人教小数学生辅导讲义
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学员姓名 年 级
辅导科目 学科教师
上课时间
第5讲 圆
思维导图
知识梳理
知识点一：圆的认识
1. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴。
2. 一个圆有无数条半径，有无数条直径。圆有无数条对称轴。
3. 在同圆或等圆中，所有的半径都相等，所有的直径都相等。
4. 在同圆或等圆中，r=d或d=2r。
知识点二：圆的周长及圆周率的意义
1.测量圆的周长的方法：绕绳法和滚动法。
2.圆的周长除以直径的商是一个固定的数。我们把它叫做圆周率，用字母π表示。
3.圆的周长的计算公式：C=πd，C=2πr
知识点三：圆的面积公式的推导及应用
1.圆的面积计算公式是 ：S＝πr
2.求圆的面积，要根据圆的面积计算公式来求。
3.圆环面积的计算方法：S＝πR2－πr2或S＝π(R－r)2。
4.“外方内圆”图形中，圆的直径等于正方形的边长。如果圆的半径为r，那么正方形和圆之间部分的面积为0.86r2。
5.“外圆内方”图形中，这个正方形的对角线等于圆的直径。如果圆的半径为r，那么圆和正方形之间部分的面积为1.14r2。
知识点四：扇形的认识
1.一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形；
2.顶点在圆心的角叫做圆心角；
3.扇形的大小和半径的长短、圆心角的大小有关。
精讲精练
考点一：圆的认识
典例分析
【例1】(龙华区期末)圆有 无数 条半径，圆半径的长度是它直径的 一半 ；半圆有 一 条对称轴
【思路分析】根据轴对称图形的性质分析：一个图形的一部分，沿着一条直线对折，能够和另一部分重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，依据定义可知：圆有无数条对称轴，半圆有一条对称轴；
根据圆周率的含义：圆周率等于圆的周长和它直径的比值，用字母“π”表示；同圆中，圆的直径是半径的2倍；由此解答即可．
【规范解答】解：圆有 无数条半径，圆半径的长度是它直径的 一半；半圆有 一条对称轴；
故答案为：无数，一半，一．
【名师点评】本题主要考查了轴对称图形的定义以及圆的基础知识．
举一反三
1．(武昌区期末)圆是一个轴对称图形，它有 无数 条对称轴．圆的周长与直径的比值，我们称之为 圆周率 ．
【思路分析】根据圆的对称性和圆周率的定义直接填空即可．
【规范解答】解：圆是一个轴对称图形，它有 无数条对称轴．圆的周长与直径的比值，我们称之为 圆周率．
故答案为：无数，圆周率．
【名师点评】本题考查了圆的轴对称性和圆周率的意义．
2．(衡水模拟)在一个长5厘米，宽3厘米的长方形中画一个最大的圆，这个圆的半径是 1.5 厘米．
【思路分析】在这个长方形中画的最大圆的直径应等于长方形的宽，长方形的宽已知，从而可以求出这个圆的半径．
【规范解答】解：圆的半径：3÷2＝1.5(厘米)；
答：这个圆的半径是1.5厘米．
故答案为：1.5．
【名师点评】解答此题的关键是明白：在这个长方形中画的最大圆的直径应等于长方形的宽，据此即可逐步求解．
3．(天津模拟)填空题：
(1)圆的直径是 7cm ．
(2)圆的半径是 3.5cm ．
【思路分析】(1)由图可知，圆的直径的2倍等于长方形的长14cm，所以直径是14÷2＝7(cm)；
(2)根据圆的半径r＝d÷2计算即可．
【规范解答】解：(1)圆的直径是：14÷2＝7(cm)；
(2)圆的半径是：7÷2＝3.5(cm)．
故答案为：7cm，3.5cm．
【名师点评】此题考查了同圆中直径与半径关系的运用．
考点二：圆的周长及圆周率的意义
典例分析
【例2】(舟山校级模拟)李师傅想把3根横截面直径都是10厘米的圆木用铁丝紧紧地捆绑在一起(如图)，捆一圈(接头处不计)至少需铁丝 71.4 厘米．
【思路分析】由图可知铁丝紧紧地捆绑一圈，最左边和最右边各一个半圆，上面的铁丝是2个直径，下面的铁丝是2个直径，所以总的长度实际上是由一个圆的周长加上4个直径的长度．
【规范解答】解：C＝πd，
＝3.14×10，
＝31.4(厘米)；
31.4+4×10，
＝31.4+40，
＝71.4(厘米)；
故答案为：71.4．
【名师点评】此题考查了学生的观察能力以及求圆的周长的方法．
举一反三
1．(海门市)把一个直径是4厘米的圆分成若干等份，然后把它剪开，照图的样子拼起来，拼成的图形的周长比原来圆的周长增加 4 厘米．
