13.4 课题学习 最短路径问题 课件（共38张PPT）

(共38张PPT)
13.4课题学习 最短路径问题
人教版八年级上册
知识回顾
1.等边三角形的性质有哪些？
2.等边三角形的判断有哪些？
①三边相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
①等边三角形的三条边都相等；
②等边三角形的三个角都相等，且每个角都是60°；
③等边三角形每条边上的高、中线和每个角的平分线都重合，有3条对称轴
知识回顾
含30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
含30°角的直角三角形的判定：
直角三角形中的一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
教学目标
1.利用轴对称、平移等变化解决简单的最短路径问题.
2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感受由实际问题
转化为数学问题的思想.
新知导入
答：（3）最短，因为两点之间，线段最短.
2.如图，点A是直线l外一点，点A与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？
答：AC最短，因为垂线段最短.
1.如图，连接A、B两点的所有线中，哪条最短？为什么？
l
A
C
B
D
新知讲解
3.在以前学习过哪些有关线段大小的结论？
三角形三边关系：两边之和大于第三边；
斜边大于直角边.
4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？
A
l
A ′
新知导入
相传古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，一位将军专程拜访海伦，请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传.
l
B
A
利用对称知识解决最短路径问题
知识点 1
新知探究
这是个实际问题，我们需要先建立数学模型，就是将实际问题里的军营A、会议地点B，抽象为A、B两点，将河流抽象为直线l。问题“到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？”，转换为到直线l上一点C，使AC+CB最短，求点C的位置。
C
A
B
l
数学问题
实际上，这个问题分为2种情况
新知探究
现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
（根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.）
解：连接AB,与直线 l 相交于一点C.
问题1：
A
l
B
C
新知探究
如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决所走路径最短的问题？
【思考】对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，且满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？
A
B
l
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
问题2：
B’
新知探究
如图，作出点B关于直线l的对称点B′，利用轴对称的性质可知：对于直线l上的任意一点C均满足BC=B′C.此时，问题转化为：当点C在直线l的什么位置时，AB+B′C的值最小？
B′
容易得出：连接AB′交直线l于点C，则点C即为所求.
A
B
l
C
新知探究
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
此时，AC+BC最小
则点C 即为所求．
A
B
l
B ′
C
探究新知
你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴AC +BC= AC +B′C = AB′，
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，
∴　AC +BC＜AC′+BC′．
即　AC +BC 最短．
问题3：
A
B
l
B ′
C
C ′
新知典例
例1．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后回家，问在何处饮水能使所走的总路程最短？
解：作点B关于河岸的对称点B′，连接AB′交CD于点P，．
由轴对称的性质可知：PB＝PB′，DB′＝DB．
∴PA+PB＝AP+PB′．
由两点之间线段最短可知；当点A、P、B′在一条直线上时，PA+PB最短．
B′
P
课堂练习
1. 如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）.
解：如图，P点即为该点.
新知典例
例2 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，5）和（4，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（　　）
A．（0，4） B．（0，3）
C．（0，2） D．（0，1）
解析：作B点关于y轴对称点B′，连接AB′，交y轴于点C′，此时△ABC的周长最小，然后依据点A与点B′的坐标可得到BE、AE的长，然后证明△B′CO为等腰直角三角形即可．
B′
C′
E
A
课堂练习
1．如图，等边△ABC，AD是BC边上的高，若AD＝4，点M为AB中点，点P是线段AD上的动点，则MP+BP最小值为（　　）
A．4 B．8
C．3 D．5.5
A
P
课堂小结
新知探究
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
A
B
N
M
利用平移知识解决造桥选址问题
知识点 2
B
A
●
●

N
M
N
N
M
M
新知探究
类比问题1，
现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
（根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.）
解：连接AB,与直线 l 相交于一点C.
