人教小数学生辅导讲义
[教师版]
学员姓名 年 级
辅导科目 学科教师
上课时间
第4讲 比
思维导图
知识梳理
知识点一：比的意义、各个部分的名称
1. 两个数量之间的关系可以用两个数的比来表示。
2. 在两个数的比中，“：”是比号，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项，比的前项除以后项所得的商叫做比值。
3. 比的前项，后项和比值分别相当于除法算式中的：被除数，除数和商；分别相当于分数中的：分子、分母和分数值。比的后项不能是0。
知识点二：比的基本性质和化简比
1.比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变，这叫做比的基本性质。
2.化简比的方法：
(1)化简整数比时，前、后项同时除以最大公因数。
(2)化简分数比时，前、后项同时乘它们分母的最小公倍数，转化成整数比，再化简。
(3)化简小数比：先把前、后项的小数点同时向右移动相同的位数，转化成整数比，再化简。
知识点三：按比分配
按比分配的解题方法：
方法一：把比看作份数之比。先求每份是多少，再求几份是多少。
解题步骤：①求出总份数；②求出一份是多少；③求出各部分的数量。
方法二：把比转化成分率。利用分数乘法解答。
解题步骤：①求出总份数；②求出各部分占总量的几分之几；③求出各部分的数量。
精讲精练
考点一：比的意义、各个部分的名称
典例分析
【例1】在15：20＝0.75中，15叫做比的 前项 ，20叫做比的 后项 ，0.75叫做 比值 ．
【思路分析】如果a：b＝d，则a是比的前项，b是比的后项，d是比值，所以在15：20＝0.75中，15叫做比的前项，20叫做比的后项，0.75叫做比值．
【规范解答】解：在15：20＝0.75中，15叫做比的前项，20叫做比的后项，0.75叫做比值．
故答案为：前项，后项，比值．
【名师点评】本题主要考查了比的各部分的名称．
举一反三
1．(五河县期末) 3 ÷24＝1： 8 ＝0.125．
【思路分析】把0.125化成分数并化简是，根据比与分数的关系＝1：8；根据分数与除法的关系＝1÷8，再根据商不变的性质被除数数、除数都乘3就是3÷24．
【规范解答】解：3÷24＝1：8＝0.125．
故答案为：3，8．
【名师点评】解答此题的关键是0.125，把0.125化成分数并化简，根据分数与小数、除法、比之间即可解答．
2．(儋州)甲数与乙数的比是2：3，可以说成甲数是乙数的． 正确 ．
【思路分析】甲数与乙数的比是2：3，写出比例为：甲数：乙数＝2：3＝，根据比与除法的关系，也可以写成：甲数÷乙数＝，所以可以说成甲数是乙数的；因此判断为正确．
【规范解答】解：因为甲数：乙数＝2：3＝，
所以甲数÷乙数＝，
所以甲数与乙数的比是2：3，可以说成甲数是乙数的；
故判断为：正确．
【名师点评】此题考查比与分数、除法的关系，解决此题关键是先求出甲、乙两个数的比的比值，进而把比转化成除法算式，问题得解．
3．(邹城市期末)5÷8＝＝15÷ 24 ＝ 0.625 (填小数)
【思路分析】根据商不变的性质，5÷8的被除数、除数都乘3就是15÷24；根据分数与除法的关系5÷8＝，再根据分数的基本性质分子、分母都乘7就是；5÷8＝0.625．
【规范解答】解：5÷8＝＝15÷24＝0.625．
故答案为：35，24，0.625．
【名师点评】此题主要是考查除法、小数、分数之间的关系及转化．利用它们之间的关系和性质进行转化即可．
考点二：比的基本性质和化简比
典例分析
【例2】(铜官区期末)在3：2中，如果前项加上6，要使比值不变，后项要加上 4 ．
【思路分析】在3：2中，如果前项加上6，由3变成9，相当于是前项乘上3；根据比的性质，要使比值不变，后项也应该乘上3，由2变成6，也就是2加上4．据此进行填空．
【规范解答】解：在3：2中，前项加上6，由3变成9，是前项乘上3；
根据比的性质，要使比值不变，后项也要乘上3，由2变成6，也就是后项2加上4．
故答案为：4．
【名师点评】此题考查比的性质的运用：比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数(0除外)，比值才不变．
举一反三
1．(巴东县期末)把a：7(a≠0)的前项乘3，比值不变，后项应该是 21 ；若把后项“7”改为“1”，要使比值不变，前项应该是
