数学苏教版（2019）必修第一册7.4 三角函数应用 同步练习（Word版含部分解析）

《第四节　三角函数应用》同步练习
一、基础巩固
知识点1　三角函数模型在物理中的应用
1.[2022广东深圳高三下一模]阻尼器是一种以提供运动的阻力,从而达到减振效果的专业工程装置.深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置是亚洲最大的阻尼器,被称为“镇楼神器”.由物理学知识可知,某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动,其相对平衡位置的位移s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s=2sin(ωt+φ),其中ω>0.若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次相对平衡位置的位移为s0(-2A. B.π C. D.2π
2.(多选)如图所示的是一质点做简谐运动的图象,则下列结论正确的是(　　)
A.该质点的简谐运动周期为0.7 s
B.该质点的简谐运动振幅为5 cm
C.该质点的简谐运动频率为1.25 Hz
D.该质点的简谐运动周期为0.8 s
3.[2022辽宁大连高一月考]示波器上显示的曲线是正弦曲线形状,记录到两个坐标M(2, 4)和P(6,0),已知M,P分别是曲线上相邻的最高点和平衡位置,则曲线的方程为　 .
4.[2021江苏南京高一上期末]如图,弹簧挂着的小球做上下振动,它在t(单位:s)时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度h(单位:cm)由关系式h=Asin(ωt+)确定,其中A>0,ω>0,t∈[0,+∞).在一次振动中,小球从最高点运动至最低点所用时间为1 s,且最高点与最低点间的距离为10 cm.
(1)求小球相对平衡位置的高度h(单位:cm)和时间t(单位:s)之间的函数关系式;
(2)小球在t0 s内经过最高点的次数恰为50次,求t0的取值范围.
知识点2　三角函数模型在实际生活中的应用
5.如图所示,矗立于伦敦泰晤士河畔的伦敦眼是世界上首座、也曾经是世界最大的观景摩天轮.已知其旋转半径为60 m,最高点距地面135 m,运行一周大约30 min,某游客在最低点的位置坐上摩天轮,则第10 min时他距地面大约为(　　)
A.95 m B.100 m C.105 m D.110 m
6.[2022江苏七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁)高三下调研]时钟花原产于美洲热带,从开放到闭合与体内的一种时钟酶有关.研究表明,当气温上升到20℃时,时钟酶活跃起来,花朵开始开放;当气温上升到28℃时,时钟酶的活性减弱,花朵开始闭合,且每天开闭一次.已知某景区一天内5~17 h的气温T(单位:℃)与时间t(单位:h)近似满足关系式T=20-10sin(t-),则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历(sin ≈0.8)(　　)
A.1.4 h B.2.4 h C.3.2 h D.5.6 h
7.[2022重庆巴蜀中学高一上期末]潮汐是发生在沿海地区的一种自然现象,是指海水在天体(主要是月球和太阳)引潮力作用下所产生的周期性运动.习惯上把海面垂直方向涨落称为潮汐,而海水在水平方向的流动称为潮流.早先的人们为了表示生潮的时刻,把发生在早晨的高潮叫潮,发生在晚上的高潮叫汐,这是潮汐名称的由来.下表中给出了某市码头某一天水深与时间的关系(夜间零点开始计时).
时刻t 0 2 4 6 8 10 12
水深y/m 5.0 4.8 4.7 4.6 4.4 4.3 4.2
时刻t 14 16 18 20 22 24
水深y/m 4.3 4.4 4.6 4.7 4.8 5.0
用函数模型y=Acos(ωx+φ)+B(A>0,x∈[0,24]),来近似地描述这些数据,则A-B=　　　　.
8.如图,一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆逆时针匀速爬行,已知圆的半径为8 m,圆的圆心O距离地面的高度为10 m,蚂蚁每12 min爬行一圈,若蚂蚁的起始位置在最低点P0处.
(1)将蚂蚁距离地面的高度h(m)表示为时间t(min)的函数;
(2)在蚂蚁绕圆爬行的一圈内,有多长时间蚂蚁距离地面不低于14 m
二、能力提升
1.智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声,然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声(如图).已知噪声的声波曲线y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,0≤φ<2π)的振幅为1,周期为2π,初相位为,则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为(　　)
A.y=sin x
B.y=cos x
C.y=-sin x
D.y=-cos x
2.[2022辽宁丹东五校高三上联考]某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+B的模型波动(f(x)的单位:千元,A>0,ω>0,|φ|<,x为月份,1≤x≤12且x∈N*).已知3月出厂价最高,为9千元,7月出厂价最低,为5千元,则f(x)的解析式为(　　)
A.f(x)=2sin(x+)+7
B.f(x)=9sin(x-)
C.f(x)=2x+7
D.f(x)=2sin(x-)+7
3.(多选)[2022福建漳州高一上期末]气候变化是人类面临的全球性问题,随着各国二氧化碳排放,温室气体猛增,对生命系统形成威胁,我国积极参与全球气候治理,加速全社会绿色低碳转型,力争2030年前实现碳达峰,2060年前实现碳中和目标.某校高一数学研究性学习小组研究的课题是“碳排放与气候变化问题”,研究小组观察记录某天从6 h到14 h的温度变化,其变化曲线近似满足函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,0<φ<π),该函数图象如图,则(　　)
A.φ=
B.函数f(x)的最小正周期为16π
C. x∈R,f(x)+f(x+8)=40
D.若g(x)=f(x+m)是偶函数,则|m|的最小值为2
4.[2022陕西榆林市第十中学高一下期中]水车是一种利用水流动力进行灌溉的工具,是人类一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个水车的示意图,水车的半径为3 m,水车中心(即圆心B)距水面1.5 m.已知水车逆时针匀速旋转一圈的时间是80 s,以水面为x轴,过圆心B作水面的垂线BO(O为垂足),以BO所在的直线为y轴建立直角坐标系.现将水车上的一个水斗视为点P,从点P在出水面点A处时开始计时.