【思路分析】由圆的面积推导过程可知：将圆拼成近似的长方形后，长方形的长就等于圆的周长的一半，宽就等于圆的半径，从而可知，这个长方形的周长比原来圆的周长多出了两个半径的长度，据此即可求解．
【规范解答】解：因为将圆拼成近似的长方形后，长方形的长就等于圆的周长的一半，宽就等于圆的半径，
所以这个长方形的周长比原来圆的周长多出了两个半径的长度，即多出了一个直径的长度，也就是4厘米．
故答案为：4．
【名师点评】解答此题的主要依据是圆的面积推导过程．
2．(福州)一个周长为20厘米的大圆内有许多小圆，这些小圆的圆心都在大圆的一个直径上．则小圆的周长之和为 20 厘米．
【思路分析】根据题干：一个周长为20厘米的大圆内有许多小圆，这些小圆的圆心都在大圆的一个直径上，可知大圆的直径等于所有小圆的直径之和．根据圆周长公式可解决．
【规范解答】解：每个小圆的半径未知，但所有小圆直径加起来正好是大圆的直径．
大圆直径径为D，小圆直径为d1，d2，d3…，
大圆周长C＝πD，
小圆周长之和＝πd1+πd2+πd3…，
＝π(d1+d2+d3…)，
＝πD；
所以所有小圆的周长之和等于大圆周长，即20厘米；
答：所有小圆周长之和是20厘米．
故填：20．
【名师点评】此题属于较复杂的圆周长的计算，解决本题的关键是所有的小圆都在大圆的一条直径上，即所有小圆的直径之和等于大圆的直径，理解了这一点，此题就非常简单了．
3．(亳州模拟)从A到B，小红沿上面的大半圆走，走了 15.7 m；李明走沿下面的两个小半圆走，走了 15.7 m．
我发现：这两条路线的长度 相等 ．
【思路分析】根据题意可知：小红走的路程等于半径为5米的圆周长的一半，李明走的路程是直径为5米的圆的周长，根据圆的周长公式：C＝πd或C＝2πr，把数据代入公式求出他们走的路程进行比较即可．
【规范解答】解：3.14×5×2÷2＝15.7(米)；
3.14×5＝15.7(米)；
15.7米＝15.7米；
答：小红走了15.7米，李明走了15.7米．这两条路的长度相等．
故答案为：15.7、15.7、相等．
【名师点评】此题主要考查圆周长公式的灵活运用，关键是熟记公式．
考点三：圆的面积公式的推导及应用
典例分析
【例3】一幅圆形壁画的边框长是1.57m，这幅壁画的面积是 0.19625平方米 ．
【思路分析】1.57m是圆的周长，根据圆的周长＝圆周率×半径×2，所以用圆的周长除以圆周率除以2求出圆形的半径，再根据圆的面积＝半径×半径×圆周率即可解答．
【规范解答】解：1.57÷3.14÷2＝0.25
3.14×0.25×0.25
＝0.785×0.25
＝0.19625(平方米)
答：这幅壁画的面积是0.19625平方米．
【名师点评】本题考查了已知圆的周长求圆的面积，关键是求出圆的半径．
举一反三
1．(利州区)如图，圆的面积和长方形的面积相等，圆的周长是6.28厘米，长方形的周长是 8.28 厘米．
【思路分析】根据题意可知：长方形的宽等于圆的半径，根据圆的周长公式：C＝2πr，那么r＝C÷2π，再根据圆的面积公式：S＝πr2，求出圆的面积，已知圆的面积和长方形的面积相等，用长方形的除以宽求出长，然后根据长方形的周长公式：C＝(a+b)×2，把数据代入公式解答．
【规范解答】解：6.28÷3.14÷2＝1(厘米)，
3.14×12
＝3.14×1
＝3.14(平方厘米)，
3.14÷1＝3.14(厘米)，
(3.14+1)×2
＝4.14×2
＝8.28(厘米)，
答：长方形的周长是8.28厘米．
故答案为：8.28．
【名师点评】此题主要考查圆的周长公式、面积公式、长方形的面积公式、周长公式的灵活运用，关键是熟记公式．
2．(兴化市期末)将圆平均分成若干份，剪拼成一个近似的长方形(如图)．它的周长比圆的周长增加了6厘米，圆的周长是 18.84 厘米，近似长方形的面积是 28.26 平方厘米．
【思路分析】根据圆面积公式的推导过程可知：把圆平均分成若干份，沿半径剪开拼成一个近似的长方形，拼成的长方形的长等于圆周长的一半，宽等于半径．拼成长方形的周长比圆的周长增加了6厘米，由此可以求出半径，再根据圆的周长公式：C＝2πr，圆的面积公式：S＝πr2，把数据分别代入公式解答．
【规范解答】解；6÷2＝3(厘米)，
3.14×3×2＝18.84(厘米)，
3.14×32
＝3.14×9
＝28.26(平方厘米)，
答：圆的周长是18.84厘米，面积是28.26平方厘米．
故答案为：18.84、28.26．
【名师点评】此题主要考查圆的周长公式、面积公式的灵活运用，关键是熟记公式，重点明白：把圆剪拼成一个近似长方形，长方形的周长比圆的周长增加两条半径的长度．
3．(枣阳市校级月考)如图圆的面积是25.12平方厘米，阴影部分的面积是 8 平方厘米．