【思路分析】比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数(0除外)，比值才不变；据此解答．
【规范解答】解：把a：7(a≠0)的前项乘3，比值不变，后项应该是7×3＝21；
若把后项“7”改为“1”，要使比值不变，前项应该是a÷7＝．
故答案为：21，．
【名师点评】此题考查比的性质的运用．
2．(罗平县校级模拟)5：6的前项增加10，要使比值不变，后项应增加 12 ．
【思路分析】根据5：6的前项增加10，可知比的前项由5变成15，相当于前项乘3；根据比的性质，要使比值不变，后项也应该乘3，由6变成18，也可以认为是后项加上18﹣6＝12；据此进行选择．
【规范解答】解：比的前项：5+10＝15，由5变成15，相当于前项乘3；
要使比值不变，后项也应该乘3，由6变成6×3＝18，即后项加上18﹣6＝12．
答：后项应增加12．
故答案为：12．
【名师点评】此题考查比的性质的运用，比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值才不变．
3．(福田区)5：2的后项扩大到原来的3倍，要使比值不变，前项应该加上 10 ．
【思路分析】比的性质是指比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变；据此分析解答．
【规范解答】解：5：2的后项扩大到原来的3倍，要使比值不变，
前项也应扩大3倍，由5变成15，也就是前项应该加上15﹣5＝10；
故答案为：10．
【名师点评】此题主要利用比的性质解决问题，只有比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值才会不变．
考点三：按比分配
典例分析
【例3】在一场篮球比赛中，甲队全场共得了99分，上半场和下半场所得分数的比是5：4．甲队下半场得了 44 分．
【思路分析】上半场和下半场得分的比是5：4，则下半场得分占全场共得分的，用全场共得分乘下半场得占的比率即可得甲队下半场得了多少分．
【规范解答】解：99×
＝99×
＝44(分)
答：甲队下半场得了44分．
故答案为：44．
【名师点评】本题考查了比的应用，关键是得出下半场得分占全场共得分的．
举一反三
1．用84cm长的铁丝围成一个直角三角形，这个直角三角形三边长度的比是3：4：5．这个直角三角形的面积是 294 cm2．
【思路分析】根据“三角形三条边的长度的比是3：4：5”，可知这个三角形的两条直角边分别占了周长的和，三角形的周长是84厘米，求出两条直角边的长，再根据三角形的面积公式进行计算即可．
【规范解答】解：84×＝21(厘米)
84×＝28(厘米)
21×28÷2＝294(平方厘米)
答：这个直角三角形的面积是294平方厘米．
故答案为：294．
【名师点评】本题的重点是根据按比例分配的知识求出这个三角形的两条直角边是多少，再根据三角形的面积公式进行计算．
2．(中原区)在三角形ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A＝ 30 °；按角的大小分类，这个三角形是 直角 三角形．
【思路分析】根据三角形的内角和定理，三角形三个内角之和是180°，把180°平均分成(1+2+3)份，用除法即可求出1份(∠A)的度数．∠A是这个三角形中最小的角，要想把这个三角形按角分类，还须求出这个三角形撮大角∠C的度数，用∠A的度数乘3就是∠C的度数，然后根据∠C的度数即可对这个三角形按角分类．
【规范解答】解：180°÷(1+2+3)
＝180°÷6
＝30°
30°×3＝90°
答：∠A＝30°；按角的大小分类，这个三角形是直角三角形．
故答案为：30，直角．
【名师点评】此题主要考查了三角形内角和定理、按比例分配、三角形(按角)的分类．
3．(长沙)有A、B两条绳，第一次剪去A的，B的；第二次剪去A绳剩下的，B绳剩下的；第三次剪去A绳剩下的，B绳剩下的，最后A剩下的长度与B剩下的长度之比为2：1，则原来两绳长度之比是 10：9 ．
【思路分析】本题要分别算出A、B两条绳剪三次之后还剩下原来的几分之几，最后通过剩下的部分之比算出原来长度之比．
【规范解答】解：(1)a绳第二次剪去：(1﹣)×＝，
