广东省惠州市2014届高三第一次调研考试数学（文）试题

惠州市2014届高三第一次调研考试
数学试题（文科）
（本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.
1.已知集合， QUOTE QUOTE 则 （ ）
A. B. C. D.
2.复数等于（ ）
A. B. C. D.
3.在数列中，，公比，则的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．16
4.某城市修建经济适用房．已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户，若首批经济适用房中有90套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为（ ）
A．40 B．36 C．30 D．20
5.下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数是（ ）
A． B． C． D．
6.已知平面向量的夹角为，且，，则等于（ ）
A. B. C. D.
7.若正三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的表面积是（ ）
A. B. C. D.
8.执行如图所示程序框图．若输入，则输出的值是（ ）
A． B． C． D．
9.圆与直线相切于第三象限，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
10.设函数有三个零点，
且则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．
11.在中，若，则= .
12.不等式组表示的平面区域的面积是 .
13.定义映射，其中，，已知对所有的有序正整数对满足下述条件:①，②若，；
③，则 .
14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，为极点，直线过圆：的圆心，且与直线垂直，则直线的极坐标方程为 ．
15.(几何证明选讲选做题) 如图示，是半圆周上的两个三等分点，直径，，垂足为，则的长为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16.（本小题满分12分）已知函数.（1）求函数的最小正周期和最小值；（2）若，，求的值.
组别 候车时间 人数
一 2
二 6
三 4
四 2
五 1
17.（本小题满分12分）为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成5组，如下表所示：
（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；
（2）若从上表第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．
18.（本小题满分14分）在正方体中，棱长为2，是棱上中点，是棱中点，
（1）求证：面；（2）求三棱锥的体积．
19．（本小题满分14分）设数列的前项和为，点在直线上，．（1）证明数列为等比数列，并求出其通项；
（2）设，记，求数列的前和．
20．（本小题满分14分）如图，,是椭圆的两个
顶点, ，直线的斜率为．
求椭圆的方程；（2）设直线平行于，
与轴分别交于点，与椭圆相交于，
证明：△的面积等于△的面积．
21．(本小题满分14分）已知函数，，（1）若，求函数的极值；
（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
（3）在函数的图象上是否存在不同的两点，使线段的中点的横坐标与直线的斜率之间满足？若存在，求出；若不存在，请说明理由.
惠州市2014届高三第一次调研考试试题
数 学（文科）答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B C D C A C C C
【解析】
1. ，故，选C
2. ，选D
3.数列为，等比数列，，选B
4.设从乙社区抽取户，则，解得 ，选C
5.不是偶函数，是周期函数，在区间上不是单调递减，在区间上单调递增，故选D。
6.，选C
7.由三视图可知，三棱柱的高为1，底面正三角形的高为，所以正三角形的边长为2，所以三棱柱的侧面积为，两底面积为，所以表面积为，选A.
8. ，故选C
9. 解得，因为圆与直线相切于第三象限，由图可知，，故选C。
10．，令 故
+ 0 — 0 +
递增 极大值 递减 极小值 递增
又因为，，，，综合以上信息可得示意图如右，由图可知，<1，选C.
二、填空题11. 12. 13.2 14. 15.
【解析】11.由余弦定理解得
12.不等式组表示的可行域如图所示，故面积为
13.由题意可知，，，
14. 圆C的直角坐标方程为，故圆心C为，过圆心且与OC垂直的直线为，转为极坐标方程为。
15.依题意知,则,
,代入解得。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16.解：（1）已知函数即 ……………………………2分
… ………………………………………………………3分
当时，即，…………………………4分
…………………………………………………………6分
（2）……………8分
由，，解得：………10分
……………………………………11分
所以 …………………………………12分
17.解：（1）由频率分布表可知：这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8，
所以，这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约等于人.…4分
（2）设第三组的乘客为，第四组的乘客为1，2；
“抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件.………………………………5分
所得基本事件共有15种，即：
…………………8分
其中事件包含基本事件，共8种，………10分
由古典概型可得， ………………………12分
18.解：（1）取中点，连接，
则为中位线，，…………2分
而正方体，是棱上中点，
故，………………4分
，所以四边形为平行四边形。
， ……………6分
而面，面，
故……………………………8分
（2）正方体中，，故为高，………10分
…………12分
故………14分
19.解：（1）…………………………………1分
时，………………2分
时，，………………………3分
两式相减得：，，………5分
是以为首项，为公比的等比数列. ………………6分
…………………………………………7分
，则，…………9分
①
②…………………10分
①-②得：……………11分
…………13分
……14分
20．（1）解：依题意，，，
整理得 ………………………………2分
解得 ，． ………………………………3分
所以 椭圆的方程为． ………………………4分
（2）证明：由于//，设直线的方程为，将其代入，消去，
整理得． ………6分
设，．
所以 ………8分
证法一：记△的面积是，△的面积是．
由，，
则………………10分
因为 ，所以 ，…13分
从而． ………………………………………14分
证法二：记△的面积是，△的面积是．
则线段的中点重合． ………………10分
因为 ，所以 ，．
故线段的中点为．
因为 ，，所以 线段的中点坐标亦为．……13分
从而． ………………………………………14分
21.解：（1）的定义域为………………………………………………1分
，…………………………………………2分
故单调递增；
单调递减，…………………3分
时，取得极大值，无极小值。……………………………4分
（2），，
若函数在上单调递增，
则对恒成立…………………………………5分
，只需………………6分
时，，则，，………7分
故，的取值范围为…………………………………8分
（3）假设存在，不妨设，
………………………9分
…………………………………………10分
由得，整理得………11分
令，，…12分，
在上单调递增，………………………………………13分
，故
不存在符合题意的两点。…………………………14分
开始
结束
输入
是
否
输出
E
D
C
B
A
O
A1
B1
C
B
D1
C1
A
D
E
P
E
D
C
B
A
O
A1
B1
C
B
D1
C1
A
D
E
P
Q