【思路分析】阴影部分面积等于正方形的面积，因为圆的面积＝πr2，正方形的边长是圆的半径，所以r2＝8，由此可求．
【规范解答】解：因为圆的面积＝πr2，所以
r2＝25.12÷3.14＝8(平方厘米)；
答：阴影部分的面积是8平方厘米；
故答案为：8．
【名师点评】此题主要考查组合图形的面积求法，圆的面积、正方形的面积求法，注意圆的半径的平方得正方形的面积．
考点四：扇形的认识
典例分析
【例4】(天津模拟)扇形是由圆的 两条半径 和圆上的一段 曲线 围成的．
【思路分析】根据扇形的定义直接填空即可．
【规范解答】解：扇形是由圆的 两条半径和圆上的一段 曲线围成的．
故答案为：两条半径，曲线．
【名师点评】本题考查了扇形的定义，属于基础题．
举一反三
1．一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的半径为 4 cm，面积为 18.84 cm2．
【思路分析】根据圆的周长公式：C＝2πr，周角是360°，扇形圆心角是135°，扇形圆心角占周角的几分之几，那么这个扇形的面积就占所在圆面积的几分之几．先求出弧长占圆周长的几分之几，根据圆的周长公式：C＝2πr，再根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法求出圆的周长，进而求出扇形的半径，然后根据扇形面积公式：S＝πr2×，把数据代入公式即可求出扇形面积．
【规范解答】解：135°÷360°＝，
3π÷
＝3π×
＝8π
＝3.14×8
＝25.12(厘米)，
25.12÷3.14÷2＝4(厘米)，
3.14×42×
＝3.14×16×
＝18.84(平方厘米)，
答：扇形的半径是4厘米，面积是18.84平方厘米．
故答案为：4、18.84．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握周角的意义，理解掌握扇形面积公式及应用．
2．已知扇形心角为45°，扇形面积为8πm2，则扇形的半径为 8m ；弧长为 2πm ．
【思路分析】已知扇形心角为45°，扇形面积就是所在圆面积的，扇形的面积已知，根据分数除法的意义即可求出扇形所在圆的面积．根据圆面积计算公式即可求出圆(即扇形)的半径；扇形弧长是所在圆周长的，求出圆的弧长乘就是扇形的弧长．
【规范解答】解：8π÷＝64π(m2)
因为82＝64
所以圆的半径为8m．
π×2×8×＝2π(m)
答：扇形的半径为8m；弧长为2πm．
【名师点评】由圆面积求圆半径，在小学阶段是难点，只有一些特殊题，才能根据圆面积求出圆半径(如本题)．扇形面积为所在圆面积的几分之几，扇形圆心角就是360°的几分之几；弧长等于扇形所在圆周长的360分之几．注意，已知条件用含有π的式子表示，计算结果也可用含有π的式子表示．
3．已知扇形的圆心角为60°，弧长为6πm，则扇形的半径为 18m ，扇形面积为 54πm2 ．
【思路分析】扇形圆心角为扇形所在圆的圆心角，其弧长为所在圆周长的，用扇形弧长除以就是扇形所在圆的周长．根据圆周长计算公式“C＝2πr”即可求出圆(即扇形)的半径．根据圆面积计算公式“S＝πr2”求出圆的面积，用圆面积再乘就是扇形面积．
【规范解答】解：6π÷÷π÷2
＝6π÷÷π÷2
＝18(m)
π×182×
＝54π(m2)
答：扇形的半径为18，扇形面积为54πm2．
故答案为：18m，54πm2．
【名师点评】圆心角为n°(n为大于0而小于360的自然数)的扇形面积为扇形所在圆面积的，扇形弧长等于所在圆周长的．注意，已知条件用含有π的式子表示，计算结果也可用含有π的式子表示．
巩固提升
一．选择题(共6小题)
1．张老师在数学课上让同学们在圆中画一个圆心角是100°的扇形，四个同学分别画了四幅不同的作品，( )的作品符合老师的要求．
A． B．
C． D．
【思路分析】根据题意，对给出的四副图中阴影部分所占的圆心角的度数进行度量，进而得出结论．
【规范解答】解：张老师在数学课上让同学们在圆中画一个圆心角是100°的扇形，四个同学分别画了四幅不同的作品，的作品符合老师的要求；
的O点不在圆心，不是圆心角，是150°，是40°；
故选：D．
【名师点评】灵活掌握角的度量的方法，是解答此题的关键．
2．(孝昌县期末)下面各圆中的阴影部分，( )是扇形．
A． B． C． D．
【思路分析】根据扇形的意义，扇形是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形．据此解答即可．
【规范解答】解：图A，顶点不在圆心上，不是圆心角，所以不是扇形；
图B，由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，所以是扇形；