第三次剪去：(1﹣﹣)x＝，
a绳还剩下：1﹣﹣﹣＝；
(2)b绳第二次剪去：(1﹣)×＝，
第三次剪去：(1﹣﹣)×＝，
b绳还剩下：1﹣﹣﹣＝；
(3)最后a剩下的长度与b剩下的长度之比为2：1，那么两绳长度的比为：(2÷)：(1÷)＝10：9
故答案为：10：9．
【名师点评】完成本题要细心，一步步求出最后剩多少，再求出原来的比．
巩固提升
一．选择题(共6小题)
1．(蕲春县)甲走完一段路要0.25小时，乙走完这段路要25分钟，甲与乙的速度比是( )
A．1：1 B．4：5 C．3：5 D．5：3
【思路分析】首先把0.25小时化成分钟数，用0.25乘进率60得15分，把这段路的总长看作单位“1”，先分别求出速度，进一步写比并化简比即可．
【规范解答】解：0.25×60＝15(分)
：
＝(×75)：(×75)
＝5：3
答：甲与乙的速度比是5：3．
故选：D．
【名师点评】本题的关键是根据“时间、路程、速度”三者之间的关系求出速度，再写比，最后利用比的基本性质化成最简比．
2．(无锡)钟面上，分针与秒针的转动速度的比是( )
A．1：12 B．60：1 C．1：60
【思路分析】1分＝60秒，分针转1个小格，秒针就转60个小格，所以分针和秒针的转动速度的比是1：60；据此解答即可．
【规范解答】解：分针转1圈，秒针转60圈，所以其速度比是1：60；
故选：C．
【名师点评】本题重点是明白时间单位中分和秒的关系．
3．(徐州)用两根绳子测量同一口井的深度，第一根绳子有露在井口外面，第二根绳子有露在井口外面，那么第一根绳子与第二根绳子的长度比是( )
A．5：3 B．3：5 C．5：6 D．6：5
【思路分析】首先根据第一根绳子有露在井口外面，可得这口井的深度＝第一根绳子的长度×(1﹣)＝第一根绳子的长度×；再根据第二根绳子有露在井口外面，可得这口井的深度＝第二根绳子的长度×(1﹣)＝第二根绳子的长度×；所以第一根绳子的长度×＝第二根绳子的长度×．
然后把第一根绳子的长度看作比的一个外项，第二根绳子的长度看作比的一个内项，那么比的另一个外项是，比的另一个内项是，构造出比例，再化简，求出第一根绳子与第二根绳子的长度比是多少即可．
【规范解答】解：这口井的深度＝第一根绳子的长度×(1﹣)＝第一根绳子的长度×；
这口井的深度＝第二根绳子的长度×(1﹣)＝第二根绳子的长度×；
第一根绳子的长度×＝第二根绳子的长度×；
所以第一根绳子的长度：第二根绳子的长度
＝
＝()：(×15)
＝12：10
＝6：5
答：第一根绳子与第二根绳子的长度比是6：5．
故选：D．
【名师点评】此题主要考查了比的意义和应用，要熟练掌握．
4．(安新县)一种糖水，糖与水的比是1：4，再加入20克含糖率是20%的糖水，那么含糖率将( )
A．不变 B．下降 C．升高 D．无法确
【思路分析】先求出糖与水的比是1：4的糖水的含糖率，然后再判断加入20克含糖率是20%的糖水混合后的糖水的含糖率的变化情况．
【规范解答】解：1÷(1+4)×100%
＝0.2×100%
＝20%
再加入20克含糖率是20%的糖水后，含糖率将不变．
故选：A．
【名师点评】完成本题要认真审题弄清含混合后糖率的的高低，然后进一步作出选择．
5．下面说法中错误的是( )
A．一杯糖水，糖占糖水的，糖和水的比是1：9
B．一杯糖水，糖占糖水的，水和糖水的比是9：10
C．一杯糖水，糖是水的10%，糖占糖水的
D．一杯糖水，糖占糖水的，糖是水的10%
【思路分析】一杯糖水，糖占糖水的，把糖看作1份，则糖水是10份，水是10﹣1＝9份，糖和水的比是1：9；
一杯糖水，糖占糖水的，把糖看作1份，则糖水是10份，水是10﹣1＝9份，水和糖水的比是9：10；
一杯糖水，糖是水的10%，10%＝，把糖看作1份，则水是10份，糖水是10+1＝11份，糖占糖水的；
一杯糖水，糖占糖水的，把糖看作1份，则糖水是11份，水是11﹣1＝10份，糖占水的＝10%．
【规范解答】解：A、把糖看作1份，则糖水是10份，水是10﹣1＝9份，糖和水的比是1：9(原题说法正确)；
B、把糖看作1份，则糖水是10份，水是10﹣1＝9份，水和糖水的比是9：10(原题说法正确)；
C、10%＝，把糖看作1份，则水是10份，糖水是10+1＝11份，糖占糖水的(原题说法错误)；
D、把糖看作1份，则糖水是11份，水是11﹣1＝10份，糖占水的＝10%(原题说法正确)．