问题1：
A
l
B
C
新知探究
提出问题
问题2： 问题1与建桥问题有没有相似处？
答：他们起点和重点都在河流的两侧
A
l
B
C
B
A
问题3： 问题1与建桥问题不同之处在哪里？
答：问题1中的河流看作了一条直线，
而建桥问题中的河流是有宽度的。
想法： 如果建桥问题能变成问题1就好了
新知探究
A
l
B
C
实施猜想
1、将原本看作一条直线的河流，变成实际有宽度的河流
2、将原本最短路径上的点C，随直线l一起移动得到点C’
C’
3、连接CC’，河流变宽了，A、B间的距离也增加了，将点B移动与河流同宽的距离到B’
4、在CC’的位置建桥，此时AC+CC’+C’B’是A到B’的最短路程吗？
B’
新知探究
例2 如图，从A地到B地要经过一条小河（河的两岸平行），现要在河上建一座桥（桥垂直于河的两岸），应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？
A
B
新知探究
解：（1）如图，过点A作AC垂直于河岸，交EF、GH分别于D、C两点，且使得AA’的长等于河宽CD；
分析：这一步就相当于，把点A下移到了A’的位置，也就将河岸EF与GH重合成一条直线GH。使题目变成了“问题1”的模式。
（2）连接A’B，与河岸GH相交于点N，且过点N作MN⊥EF于点M，则MN即为所建桥的位置.
F
H
E
G
A
B
M
N
C
A’
D
分析：无论桥梁的位置在哪里，只要垂直于河流两岸，长度都是一样的，所以能够A到桥再到B距离的，就只有A到B，由于A’B就是最短路径，那么非桥长部分如果等于A’B，总路程就是最短的，所以作图的目的就是让AM等于了A’N，这样AM+BN=A’B，此时就是最短路径。
新知探究
B
A
A1
M
N
如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.
理由:另任作桥M1N１，连接AM１，BN１，A１N１.
Ｎ１
Ｍ１
由平移性质可知，AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１.
AM+MN+BN转化为AA1＋A1B，而AM1 +M1N1+BN1转化为AA1＋A1N1+BN1.
在△A１N１B中，因为A1N1+BN1＞A1B.
因此AM1 +M1N1+BN1 ＞ AM+MN+BN.
所以，此作图法选址建桥后的路径就是最短路径
验证作法
课堂练习
2．如图所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从A到B的距离最短？
解：如图，作BB'垂直于河岸GH，使BB′等于河宽，
连接AB′，与河岸EF相交于P，作PD⊥GH，
则PD∥BB′且PD＝BB′，
于是PDBB′为平行四边形，故PB′＝BD．
根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AP+BD最短．
课堂小结
解决最短路径问题的方法
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择.
新知典例
例3 牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径.
A
B
P
Q
.
.
.
.
课堂练习
3.某中学八（2）班举行文艺晚会，桌子按如图所示摆成两直排（图中的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，BO桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到D处座位上．请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短．
【分析】作点C关于直线AO的对称点C′，点D关于直线OB的对称点D′，连接C′D′交AO于M，交OB于N，则路线CM﹣MN﹣ND即为所求．
解：如图所示，小明所走的行走路线为：CM﹣MN﹣ND，所走的总路程最短．
课堂小测
1．在平面直角坐标系中有两点，要在y轴上找一点，使它到A、B两点的距离之和最小，现有如下四种方案，其中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
D
课堂小测
2．如图，∠AOB＝30°，∠AOB内有一定点P，且OP＝10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（　　）
A．10 B．15 C．20 D．30
A
课堂小测
3．如图，P是∠AOB内一点，分别在OA、OB边上作点C、D，使得△PCD的周长最小．
课堂小测
4．在射线OM、ON分别找两点P、Q，使得四边形PQBA的周长最短．
课堂小测
5．如图，四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠C＝50°，
∴∠DAB＝130°，
∴∠HAA′＝50°，
∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝50°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF＝50°，
∴∠EAF＝130°﹣50°＝80°，
D
课堂总结
原理
线段公理和垂线段最短
最短路径问题
解题方法
造桥选址问题
关键是将固定线段“桥”平移
最短路径问题
轴对称知识+线段公理
解题方法
作业布置
谢谢
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