图C，只是圆的一部分，所以不是扇形；
图D，角的顶点在圆上不是圆心角，所以不是扇形．
故选：B．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握扇形的意义，明确：扇形是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形．
3．(濉溪县期末)下面图形中的角是圆心角的是( )
A． B．
C． D．
【思路分析】根据圆心角的含义：顶点在圆心上，且角的两个端点在圆上的角叫做圆心角；据此解答即
【规范解答】解：根据圆心角的含义可知：在所给的四个选项中中的角是圆心角；
故选：A．
【名师点评】此题主要考查了圆心角的含义，注意基础知识的积累．
4．(濉溪县期末)把一个圆平均分成32份，然后剪开，拼成一个近似的长方形，这个转化过程中，( )
A．周长和面积都没变 B．周长没变，面积变了
C．周长变了，面积没变 D．周长和面积都变了
【思路分析】把一个圆形平均分成32份，剪开拼成一个近似的长方形，这个转化过程圆的面积不变，这个长方形的宽就等于圆的半径，长就等于圆的周长的一半，所以这个转化过程中圆的面积不变，周长增加了两个半径的长度；此解答即可．
【规范解答】解：把一个圆形平均分成32份，剪开拼成一个近似的长方形，这个转化过程圆的面积不变，周长发生变化，周长增加了两个半径的长度，所以本题选项C正确．
故选：C．
【名师点评】解答此题的关键是明白：将圆拼成一个近似的长方形后，这个长方形的宽就等于圆的半径，长就等于圆周长的一半．
5．(文水县期末)一个圆形水池，直径是10米，在水池周围围一圈栅栏，再在栅栏外围修一条宽2米的环形小路，环形小路的面积是( )平方米．
A．138.16 B．75.36 C．34.54 D．301.44
【思路分析】这条小路的面积就是这个外圆半径为10÷2+2＝7米，内圆半径为10÷2＝5米的圆环的面积，由此利用圆环的面积公式即可计算．
【规范解答】解：10÷2＝5(米)
5+2＝7(米)
所以小路的面积为：
3.14×(72﹣52)
＝3.14×(49﹣25)
＝3.14×24
＝75.36(平方米)
答：小路的面积是75.36平方米．
故选：B．
【名师点评】此题实际是属于求圆环的面积，即用大圆的面积减小圆的面积就是圆环的面积，关键是求出大、小圆的半径．
6．(广州期末)在边长是10cm的正方形内画一个最大的圆，圆的面积占正方形面积的( )
A． B． C． D．
【思路分析】根据题意可知：这个圆的直径就是正方形的边长，再依据圆的面积公式：S＝πr2即可求其面积，再利用圆的面积除以正方形的面积即可解答问题．
【规范解答】解：π×(10÷2)2
＝π×25
＝25π(平方厘米)
正方形的面积是：10×10＝100(平方厘米)
所以25π÷100＝
答：圆的面积占正方形的．
故选：D．
【名师点评】此题主要考查正方形内切圆的面积的计算，关键是明确圆的直径即为正方形的边长．
二．填空题(共6小题)
7．(泰安)把一个圆等分成16份，拼成一个近似的长方形，周长增加了6cm，这个圆的面积是 28.26 cm2．
【思路分析】根据圆面积公式的推导过程可知，把一个圆剪拼成一个近似长方形面积不变，拼成的长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径，已知拼成的长方形的周长比圆的周长增加6厘米，据此可以求出圆的半径，再根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答．
【规范解答】解：3.14×(6÷2)2
＝3.14×9
＝28.26(平方厘米)
答：这个圆的面积是28.26平方厘米．
故答你为：28.26．
【名师点评】此题主要考查圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
8．(曾都区)在一个长12厘米，宽8厘米的长方形纸上画一个最大的半圆，这个半圆的周长是 30.84 厘米，面积是 56.52 平方厘米．
【思路分析】根据题意可知，这种长方形纸上剪一个最大的半圆，半圆的直径等于长方形的长，根据圆的周长公式：C＝πd，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答．
【规范解答】解：3.14×12÷2+12
＝18.84+12
＝30.84(厘米)
3.14×(12÷2)2÷2
＝3.14×36÷2
＝56.52(平方厘米)
答：这个半圆的周长是30.84厘米，面积是56.52平方厘米．