故选：C．
【名师点评】解答此题的关键是根据题意把糖看作1份，求出相对应的糖水、水所占的份数．
6．一个长方形的周长是36m，它的长与宽的比是5：4，这个长方形的面积是( )m2．
A．20 B．80 C．160 D．320
【思路分析】根据长方形的周长计算公式“C＝2(a+b)”，长方形的周长除以2就是长方形的长、宽之和，把这个长方形的长、宽平均分成(5+4)份，先根据除法求出1份的长度，再分别求5份(长方形长)、3份(长方形宽)各是多少厘米，然后再根据长方形面积计算公式“S＝ab”，即可求出这个长方形的面积．
【规范解答】解：(36÷2)÷(5+4)
＝18÷9
＝2(cm)
(2×5)×(2×4)
＝10×8
＝80(cm2)
答：这个长方形的面积是80cm2．
故选：B．
【名师点评】解答此题的关键是根据按比例分配求出这个长方形的长、宽．
二．填空题(共6小题)
7．(嵩县)直角三角形中两个锐角的比是4：5，这两个角的度数分别是 40 度和 50 度．
【思路分析】因为一个直角三角形的两个锐角的度数之和为90度，它们的度数之比为4：5，求出这两个角的度数分别占90度的几分之几，再根据分数乘法的意义即可得解．
【规范解答】解：90°×＝40°
90°×＝50°
答：这两个角的度数分别是40度和50度．
故答案为：40、50．
【名师点评】此题主要考查按比例分配应用题的特点：已知两个数的比(三个数的比)，两个数的和(三个数的和)，求这两个数(三个数)，用按比例分配解答．
8．(盐城模拟)一个钝角等腰三角形，相邻两个角的度数比是4：1，顶角是 120° ．
【思路分析】根据等腰三角形的特征，等腰三角形的两个底角相等，这个钝角等腰三角形三个角度数的比是4：1：1(如果是4：4：1，顶角不可能是钝角)，再根据三角形三个内角之和是180°，把180°平均分成(4+1+1)份，先根据除法求出1份的度数，再用乘法求出4份(这个钝角等腰三角形的顶角)度数．
【规范解答】解：180°÷(4+1+1)
＝180°÷6
＝30°
30°×4＝120°
答：顶角是120°．
故答案为：120°．
【名师点评】此题应用的知识点：钝角三角形的意义、等腰三角形的特征，按比例分配．
9．(浦城县)连接长方形长和宽的中点(如图)．围成的阴影部分面积与空白部分的面积比是 1：7 ．
【思路分析】如图，通过作辅助线可以看出，相当于把长方形的面积看作单位“1”，把平均分成8份，基本阴影部分占1份，根据比的意义即可写出围成的阴影部分面积与空白部分的面积比．
【规范解答】解：如图
连接长方形长和宽的中点．围成的阴影部分面积与空白部分的面积比是1：7．
故答案为：1：7．
【名师点评】通过作辅助线，即可看出阴影部分面积与空白部分面积的比．
10．(林西县)两个圆的半径分别是3cm和5cm，这两个圆直径的比是 3：5 ，面积的比是 9：25 ．
【思路分析】根据题意分别求出两个圆的直径和面积，然后再求比即可．
【规范解答】解：由题意知，分别求出两个圆的直径并求比：2×3：2×5＝3：5；
分别求出两个圆的面积并求比：π×32：π×52＝9：25；
故答案为：3：5，9：25．
【名师点评】此题考查了根据半径求圆的直径比和面积比．
11．(荥阳市)红花朵数的等于黄花朵数的，红花朵数与黄花朵数的比是 5：2 ．已知红花和黄花一共有280朵，红花有 200 朵．
【思路分析】红花朵数的等于黄花的朵数，根据比的意义，用红花朵数比上黄花朵数即可；再根据分数乘法的意义即可求出黄花的朵数．
【规范解答】解：据分析可知：
红花朵数与黄花朵数的比：＝5：2；
280×＝200(朵)
答：红花朵数与黄花朵数的比是5：2，红花有200朵．
故答案为：5：2，200．
【名师点评】此题考查了比的意义，应注意灵活运用．
12．(荥阳市)如图中两个正方形中阴影部分的面积比是2：1，空白部分甲和乙的面积比是 6：1 ．如果空白部分甲的面积是2.4dm2，那么两个正方形的面积之和是 4 dm2．
【思路分析】如图：由题意知：两个正方形中阴影部分面积比是2：1，又因这两个三角形等底，所以这两个三角形高的比是2：1，即BC＝2G，从而可算出这两个正方形的面积，则空白部分的面积等于每个正方形的面积去掉每个阴影部分的面积，从而算出它们的面积比．
【规范解答】解：
因为S△BCE＝×CE×BC，
