数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.1 空间向量及其线性运算 课件（共28张ppt）
文档属性
| 名称 | 数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.1 空间向量及其线性运算 课件（共28张ppt） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 3.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-21 13:39:15 | ||
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文档简介
(共28张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.1.1 空间向量及其线性运算
问题1：
根据简介，你认为我们研究空间向量基本方法是什么
追问：
类比平面向量，你认为本章我们需要研究空间向量哪些内容
概念——运算——基本定理——坐标表示——应用
学习目标
1.通过类比平面向量理解空间向量的概念.
2.类比平面向量掌握一些特殊向量如零向量和单位向量，相等向量和相反向量，后续进一步理解共面向量.
3.类比平面向量线性运算掌握空间向量的加法、减法和数乘等线性法则、以及结合律和交换律等运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解，培养数形结合思想，发展数学抽象等核心素养。
我们一起回忆一下平面向量的相关概念，类比的得出空间向量的概念
探究一：我们已经学面向量的概念，我们能否根据平面向量的概念类比得出空间向量的概念？
追问1：通过概念的学习，你认为空间向量对比平面向量差异是什么？
维度
追问2：从空间向量相等出发，你认为共线向量，有什么样的位置关系？如果在空间中任给两个向量，他们有什么样的位置关系？为什么？
空间中任意两个向量都可以平移到同一平面内
探究二：我们学面向量相关的概念后，学面向量的线性运算，通过解决追问2，你认为空间中任意两向量如何进行线性运算？
我们一起回忆一下平面向量的线性运算，类比的得出空间向量线性运算
合作探究
问题5 请大家以小组形式进行讨论
1.回忆出平面向量的加减法运算及其运算法则，还有平面向量的运算律有哪些？
2.空间向量的加减法及其法则，运算与平面向量是否一致？
问题4 平面向量的线性运算有哪些？我们当时是如何探究这些运算？
加法，减法，数乘
定义
法则
运算律
比一比，看哪个小组列出又快又准！
平面向量 空间向量
加减法 定义：求两个平面向量的和与差的运算. 法则：三角形法则和平行四边形法则
A
B
C
O
空间向量加减运算
平面向量 空间向量
数乘运算
空间向量数乘
平面向量 空间向量
运算法则
交换律：
结合律
分配律
由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算.
空间向量运算律
问题6 请大家思考下，下面的结合律是该如何解释？
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
体对角线
运算律的证明
问题7.我们知道，可以通过向量运算研究向量位置关系，那么对于空间向量位置关系你能找到哪些关系？得出哪些结论？
两个向量：共线，共面。
三个向量：共线，共面，不共面。
问题8 平面中两个共线向量的充要条件是什么？
直线的方向向量
空间向量同样适用
研究三：两向量共线
核心：直线可由直线上任意一点和他的方向向量确定。
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
O
A
向量可以进行平移
平行即共面
研究四：共面向量
追问：空间中三个向量如何才能共面？
结合前面的研究方法，我们该从哪个方向去思考？
问题9 平面向量基本定理是什么？
平面向量基本定理：如果两个向量不共线,则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y)使.
向量可以进行平移
平面向量基本定理也可以是共面向量定理
注意：
（1）向量可以进行平移的
（2）空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向 量就不一定共面的了。
(3)判断三个向量是否共面
向量共面的充要条件:如果两个向量不共线,则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y)使.
向量共面
（4）判断点共面
例1 如图,已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使
求证：E，F，G，H四点共面
证明:
·
追问：最终的结果你还有没有其他的表示方法？能得到什么结论？
问题8 A,B,P三点共线的充要条件是什么？
问题9 P与A,B,C四点共面的充要条件是什么？
你能不能给出证明？
类比
四点共面结论
【做一做】已知O为空间任意一点，若，则四点P,A,B,C（ ）
A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断
【答案】B
2.空间的四点M、A、B、C四点共面，只需满足，且.
1.空间的三点M、A、B三点共线，只需满足，
且。
【重要结论】
典例
典型例题
2.空间向量的线性运算
例2. 如图所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)；(2)；(3)＋.
[解析] (1)因为P是C1D1的中点，所以＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋c＋b.
(2)因为N是BC的中点，所以＝＋＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.
(3)因为M是AA1的中点，所以＝＋＝＋
－a＋（a+b+c)＝a＋b＋c，
又＝＋＝＋＝＋＝c＋a，
所以＋＝(a＋b＋c)＋(c＋a)＝a＋b＋c.
向量的加法运算！
典型例题
3.空间向量共线问题
例3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且，F在对角线A1C上，且，
求证：E，F，B三点共线.
【解析】设a，=b，=c，
∵，，∴，，而==b
∴=b，==.
∴,又,
∴=，即E，F，B三点共线.
典型例题
【巩固练习4】在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】空间的四点M、A、B、C四点共面，只需满足，且即可，对于A，中0，故此时四点M、A、B、C四点不共面；
对于B，中，此时四点M、A、B、C四点不共面；
对于C，，，即，此时四点M、A、B、C四点共面；
对于D，，则，此时,四点M、A、B、C四点不共面；故选：C
操作演练 素养提升
1.如图，在四棱柱的上底面中，，则下列向量相等的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
2.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，若，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3.设空间任意一点O和不共线三点A,B,C，且点P满足向量关系，
若P,A,B,C四点共面，则______．
4.如图，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且，.求证：四边形EFGH是梯形.