故答案为：30.84；56.52．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握半圆的周长、面积的计算方法及应用，关键是熟记圆的周长、面积公式．
9．(汉川市)小明把圆规的两脚张开3cm，在纸上画了一个圆，这个圆的周长是 18.84 cm，面积是 28.26 cm2．
【思路分析】由题意知，画出的圆的半径是3cm，要求所画圆的周长和面积，可直接利用C＝2πr及S＝πr2解答即可．
【规范解答】解：3.14×3×2
＝3.14×6
＝18.84(cm2)
3.14×32
＝3.14×9
＝28.26(cm2)
答：这个圆的周长是18.84cm，面积是28.26cm2．
故答案为：18.84，28.26．
【名师点评】此题主要考查圆的周长和面积的计算方法，关键是明白：圆规两脚张开的距离就等于所画圆的半径．
10．(武川县期末)用一个37.68厘米的铁丝围成一个圆(接口处不计)，这个圆的直径是 12 厘米，这个圆的面积是 113.04 平方厘米．
【思路分析】铁丝长就是圆的周长，根据圆的周长公式d＝C÷π，就能求圆的直径，再利用圆的面积公式S＝πr2即可求出这个圆的面积．
【规范解答】解：37.68÷3.14＝12(厘米)
3.14×(12÷2)2
＝3.14×36
＝113.04(平方厘米)
答：这个圆的直径是12厘米，这个圆的面积是113.04平方厘米．
故答案为：12；113.04．
【名师点评】此题主要考查圆的周长及面积公式，将数据代入公式即可求得结果．
11．(隆回县期末)一个圆形水池的直径是8米，这个水池的周长是 25.12 米，面积是 50.24 平方米．
【思路分析】根据圆的周长公式：C＝πd，圆的面积公式：S＝πr2，把数据分别代入公式解答．
【规范解答】解：3.14×8＝25.12(米)
3.14×(8÷2)2
＝3.14×16
＝50.24(平方米)
答：这个水池的周长是25.12米，面积是50.24平方米．
故答案为：25.12，50.24．
【名师点评】此题主要考查圆的周长公式、面积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
12．(望城区期末)要剪一个周长是12.56厘米的圆形纸片，它的半径是 2 厘米，这个圆形纸片的面积是 12.56 平方厘米．
【思路分析】根据圆的周长公式：C＝2πr，那么r＝C÷2π，据此求出半径，再根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答．
【规范解答】解：12.56÷3.14÷2＝2(厘米)
3.14×22
＝3.14×4
＝12.56(平方厘米)
答：这个圆形纸片的面积是12.56平方厘米．
故答案为：2、12.56．
【名师点评】此题只有考查圆的周长公式、面积公式的灵活意义，关键是熟记公式．
三．判断题(共5小题)
13．因为圆是弯曲的，所以没有周长． × (判断对错)
【思路分析】根据封闭图形一周的长度叫做周长判断即可．
【规范解答】解：由周长的定义可知：规则的图形有周长，不规则的图形也有周长，所以圆是弯曲的也有周长．
原说法错误．
故答案为：×．
【名师点评】考查了周长的定义，注意周长的长度等于图形所有边的和．
14．(肥城市期末)半径是1厘米的圆，它的周长与面积相等． × (判断对错)
【思路分析】根据题意，圆的周长单位是厘米，面积单位是平方厘米，长度单位和面积单位是无法比较大小的，所以此题说法错误．
【规范解答】解：圆的周长单位是厘米，面积单位是平方厘米，
因为长度单位和面积单位是无法比较大小的，
所以半径是1厘米的圆，它的周长与面积相等的说法错误．
故答案为：×．
【名师点评】解答此题的关键是确定：长度单位和面积单位是无法比较大小的．
15．(番禺区期末)一个圆的周长是12.56m，半径增加了1m后，面积增加了3.14m2． × (判断对错)
【思路分析】先根据圆的半径＝周长÷π÷2求出原来的半径，即12.56÷3.14÷2＝2米；增加后的半径是2+1＝3米，然后根据圆的面积＝πr2，增加的面积＝后来的面积﹣原来的面积，代入数据即可解答．
【规范解答】解：原来周长半径为：12.56÷3.14÷2＝2(m)
原来面积为：3.14×2×2＝12.56(m2)
增加后的半径是2+1＝3(m)
增加的面积为：3.14×3×3﹣3.14×2×2
＝3.14×(3×3﹣2×2)
＝3.14×5
＝15.7(m2)
答：面积增加了15.7m2．所以原题说法错误．
故答案为：×．
【名师点评】此题考查了圆的周长和面积公式的灵活应用，关键是求出原来的半径．