又因为CE＝CG，
S△GCE＝×CE×CG＝×CG2
又因为S△BCE：S△GCE＝2：1
所以×CE×BC：×CE×CG＝2：1
BC＝2CG；
以S正方形ABCD＝BC2＝2CG×2CG＝4CG2，
S正方形ECGF＝CG2，
又因为S△BCE＝×CE×BC，CE＝CG，
即S△BCE＝×CE×2CG＝CG2，
所以大正方形中空白图的面积是：
S正方形ABCD﹣S△BCE＝4CG2﹣CG2＝3CG2，
小正方形空白图的面积是： S正方形ECGF＝CG2，
所以两空白部分的面积比是：3CG2： CG2＝6：1，
空白部分甲的面积是2.4dm2，空白部分乙的面积是0.4dm2
则S正方形ECGF＝CG2＝0.8dm2
以S正方形ABCD＝4CG2＝4×0.8＝3.2dm2
两个正方形的面积之和是3.2+0.8＝4dm2
答：空白部分的面积是6：1，那么两个正方形的面积之和是4dm2．
故答案为：6：1，4．
【名师点评】此题解决的突破口在于先根据图形特点及两个阴影部分的比，找准两个正方形边的关系，用含字母的式了来代换，从而解决问题．
三．判断题(共5小题)
13．(交城县期末)大数与小数的比是8：7，大数比小数多． √ (判断对错)
【思路分析】大数与小数的比是8：7，假设大数就是8，小数就是7，则大数比小数多1，即可判断即可．
【规范解答】解：假设大数就是8，小数就是7
8＞7
所以大数比小数多，原题说法正确；
故答案为：√．
【名师点评】此题考查了比的应用，把比化成份数解答即可．
14．(临朐县)如果小圆和大圆的周长之比是1：2，那么面积之比也是1：2． × (判断对错)
【思路分析】小圆和大圆的周长之比是1：2，因为C＝2πr，所以半径之比也是1：2；再根据圆的面积公式S＝πr2先写出它们的面积比，再化简即可得答案．
【规范解答】解：小圆和大圆的周长之比是1：2，
因为C＝2πr，所以半径之比也是1：2；
再根据圆的面积公式S＝πr2
小圆面积：大圆面积＝(π×12)：(π×22)＝1：4；
故答案为：×．
【名师点评】此题主要考查圆的面积公式及化简比的知识．
15．(綦江区期末)走同一段路，如果甲、乙的速度比是2：3，那么甲、乙的时间比也是2：3． × (判断对错)
【思路分析】把这一段路的总长看作单位“1”，根据题意，把甲的速度看作2份数，乙的速度看作3份数，先求出甲、乙二人分别用的时间，进而写比并化简比得解．
【规范解答】解：甲用的时间：乙用的时间＝：＝3：2
题干说甲乙的时间比是2：3是错误的．
故答案为：×．
【名师点评】解决此题也可以根据速度×时间＝路程(一定)，判断出速度和时间成反比例关系，因为甲、乙速度的比是2：3，所以甲、乙用的时间比就是3：2．
16．(太原期末)在100克水中加入10克糖，全部溶解．糖与水的比是1：10，喝掉一半后，糖水的含糖率不变． √ (判断对错)
【思路分析】在100克水中加入10克糖，全部溶解，糖与水的比是10：100，即1：10；喝掉一半后，剩下的糖水中的含糖率不变，也就是糖与水的比不变，据此进行判断即可．
【规范解答】解：10：100＝1：10
喝掉一半后，剩下的糖与水的比不变，还是1：10，那么糖水的含糖率不变．
所以，原题说法是正确的．
故答案为：√．
【名师点评】解决此题关键是理解整杯糖水和半杯糖水的含糖率不变，也就是糖与水的比不变．
17．(兴国县期末)一场足球比赛的比是2：0，从这里可以看出，比的后项可以为0． × (判断对错)
【思路分析】比的意义：两个数相除，又叫做两个数的比，比是表示两个数之间的关系；而球场上比分是2：0，说明本次比赛，一个队进了2个球，另一个队一个球也没有进，这是表示进的球的个数比，与前一个比意义不同；据此判断．
【规范解答】解：比是表示两个数相除，是两个数之间的关系，在比中，比的后项不能为0；而体育比赛中的比分中的2：0，一个队进了2个球，另一个队一个球也没有进，这是表示进的球的个数比，比号后面的数可以是0，表示一个也没有；所以它们意义不同．
故答案为：×．
【名师点评】此题考查比的意义：两个数相除，又叫做两个数的比，比是表示两个数之间的关系，比的后项不能为0；要与比赛时进球的比区分开，那是进球个数的比，意义不同．
四．应用题(共8小题)
18．(无锡)一杯糖水共45克，糖与水的比是2：7，这杯糖水中水有多少克？
