个变量，两个变量之间的对应关系是“x的每一个确定的值y都有唯一确定的值与其对应”。“x的每一个确定的值”中的“确定”是指x的取值要符合变化过程的实际意义。
追问：请结合问题1（1）说说函数定义中“变化”“对应”“唯一确定”的含义。
师生活动：学生借助表格小组讨论
T/h 1 2 3 4 5 ......
S/km 60 120 180 240 300 ......
，
师引导点评并顺势带出函数值的概念：
如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
可以认为问题（1）中，时间t是自变量，路程s是t的函数，当t=1时，函数值s=60，当t=2时，函数值s=120，
（设计意图：通过具体实例提出注意问题，帮助学生把握概念的本质特征，并在概念的形成过程中培养学生的观察、分析概括和抽象等能力。）
追问：（1）如何理解“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应”这句话？请举例说明。
（2）函数值由谁来确定？怎样求函数值？
（3）自变量和函数是相对而言的，它们二者之间有时可以互换。有时不能。
（4）思考问题3中，心脏部位的生物电流y是时间x的函数，但时间x不是生物电流y的函数。为什么
学生小组讨论师完善总结出：
变量x与y的关系可以是一对一，二对一，多对一。如果是一对多的情况就不是函数了。
确定函数值必须是首先确定两个变量之间的对应关系，然后确定自变量的值，根据对应关系确定函数值。
对函数概念的理解应抓住以下三点：
①某一变化过程中有两个变量
②一个变量的数值随着另一个变量的数值变化而变化
③自变量每确定一个值，函数就有一个并且只有一个值与之对应。
（设计意图：通过概括变量关系的共同特征，形成函数概念。）
练习1.写出下列各问题中的关系式，并指出其中的自变量与函数。
（1）正方形的面积S 随边长 x 的变化
（2）秀水村的耕地面积是106m2，这个村人均耕地面积y随着
人数x的变化而变化
长方形的周长是18 ,它的长是m，宽是n ；
师生活动：小组讨论得出结果并派代表回答。
（设计意图：通过练习，进一步帮助学生把握并理解概念的本质特征。）
三：初步练习，了解概念：
例1汽车油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y(单位：L)随行驶路x(单位：km)的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km.
师引导学生共同分析：
（1）写出表示y 与 x的函数关系的式子：
y= x=0
y= x=1
y= x=2
y= x=3
…… ……
y= x=x
（2）指出自变量x的取值范围：
最近：路程不能为负数，但可以取到0km，表示还没开始走，
最远：一共有50L油，耗油量为0.1L/km，有一个0.1L，跑1km，有两个0.1L，跑2km，要看50L里有多少个0.1L，就可以跑多少km，所以，50÷0.1=____km，最远可以跑________km.
∴_______≤x≤______
（3）汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？
分析：
y=50-0.1x
相当于求x=200时，y的函数值。
最后师生共同归纳，得出结论，在这里进一步强调确定自变量的取值范围时，不仅要考虑到函数关系式必须有意义，而且还要注意问题的实际意义。
解：:(1)行驶路程x是自变量，油箱中的油量y是x的函数，它们的关系为: y = 50－0.1x
仅从式子y = 50－0.1x看，x可以取任意实数。但是考虑到x代表的实际意义为行驶路程，因此x不能取负数，行驶中的耗油量为0.1x，它不能超过油箱中现有汽油量50，即
由x≥0及50≥0.1x 　得　0 ≤ x ≤ 500
因此，自变量x的取值范围是
0 ≤ x ≤ 500
(3)当 x = 200时,函数 y 的值为:y=50－0.1×200=30
因此,当汽车行驶200 km时,油箱中还有油30L
总结：像y=50-0.1x这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫函数的解析式。
（设计意图：形成函数概念后，及时进行概念理解与巩固。）
练习：试写出函数解析式：
（1）改变正方形的边长x，正方形的面积S 随之改变。
（2）秀水村的耕地面积是106m2，这个村人均耕地面积y随着这个村
人数x的变化而变化
（3）每分向一水池注水0.1m3 ，注水量y随注水时间x的变化而变化。
（4）水池中有水10L，此后，每小时漏水0.05L，水池中的水量V随时间t的变化而变化。
（5）楼梯的上底长2cm。高3cm，下底长xcm大于上底但不超过5cm，写出梯形面积S关于x的函数解析式及自变量x的取值范围。
四：综合应用，深化理解：
1.下列关系中，y不是x函数的是（ ）
2.下列各曲线中那些表示y是x的函数:
3.4.下列各式中，X是自变量，请判断Y是不是X的函数？若是，求出自变量X的取值范围。
(1).y＝ 3x-5 ( 2).y＝ (3).y＝ +4. (4)y=
5. (1)在上面问题中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗？如果有，写出它的取值范围．求出下列函数中自变量的取值范围
师生活动：学生独立完成后小组讨论，师个别指导，并派代表黑板板书练习4,5。师纠正书写格式。
设计意图：通过练习进一步理解函数的概念，让学生充分体会到许多问题中的变量关系都存在着函数关系。
五：课堂小结：
我感触最深(最困惑)的是……本节课——
整体的感知
我学会了……
我经历了……
(设计意图：以提问的方式请同学们说出自己的收获、成功的地方、困难的地方、疑问等。通过总结与归纳，完善学生已有的知识结构。)
六：作业布置：
复习本节课所学内容，预习下节课的内容。
课本81页复习巩固：第一题，第二题。
（设计意图：通过作业分层，做到面向全体学生，注重个体差异，使不同的学生各得其所。）
七：板书设计：
19.1.1变量与函数（2）
函数的概念：
一般来说，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就说x是自变量，y是x的函数。
函数值：
如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
函数的解析式：
用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫函数的解析式。