16．(齐齐哈尔)把一个周长是628cm的圆分成2个半圆，每个半圆的周长都是314cm． × (判断对错)
【思路分析】根据半圆周长的意义，半圆的周长等于该圆周长的一半加上直径．据此判断．
【规范解答】解：628÷3.14＝200(厘米)
628÷2+200
＝314+200
＝514(厘米)
答：每个半圆的周长是514厘米．
因此，把一个周长是628cm的圆分成2个半圆，每个半圆的周长都是314cm，这种说法是错误的．
故答案为：×．
【名师点评】此题解答关键是理解掌握半圆周长的意义，明确：半圆的周长等于该圆周长的一半加上直径．
17．(望城区期末)当圆的半径是2cm时，这个圆的面积等于它的周长． × (判断对错)．
【思路分析】根据面积、周长的意义，面积是指围成平面的大小或物体表面的大小，周长是指围成封闭图形一周的长，因为面积和周长不是同类量，所以无法进行比较．据此判断．
【规范解答】解：因为面积和周长不是同类量，所以无法进行比较．
因此，当圆的半径是2cm时，这个圆的面积等于它的周长．这种说法是错误的．
故答案为：×．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握面积和周长的意义，明确：只有同类量才能进行比较．
四．计算题(共2小题)
18．(朔城区期末)计算下面各圆的周长和面积．
【思路分析】(1)根据圆的周长公式：C＝πd，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答．
(2)根据圆的周长公式：C＝2πr，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答．
【规范解答】解：(1)3.14×8＝25.12(分米)，
3.14×(8÷2)2
＝3.14×16
＝50.24(平方分米)
答：它的周长是25.12分米，面积是50.24平方分米．
(2)3.14×14×2＝87.92(厘米)
3.14×142
＝3.14×196
＝615.44(平方厘米)；
答：它的周长是87.92厘米，面积是615.44平方厘米．
【名师点评】此题主要考查圆周长公式、面积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
19．(衡水模拟)求下面图形中阴影部分的周长和面积．
【思路分析】观察图形可知，阴影部分的周长等于直径3厘米的圆的周长与两条直径的长度之和；阴影部分的面积等于这个边长是3厘米正方形的面积与直径3厘米的圆的面积之差，据此计算即可解答问题．
【规范解答】解：3.14×3+3×2
＝9.42+6
＝15.42(厘米)
3×3﹣3.14×(3÷2)2
＝9﹣3.14×2.25
＝9﹣7.065
＝1.935(平方厘米)
答：阴影部分的周长是15.42厘米，面积是1.935平方厘米．
【名师点评】解答此题的关键是在转化的基础上明确阴影部分的周长和面积都包括哪几个部分，据此利用公式计算即可解答．
五．应用题(共6小题)
20．(故城县期末)如图，一个羊圈依墙(墙足够长)而建，呈半圆形，半径是5米．围这个羊圈需要多长的栅栏？这个羊圈的面积是多少？
【思路分析】(1)直接根据圆的周长＝2πr计算半径是5米圆周长的一半即可；
(2)利用圆的面积公式：S＝πr2计算，再除以2即可求解．
【规范解答】解：(1)3.14×5×2÷2
＝3.14×5
＝15.7(米)
(2)3.14×52÷2
＝3.14×25÷2
＝39.25(平方米)
答：围这个羊圈需要15.7米长的栅栏，这个羊圈的面积是39.25平方米．
【名师点评】此题考查利用圆的周长和面积计算公式来解决实际问题．
21．(江汉区期末)某广场建了一个周长是37.68m的圆形花坛、在花坛里面铺了一条宽1m的圆环草坪，草坪的面积是多少平方米？
【思路分析】根据圆形花坛的周长是37.68m，根据C＝2πr求出花坛的半径，用花坛的半径减去1即可得到内圆的面积，再根据圆的面积＝πr2，用外圆面积减去内圆面积计算即可得到草坪的面积．
【规范解答】解：37.68÷3.14÷2
＝12÷2
＝6(米)
3.14×62﹣3.14×(6﹣1)2
＝3.14×36﹣3.14×52
＝113.04﹣3.14×25
＝113.04﹣73.5
＝34.54(平方米)
答：草坪的面积是34.54平方米
【名师点评】此题主要考查环形面积的计算，先根据圆的周长和半径的关系，求出外圆的半径，进而求出内圆半径，再利用环形面积公式解答．
22．如图是王师傅加工的一个环形铁片，它的外圆直径是20cm，内圆半径是6cm，这个铁片的面积是多少？