【思路分析】糖与水的比是2：7，那么糖水45克就相当于2+7＝9份，则用45除以9求出每份的质量，再乘水的份数即可．
【规范解答】解：45÷(2+7)×7
＝5×7
＝35(克)
答：这杯糖水中水有35克．
【名师点评】本题考查了按比例分配应用题，这种类型的应用题关键根据两个数(或三个数)的比求出总数量对应的份数和，然后用除法求出一份的量，再乘两个数(或三个数)各自所占的份数，即可解决问题．
19．(林西县)学校计划植树480棵，将植树任务按2：3分给五、六年级同学．六年级同学需植树多少棵？
【思路分析】由题意可知：可以分配的总量是480，需要分配的份数是2+3＝5份，于是利用按比例分配的方法，求出六年级同学植树的棵数占480的几分之几，再根据分数乘法的意义即可得解．
【规范解答】解：480×＝288(棵)
答：六年级同学需植树288棵．
【名师点评】此题主要考查按比例分配应用题的特点：已知两个数的比(三个数的比)，两个数的和(三个数的和)，求这两个数(三个数)，用按比例分配解答．
20．(长春)学校购进400个口罩，按2：3分给五、六两个年级，六年级分得多少个口罩？
【思路分析】根据比的意义来进行解决问题．已知总数，按2：3进行五、六年级的分配，即总份数是2+3＝5份，六年级占其中的3份，据此进行计算即可．
【规范解答】解：按2：3进行五、六年级的分配，即总份数是2+3＝5份，六年级占其中的3份；
400÷(2+3)×3＝400÷5×3＝80×3＝240(个)
答：六年级分得240个口罩．
【名师点评】此题是理解比的意义从而进行比的运用，关键是理解根据2：3的比进行五六年级的分配，再选择合适的方法进行计算．
21．用45cm长的铁丝围一个长方形，这个长方形的长与宽的比是3：2．求这个长方形的面积．
【思路分析】根据长方形的周长计算公式“C＝2(a+b)”，围成的这个长方形的长、宽之和是(45÷2)厘米，再把这个长方形的长、宽之和平均分成(3+2)份，先用除法求出1份是多少厘米，再用乘法分别求出3份(长方形长)、2份(长方形宽)各是多少厘米，然后再根据长方形的面积计算公式“S＝ab”即可解答．
【规范解答】解：45÷2÷(3+2)
＝45÷2÷5
＝45÷(2×5)
＝45÷10
＝4.5(cm)
(4.5×3)×(4.5×2)
＝13.5×9
＝121.5(cm2)
答：这个长方形的面积是121.5cm2．
【名师点评】解答此题的关键是求出围成长方形的长、宽之和后，再根据按比例分配求出围成的长方形的长、宽．
22．(十堰)为实现脱贫致富，李庄村发展了5000平方米果园，其中栽的是苹果树，其余的面积按1：4栽的是桃树和梨树．梨树占地面积多少平方米？
【思路分析】把果园的总面积看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用果园的总面积(5000平方米)乘(1﹣)就是栽桃树、梨树的面积．再把栽桃树、梨树的面积看作单位“1”，其中栽梨树的面积占，根据分数乘法的意义，用栽桃树、梨树的面积乘就是栽梨树的面积．
【规范解答】解：5000×(1﹣)×
＝5000××
＝3125×
＝2500(平方米)
答：梨树占地面积2500平方米．
【名师点评】此题主要是考查乘法的意义及应用．求一个数的几分之几是多少，用这个数乘分率．关键是把比转化成分数．
23．(海淀区)学校图书馆购进一批科技书和文艺书共810本，两种书的数量比是5：4，这两种书各有多少本？
【思路分析】把两种书的总本数(810本)平均分成(5+4)份，先用除法求出1份的本数，再用除法分别求出5份(科技书)、4份(文艺书)各是多少本．
【规范解答】解：810÷(5+4)
＝810÷9
＝90(本)
90×5＝450(本)
90×4＝360(本)
答：科技书有450本，文艺书有360本．
【名师点评】此题是考查按比例分配应用题的特点以及解答规律，亦可先求出总份数，用它作公分母，再分别求出各部分占总数的几分之几，然后根据分数乘法的意义解答．
24．(荥阳市)图书室原有科技书和故事书共540本，其中故事书的本数与科技书的本数比是2：7．又购买一批科技书后，科技书的本数占现在这两种书总数的80%．图书室现在有科技书和故事书各多少本？