答案：1.D 2.C 3.1 4.略
课堂小结
知识总结
第一章 空间向量与立体几何
1.1.1 空间向量及其线性运算
问题1：
根据简介，你认为我们研究空间向量基本方法是什么
追问：
类比平面向量，你认为本章我们需要研究空间向量哪些内容
概念——运算——基本定理——坐标表示——应用
学习目标
1.通过类比平面向量理解空间向量的概念.
2.类比平面向量掌握一些特殊向量如零向量和单位向量，相等向量和相反向量，后续进一步理解共面向量.
3.类比平面向量线性运算掌握空间向量的加法、减法和数乘等线性法则、以及结合律和交换律等运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解，培养数形结合思想，发展数学抽象等核心素养。
我们一起回忆一下平面向量的相关概念，类比的得出空间向量的概念
探究一：我们已经学面向量的概念，我们能否根据平面向量的概念类比得出空间向量的概念？
追问1：通过概念的学习，你认为空间向量对比平面向量差异是什么？
维度
追问2：从空间向量相等出发，你认为共线向量，有什么样的位置关系？如果在空间中任给两个向量，他们有什么样的位置关系？为什么？
空间中任意两个向量都可以平移到同一平面内
探究二：我们学面向量相关的概念后，学面向量的线性运算，通过解决追问2，你认为空间中任意两向量如何进行线性运算？
我们一起回忆一下平面向量的线性运算，类比的得出空间向量线性运算
合作探究
问题5 请大家以小组形式进行讨论
1.回忆出平面向量的加减法运算及其运算法则，还有平面向量的运算律有哪些？
2.空间向量的加减法及其法则，运算与平面向量是否一致？
问题4 平面向量的线性运算有哪些？我们当时是如何探究这些运算？
加法，减法，数乘
定义
法则
运算律
比一比，看哪个小组列出又快又准！
平面向量 空间向量
加减法 定义：求两个平面向量的和与差的运算. 法则：三角形法则和平行四边形法则
A
B
C
O
空间向量加减运算
平面向量 空间向量
数乘运算
空间向量数乘
平面向量 空间向量
运算法则
交换律：
结合律
分配律
由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算.
空间向量运算律
问题6 请大家思考下，下面的结合律是该如何解释？
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
体对角线
运算律的证明
问题7.我们知道，可以通过向量运算研究向量位置关系，那么对于空间向量位置关系你能找到哪些关系？得出哪些结论？
两个向量：共线，共面。
三个向量：共线，共面，不共面。
问题8 平面中两个共线向量的充要条件是什么？
直线的方向向量
空间向量同样适用
研究三：两向量共线
核心：直线可由直线上任意一点和他的方向向量确定。
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
O
A
向量可以进行平移
平行即共面
研究四：共面向量
追问：空间中三个向量如何才能共面？
结合前面的研究方法，我们该从哪个方向去思考？
问题9 平面向量基本定理是什么？
平面向量基本定理：如果两个向量不共线,则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y)使.
向量可以进行平移
平面向量基本定理也可以是共面向量定理
注意：
（1）向量可以进行平移的
（2）空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向 量就不一定共面的了。
(3)判断三个向量是否共面
向量共面的充要条件:如果两个向量不共线,则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y)使.
向量共面
（4）判断点共面
例1 如图,已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使
求证：E，F，G，H四点共面
证明:
·
追问：最终的结果你还有没有其他的表示方法？能得到什么结论？
问题8 A,B,P三点共线的充要条件是什么？
问题9 P与A,B,C四点共面的充要条件是什么？
你能不能给出证明？
类比
四点共面结论
【做一做】已知O为空间任意一点，若，则四点P,A,B,C（ ）
A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断
【答案】B
2.空间的四点M、A、B、C四点共面，只需满足，且.
1.空间的三点M、A、B三点共线，只需满足，
且。
【重要结论】
典例
典型例题
2.空间向量的线性运算
例2. 如图所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)；(2)；(3)＋.
[解析] (1)因为P是C1D1的中点，所以＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋c＋b.
(2)因为N是BC的中点，所以＝＋＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.
(3)因为M是AA1的中点，所以＝＋＝＋
－a＋（a+b+c)＝a＋b＋c，
又＝＋＝＋＝＋＝c＋a，
所以＋＝(a＋b＋c)＋(c＋a)＝a＋b＋c.
向量的加法运算！
典型例题
3.空间向量共线问题
例3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且，F在对角线A1C上，且，
求证：E，F，B三点共线.
【解析】设a，=b，=c，
∵，，∴，，而==b
∴=b，==.
∴,又,
∴=，即E，F，B三点共线.
典型例题
【巩固练习4】在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】空间的四点M、A、B、C四点共面，只需满足，且即可，对于A，中0，故此时四点M、A、B、C四点不共面；
对于B，中，此时四点M、A、B、C四点不共面；
对于C，，，即，此时四点M、A、B、C四点共面；
对于D，，则，此时,四点M、A、B、C四点不共面；故选：C
操作演练 素养提升
1.如图，在四棱柱的上底面中，，则下列向量相等的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
2.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，若，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3.设空间任意一点O和不共线三点A,B,C，且点P满足向量关系，
若P,A,B,C四点共面，则______．
4.如图，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且，.求证：四边形EFGH是梯形.
答案：1.D 2.C 3.1 4.略
课堂小结
知识总结