【思路分析】要求铁片的面积，就是求圆环的面积，可先求得外圆的半径是多少厘米，再利用圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积解答．
【规范解答】解：20÷2＝10(厘米)
3.14×(10×10﹣6×6)
＝3.14×(100﹣36)
＝3.14×64
＝200.96(平方厘米)
答：这个铁片的面积是200.96平方厘米．
【名师点评】此题考查了求圆环面积的应用，也可分别求得内外圆的面积后再相减．注意20是外圆的直径．
23．(荆门期末)为美化校园环境，学校准备在一个周长12.56米的花坛外围铺一条1米宽的环形下路，这条小路的面积是多少平方米？
【思路分析】求小路的面积，实际上是求圆环的面积，用大圆的面积减小圆的面积即可；小圆的周长已知，利用圆的周长公式C＝2πr即可求出小圆的半径，大圆的半径等于小圆的半径加上小路的宽度，从而利用圆环的面积公式S＝π(r22﹣r12)即可求解．
【规范解答】解：花坛的半径：12.56÷3.14÷2＝2(米)
环形路的面积：3.14×[(2+1)2﹣22]
＝3.14×(9﹣4)
＝3.14×5
＝15.7(平方米)
答：这条小路的面积是15.7平方米．
【名师点评】此题实际是属于求圆环的面积，即用大圆的面积减小圆的面积就是圆环的面积，关键是求出大、小圆的半径．
24．(册亨县期末)册亨县某村有一个直径是30m的圆形早冰场，为了满足更多滑冰爱好者的需求要将这个旱冰场的半径扩建5m．扩建后旱冰场的面积是多少平方米？
【思路分析】根据题意知，先求出旱冰场的原来的半径，扩建后半径增加了5m，扩建后旱冰场的半径为：30÷2+5＝20(m)，利用圆的面积公式：S＝πr2，把数代入计算即可．
【规范解答】解：3.14×(30÷2+5)2
＝3.14×202
＝1256(平方米)
答：扩建后旱冰场的面积是1256平方米．
【名师点评】本题主要考查有关圆的应用题，关键利用圆的面积公式计算．
25．(邓州市期末)学校建一个圆形花坛，花坛的直径是8m，周边还要修一条宽1米的小路，小路的面积是多少平方米？
【思路分析】由题意可知：小路是环形，根据环形面积＝外圆面积﹣内圆面积，把数据代入公式进行解答．
【规范解答】解：3.14×[(8÷2+1)2﹣(8÷2)2]
＝3.14×(25﹣16)
＝3.14×9
＝28.26(平方米)
答：小路的面积是28.26平方米．
【名师点评】此题是环形面积的实际应用，关键是理解内圆半径加上环宽等于外圆半径，根据环形面积公式解答即可．人教小数学生辅导讲义
[学生版]
学员姓名 年 级
辅导科目 学科教师
上课时间
第5讲 圆
思维导图
知识梳理
知识点一：圆的认识
1. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴。
2. 一个圆有无数条半径，有无数条直径。圆有无数条对称轴。
3. 在同圆或等圆中，所有的半径都相等，所有的直径都相等。
4. 在同圆或等圆中，r=d或d=2r。
知识点二：圆的周长及圆周率的意义
1.测量圆的周长的方法：绕绳法和滚动法。
2.圆的周长除以直径的商是一个固定的数。我们把它叫做圆周率，用字母π表示。
3.圆的周长的计算公式：C=πd，C=2πr
知识点三：圆的面积公式的推导及应用
1.圆的面积计算公式是 ：S＝πr
2.求圆的面积，要根据圆的面积计算公式来求。
3.圆环面积的计算方法：S＝πR2－πr2或S＝π(R－r)2。
4.“外方内圆”图形中，圆的直径等于正方形的边长。如果圆的半径为r，那么正方形和圆之间部分的面积为0.86r2。
5.“外圆内方”图形中，这个正方形的对角线等于圆的直径。如果圆的半径为r，那么圆和正方形之间部分的面积为1.14r2。
知识点四：扇形的认识
1.一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形；
2.顶点在圆心的角叫做圆心角；
3.扇形的大小和半径的长短、圆心角的大小有关。
精讲精练
考点一：圆的认识
典例分析
【例1】(龙华区期末)圆有 条半径，圆半径的长度是它直径的 ；半圆有 条对称轴
举一反三
1．(武昌区期末)圆是一个轴对称图形，它有 条对称轴．圆的周长与直径的比值，我们称之为 ．
2．(衡水模拟)在一个长5厘米，宽3厘米的长方形中画一个最大的圆，这个圆的半径是 厘米．
3．(天津模拟)填空题：
(1)圆的直径是 ．
(2)圆的半径是 ．
考点二：圆的周长及圆周率的意义
典例分析
【例2】(舟山校级模拟)李师傅想把3根横截面直径都是10厘米的圆木用铁丝紧紧地捆绑在一起(如图)，捆一圈(接头处不计)至少需铁丝 厘米．
举一反三
1．(海门市)把一个直径是4厘米的圆分成若干等份，然后把它剪开，照图的样子拼起来，拼成的图形的周长比原来圆的周长增加 厘米．