【思路分析】先把图书室原有科技书和故事书共有的本数(540本)看作单位“1”，故事书占总本数的，根据分数乘法的意义，用总本数乘就是故事书的本数．双购进一批科技书后故事书的本数没变，把此时故事书、科技书的总本数看作单位“1”，故事书占总本数的(1﹣80%)，根据百分数除法的意义，用故事书的本数除以(1﹣80%)就是现有图书的本数，用现在图书的本数减故事书的本数就是科技书的本数．
【规范解答】解：540×
＝540×
＝120(本)
120÷(1﹣80%)﹣120
＝120÷20%﹣120
＝600﹣120
＝480(本)
答：图书室现在有科技书480本，故事书120本．
【名师点评】解答此题的关键是根据按比例分配求出故事书的本数，再根据百分数除法的意义求出购进一批科技书后图书室科技书和故事书的本数，进而求出科技书的本数．
25．(徐州)一辆客车与一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行．已知客车和货车的速度比是9：7，两车出发3小时后，在距离两地中点25千米处相遇．甲、乙两地相距多少千米？
【思路分析】首先根据速度×时间＝路程，可得时间一定时，两车行驶的路程的比等于它们的速度的比，可得客车与货车3小时行驶的路程的比是9：7，设客车与货车行驶的路程分别是9份、7份，已知出发3小时后，两车在距离两城中点25千米的地方相遇，也就是相遇时客车比货车多行驶(25×2)千米，即(9﹣7)份是50千米，由此可以求出一份是多少千米，然后用每份表示的路程的大小乘以两车行驶的总份数，即可求出AB两地相距多少千米．据此解答．
【规范解答】解：因为客车速度与货车速度的比为9：7，
所以客车速度与货车行驶路程的比为9：7，
甲、乙两地相距：
(25×2)÷(9﹣7)×(9+7)
＝50÷2×16
＝25×16
＝400(千米)；
答：甲、乙两地相距400千米．
【名师点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握；解答此题的关键是要明确：根据速度×时间＝路程，可得时间一定时，两车行驶的路程的比等于它们的速度的比．人教小数学生辅导讲义
[学生版]
学员姓名 年 级
辅导科目 学科教师
上课时间
第4讲 比
思维导图
知识梳理
知识点一：比的意义、各个部分的名称
1. 两个数量之间的关系可以用两个数的比来表示。
2. 在两个数的比中，“：”是比号，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项，比的前项除以后项所得的商叫做比值。
3. 比的前项，后项和比值分别相当于除法算式中的：被除数，除数和商；分别相当于分数中的：分子、分母和分数值。比的后项不能是0。
知识点二：比的基本性质和化简比
1.比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变，这叫做比的基本性质。
2.化简比的方法：
(1)化简整数比时，前、后项同时除以最大公因数。
(2)化简分数比时，前、后项同时乘它们分母的最小公倍数，转化成整数比，再化简。
(3)化简小数比：先把前、后项的小数点同时向右移动相同的位数，转化成整数比，再化简。
知识点三：按比分配
按比分配的解题方法：
方法一：把比看作份数之比。先求每份是多少，再求几份是多少。
解题步骤：①求出总份数；②求出一份是多少；③求出各部分的数量。
方法二：把比转化成分率。利用分数乘法解答。
解题步骤：①求出总份数；②求出各部分占总量的几分之几；③求出各部分的数量。
精讲精练
考点一：比的意义、各个部分的名称
典例分析
【例1】在15：20＝0.75中，15叫做比的 ，20叫做比的 ，0.75叫做 ．
举一反三
1．(五河县期末) ÷24＝1： ＝0.125．
2．(儋州)甲数与乙数的比是2：3，可以说成甲数是乙数的． ．
3．(邹城市期末)5÷8＝＝15÷ ＝ (填小数)
考点二：比的基本性质和化简比
典例分析
【例2】(铜官区期末)在3：2中，如果前项加上6，要使比值不变，后项要加上 ．
举一反三
1．(巴东县期末)把a：7(a≠0)的前项乘3，比值不变，后项应该是 ；若把后项“7”改为“1”，要使比值不变，前项应该是
2．(罗平县校级模拟)5：6的前项增加10，要使比值不变，后项应增加 ．
3．(福田区)5：2的后项扩大到原来的3倍，要使比值不变，前项应该加上 ．
考点三：按比分配
典例分析