(1)求点P到水面的距离h(m)与时间t(s)的函数关系式;
(2)在水车的一圈转动中,求点P露出水面的时长.
参考答案
一、基础巩固
1.B
2.BCD　由题图可知,运动周期为2×(0.7-0.3)=0.8(s),故A错误,D正确;该简谐运动的振幅为5 cm,B正确;该简谐运动的频率f==1.25(Hz),C正确.故选BCD.
3.y=4sin(x+)
4.(1)由题意得A==5.
因为在一次振动中,小球从最高点运动至最低点所用时间为1 s,所以周期为2 s,
即T=2=,所以ω=π,
所以h=5sin(πt+)(t∈[0,+∞)).
(2)由(1)知,当t=时,小球第一次到达最高点,以后每隔一个周期都到达一次最高点.
因为小球在t0 s内经过最高点的次数恰为50次,所以+49T≤t0<+50T.
因为T=2,所以98≤t0<100,
所以t0的取值范围为[98,100).
5.C　设该游客在摩天轮上离地面的高度f(t)(m)与时间t(min)的函数关系式为f(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,φ∈[0, 2π)).由题意可知A=60,B=135-60=75,且最小正周期T==30,所以ω=,即f(t)=60sin(t+φ)+75.又f(0)=135-120=15,所以60sin φ+75=15,即sin φ=-1,所以φ=,所以f(t)=60sin(t+)+75=-60cos t+75,所以f(10)=-60×cos +75=105.故选C.
6.B　设t1 h开始开放,t2 h开始闭合,则20-10sin(t1-)=20,又t1∈[5,17],解得t1=9.因为20-10sin(t2-)=28,所以sin(t2-)=-.由sin ≈0.8,得sin ≈-,结合题意,得t2-,所以t2=,所以t2-t1==2.4.故选B.
7.-4.2
8.(1)设在t min时蚂蚁到达点P,则以Ox为始边,OP为终边的角为t-t-,故P点的纵坐标为8sin(t-),
则h=8sin(t-)+10=10-8cos t,
所以所求函数关系式为h=10-8cos t(t≥0).
(2)由(1)知h=10-8cos t(t≥0).
令10-8cos t≥14,可得cos t≤-,
所以π+2kπ≤t≤π+2kπ(k∈Z),
解得4+12k≤t≤8+12k(k∈Z).
又0≤t≤12,所以4≤t≤8,
即在蚂蚁绕圆爬行的一圈内,有4 min蚂蚁距离地面不低于14 m.
二、能力提升
1.D　由噪声的声波曲线y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,0≤φ<2π)的振幅为1,周期为2π,初相位为,可得ω==1, A=1, φ=,所以噪声的声波曲线的解析式为y=sin(x+),所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为y=sin(-x- )= -cos x.
2.D　由题意得解得又最小正周期为2×(7-3)=8,所以ω=,f(x)=2sin(x+φ)+7.将点(3,9)代入,得2sin(+φ)+7=9,则+φ=+2kπ,k∈Z.因为|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=2sin(x-)+7.
3.ACD　根据题图可知得所以f(x)=10sin(ωx+φ)+20.根据题图可知=14-6=8,T=16,B错误.ω= ,f(x)=10sin(x+φ)+20,f(6)=10sin(+φ)+20=10,即sin(+φ)=-1.又0<φ<π,所以+φ<,所以+φ=,解得φ=,A正确.f(x)=10sin(x+)+20,f(x+8)=10sin [(x+8)+]+20=10sin(x++π)+20=-10sin(x+)+20,所以f(x)+ f(x+ 8)=40,C正确.因为g(x)=f(x+m)=10sin [(x+m)+]+20=10sin(x+m+)+20是偶函数,所以m+=kπ+,k∈Z,得m=8k-2, k∈Z,所以当k=0时,|m|取得最小值,为2,D正确.故选ACD.
4.(1)如图,过点P向x轴作垂线,垂足为E,过点B作BC∥x轴,交PE于点D,交圆B于点C,连接BP,
则h=PE=PD+1.5.
又BA=3,BO=1.5,所以∠CBA=∠BAO=.
由题意知,水车的角速度ω=,
所以经过t s,点P转过的角度为t,
即∠PBA=t,
所以∠PBD=t-.
在△PBD中,PD=PBsin ∠PBD=3sin(t-),
所以h=3sin(t-)+1.5.
(2)令3sin(t-)+1.5=0,
即sin(t-)=-.
由题意取t-,得t=,
所以在水车的一圈转动中,点P露出水面的时长为 s.