2．(福州)一个周长为20厘米的大圆内有许多小圆，这些小圆的圆心都在大圆的一个直径上．则小圆的周长之和为 厘米．
3．(亳州模拟)从A到B，小红沿上面的大半圆走，走了 m；李明走沿下面的两个小半圆走，走了 m．
我发现：这两条路线的长度 ．
考点三：圆的面积公式的推导及应用
典例分析
【例3】一幅圆形壁画的边框长是1.57m，这幅壁画的面积是 ．
举一反三
1．(利州区)如图，圆的面积和长方形的面积相等，圆的周长是6.28厘米，长方形的周长是 厘米．
2．(兴化市期末)将圆平均分成若干份，剪拼成一个近似的长方形(如图)．它的周长比圆的周长增加了6厘米，圆的周长是 厘米，近似长方形的面积是 平方厘米．
3．(枣阳市校级月考)如图圆的面积是25.12平方厘米，阴影部分的面积是 平方厘米．
考点四：扇形的认识
典例分析
【例4】(天津模拟)扇形是由圆的 和圆上的一段 围成的．
举一反三
1．一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的半径为 cm，面积为 cm2．
2．已知扇形心角为45°，扇形面积为8πm2，则扇形的半径为 ；弧长为 ．
3．已知扇形的圆心角为60°，弧长为6πm，则扇形的半径为 ，扇形面积为 ．
巩固提升
一．选择题(共6小题)
1．张老师在数学课上让同学们在圆中画一个圆心角是100°的扇形，四个同学分别画了四幅不同的作品，( )的作品符合老师的要求．
A． B．
C． D．
2．(孝昌县期末)下面各圆中的阴影部分，( )是扇形．
A． B． C． D．
3．(濉溪县期末)下面图形中的角是圆心角的是( )
A． B．
C． D．
4．(濉溪县期末)把一个圆平均分成32份，然后剪开，拼成一个近似的长方形，这个转化过程中，( )
A．周长和面积都没变 B．周长没变，面积变了
C．周长变了，面积没变 D．周长和面积都变了
5．(文水县期末)一个圆形水池，直径是10米，在水池周围围一圈栅栏，再在栅栏外围修一条宽2米的环形小路，环形小路的面积是( )平方米．
A．138.16 B．75.36 C．34.54 D．301.44
6．(广州期末)在边长是10cm的正方形内画一个最大的圆，圆的面积占正方形面积的( )
A． B． C． D．
二．填空题(共6小题)
7．(泰安)把一个圆等分成16份，拼成一个近似的长方形，周长增加了6cm，这个圆的面积是 cm2．
8．(曾都区)在一个长12厘米，宽8厘米的长方形纸上画一个最大的半圆，这个半圆的周长是 厘米，面积是 平方厘米．
9．(汉川市)小明把圆规的两脚张开3cm，在纸上画了一个圆，这个圆的周长是 cm，面积是 cm2．
10．(武川县期末)用一个37.68厘米的铁丝围成一个圆(接口处不计)，这个圆的直径是 厘米，这个圆的面积是 平方厘米．
11．(隆回县期末)一个圆形水池的直径是8米，这个水池的周长是 米，面积是 平方米．
12．(望城区期末)要剪一个周长是12.56厘米的圆形纸片，它的半径是 厘米，这个圆形纸片的面积是 平方厘米．
三．判断题(共5小题)
13．因为圆是弯曲的，所以没有周长． (判断对错)
14．(肥城市期末)半径是1厘米的圆，它的周长与面积相等． (判断对错)
15．(番禺区期末)一个圆的周长是12.56m，半径增加了1m后，面积增加了3.14m2． (判断对错)
16．(齐齐哈尔)把一个周长是628cm的圆分成2个半圆，每个半圆的周长都是314cm． (判断对错)
17．(望城区期末)当圆的半径是2cm时，这个圆的面积等于它的周长． (判断对错)．
四．计算题(共2小题)
18．(朔城区期末)计算下面各圆的周长和面积．
19．(衡水模拟)求下面图形中阴影部分的周长和面积．
五．应用题(共6小题)
20．(故城县期末)如图，一个羊圈依墙(墙足够长)而建，呈半圆形，半径是5米．围这个羊圈需要多长的栅栏？这个羊圈的面积是多少？
21．(江汉区期末)某广场建了一个周长是37.68m的圆形花坛、在花坛里面铺了一条宽1m的圆环草坪，草坪的面积是多少平方米？
22．如图是王师傅加工的一个环形铁片，它的外圆直径是20cm，内圆半径是6cm，这个铁片的面积是多少？
23．(荆门期末)为美化校园环境，学校准备在一个周长12.56米的花坛外围铺一条1米宽的环形下路，这条小路的面积是多少平方米？
24．(册亨县期末)册亨县某村有一个直径是30m的圆形早冰场，为了满足更多滑冰爱好者的需求要将这个旱冰场的半径扩建5m．扩建后旱冰场的面积是多少平方米？
25．(邓州市期末)学校建一个圆形花坛，花坛的直径是8m，周边还要修一条宽1米的小路，小路的面积是多少平方米？