【例3】在一场篮球比赛中，甲队全场共得了99分，上半场和下半场所得分数的比是5：4．甲队下半场得了 分．
举一反三
1．用84cm长的铁丝围成一个直角三角形，这个直角三角形三边长度的比是3：4：5．这个直角三角形的面积是 cm2．
2．(中原区)在三角形ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A＝ °；按角的大小分类，这个三角形是 三角形．
3．(长沙)有A、B两条绳，第一次剪去A的，B的；第二次剪去A绳剩下的，B绳剩下的；第三次剪去A绳剩下的，B绳剩下的，最后A剩下的长度与B剩下的长度之比为2：1，则原来两绳长度之比是 ．
巩固提升
一．选择题(共6小题)
1．(蕲春县)甲走完一段路要0.25小时，乙走完这段路要25分钟，甲与乙的速度比是( )
A．1：1 B．4：5 C．3：5 D．5：3
2．(无锡)钟面上，分针与秒针的转动速度的比是( )
A．1：12 B．60：1 C．1：60
3．(徐州)用两根绳子测量同一口井的深度，第一根绳子有露在井口外面，第二根绳子有露在井口外面，那么第一根绳子与第二根绳子的长度比是( )
A．5：3 B．3：5 C．5：6 D．6：5
4．(安新县)一种糖水，糖与水的比是1：4，再加入20克含糖率是20%的糖水，那么含糖率将( )
A．不变 B．下降 C．升高 D．无法确
5．下面说法中错误的是( )
A．一杯糖水，糖占糖水的，糖和水的比是1：9
B．一杯糖水，糖占糖水的，水和糖水的比是9：10
C．一杯糖水，糖是水的10%，糖占糖水的
D．一杯糖水，糖占糖水的，糖是水的10%
6．一个长方形的周长是36m，它的长与宽的比是5：4，这个长方形的面积是( )m2．
A．20 B．80 C．160 D．320
二．填空题(共6小题)
7．(嵩县)直角三角形中两个锐角的比是4：5，这两个角的度数分别是 度和 度．
8．(盐城模拟)一个钝角等腰三角形，相邻两个角的度数比是4：1，顶角是 ．
9．(浦城县)连接长方形长和宽的中点(如图)．围成的阴影部分面积与空白部分的面积比是 ．
10．(林西县)两个圆的半径分别是3cm和5cm，这两个圆直径的比是 ，面积的比是 ．
11．(荥阳市)红花朵数的等于黄花朵数的，红花朵数与黄花朵数的比是 ．已知红花和黄花一共有280朵，红花有 朵．
12．(荥阳市)如图中两个正方形中阴影部分的面积比是2：1，空白部分甲和乙的面积比是 ．如果空白部分甲的面积是2.4dm2，那么两个正方形的面积之和是 dm2．
三．判断题(共5小题)
13．(交城县期末)大数与小数的比是8：7，大数比小数多． (判断对错)
14．(临朐县)如果小圆和大圆的周长之比是1：2，那么面积之比也是1：2． (判断对错)
15．(綦江区期末)走同一段路，如果甲、乙的速度比是2：3，那么甲、乙的时间比也是2：3． (判断对错)
16．(太原期末)在100克水中加入10克糖，全部溶解．糖与水的比是1：10，喝掉一半后，糖水的含糖率不变． (判断对错)
17．(兴国县期末)一场足球比赛的比是2：0，从这里可以看出，比的后项可以为0． (判断对错)
四．应用题(共8小题)
18．(无锡)一杯糖水共45克，糖与水的比是2：7，这杯糖水中水有多少克？
19．(林西县)学校计划植树480棵，将植树任务按2：3分给五、六年级同学．六年级同学需植树多少棵？
20．(长春)学校购进400个口罩，按2：3分给五、六两个年级，六年级分得多少个口罩？
21．用45cm长的铁丝围一个长方形，这个长方形的长与宽的比是3：2．求这个长方形的面积．
22．(十堰)为实现脱贫致富，李庄村发展了5000平方米果园，其中栽的是苹果树，其余的面积按1：4栽的是桃树和梨树．梨树占地面积多少平方米？
23．(海淀区)学校图书馆购进一批科技书和文艺书共810本，两种书的数量比是5：4，这两种书各有多少本？
24．(荥阳市)图书室原有科技书和故事书共540本，其中故事书的本数与科技书的本数比是2：7．又购买一批科技书后，科技书的本数占现在这两种书总数的80%．图书室现在有科技书和故事书各多少本？
25．(徐州)一辆客车与一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行．已知客车和货车的速度比是9：7，两车出发3小时后，在距离两地中点25千米处相遇．甲、乙两地相距多少千米？
