2022-2023学年鲁教版（五四学制）数学七年级上册暑假自主学习学情检测题（1-3章）(word版含答案)

2022-2023学年鲁教版（五四学制）七年级数学上册暑假自主学习学情检测测试题（附答案）
（内容范围：三角形、轴对称图形、勾股定理）
一、选择题（本大题共12小题，共36分．）
1．下面四个图形中，属于轴对称图形有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，补充条件后仍不能证△ABC≌△DEF，则补充的这个条件是（　　）
A．BC＝EF B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．∠C＝∠F
3．有两条线段的长度分别是5cm和10cm，如果再选取一条线段与其构成等腰三角形，则选取的线段长为（　　）
A．5cm B．6cm C．10cm D．5cm或10cm
4．如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（　　）
A．10cm B．14cm C．20cm D．无法确定
5．已知a，b，c为三角形的三边，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是（　　）
A．0 B．2a C．2（a+c） D．2（b﹣c）
6．如图，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠AEB的度数是（　　）
A．145° B．140° C．130° D．120°
7．一艘轮船以16海里∕小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船12海里∕小时从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，则两船相距（　　）
A．36海里 B．48海里 C．60海里 D．84海里
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝2cm，则BC的长等于（　　）
A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm
9．将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的取值范围是（　　）
A．0≤h≤12 B．12≤h≤13 C．11≤h≤12 D．12≤h≤24
10．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠BCA，若∠D：∠A＝7：2，则∠A的度数是（　　）
A．30° B．32° C．36° D．40°
11．下列说法错误的有（　　）
A．关于某直线对称的两个图形一定能完全重合
B．全等的两个三角形一定关于某直线对称
C．轴对称图形的对称轴至少有一条
D．线段是轴对称图形
12．如图，△ABC≌△AEF，点F在BC上，以下结论不正确的有（　　）
A．∠B＝∠E B．∠AFC＝∠C C．∠FAB＝∠EFA D．∠EAB＝∠FAC
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
13．在△ABC中，∠B＜∠C，AD为BC边的中线，△ABD的周长与△ADC的周长相差3，AB＝8，则AC＝　 　．
14．如图，AC＝BC，∠B＝72°，AD平分∠BAC，则图中等腰三角形（不含△ABC）的个数是 　 　．
15．如图，将三角形纸片的一角折叠，若∠A＝65°，∠B＝75°，∠1＝30°，则∠2的度数为　 　 　．
16．如图，△ABC的周长是10，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，则△ABC的面积是 　 　．
17．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝　 　．
18．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
19．如图，在△ABC和△AED中，∠BAC＝∠EAD，AB＝AE，AC＝AD，连接BD，CE，线段BD和EC相等吗？为什么？
20．如图，将长方形ABCD沿BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，求重叠部分（即△BED）的面积．
21．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，P是边BC延长线上一点，PE⊥AD．∠ACB＝50°，∠B＝20°，求∠P的度数．
22．如图所示，两根与地平线垂直的旗杆AC，BD相距12米，某人从B点沿BA走向A，一定时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM＝DM，已知旗杆AC的高为3米，该人的运动速度为2米/秒，求这个人还需要多长时间才能到达A处？
23．如图，某隧道的截面是一个半径为3.6米的半圆形，一辆高2.4米、宽3米的集装箱卡车能通过该隧道吗？
24.将一张长方形纸片如图剪开，得到两张全等三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆放成如图的形式，使点B、F、C、D在同一条直线上．
（1）求证：AB⊥ED；
（2）若PB＝BC，请说明PE＝BF．
25．（1）如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．说明BD＝CE的理由；
（2）如图2，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．直接写结论：∠AEB＝　 　°；
（3）如图3，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，CD＝CE，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE的边DE上的高，连接BE．
①求∠AEB的度数；
②线段CM，AE，BE间有怎样的数量关系？写出结论并说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，共36分．）
1．解：第1个图形：不是轴对称图形，不合题意；
第2个图形：是轴对称图形，符合题意；
第3个图形：不是轴对称图形，不合题意；
第4个图形：是轴对称图形，符合题意；
故选：B．
2．解：A、补充条件BC＝EF可利用SAS证明三角形全等，故此选项不合题意；
B、补充条件∠A＝∠D可利用ASA证明三角形全等，故此选项不合题意；
C、补充条件AC＝DF不能证明三角形全等，故此选项符合题意；
D、补充条件∠C＝∠F可利用AAS证明三角形全等，故此选项不合题意；
故选：C．
3．解：∵有两条线段长度分别为：5cm，10cm，
∴设第三条边长为：a，
故10﹣5＜a＜10+5，
则5＜a＜15，
故如果再选取一条线段与其构成等腰三角形，则选取的线段长为10cm．
故选：C．
4．解：如图所示：沿AC将圆柱的侧面展开，
∵底面半径为2cm，
∴BC＝＝2π≈6cm，
在Rt△ABC中，
∵AC＝8cm，BC＝6cm，
∴AB＝＝10cm．
故选：A．
5．解：∵a，b，c为三角形的三边，
∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，
∴|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|
＝a+b﹣c﹣[﹣（b﹣a﹣c）]
＝a+b﹣c+b﹣a﹣c
＝2（b﹣c）．
故选：D．
6．解：∵△OAD≌△OBC，
∴∠OBC＝∠OAD，
∵∠O＝70°，∠C＝25°，
∴∠OBC＝∠OAD＝85°，
则∠AEB＝360°﹣70°﹣170°＝120°．
故选：D．
7．解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴∠BAC＝90°，
两小时后，两艘船分别行驶了16×3＝48，12×3＝36海里，
根据勾股定理得：＝60（海里）．
故选：C．
8．解：∵AB＝AC，∠C＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∵AB⊥AD，AD＝2cm，
∴∠BAD＝90°，BD＝2AD＝4cm，
∴∠DAC＝120°﹣90°＝30°，
∴AD＝CD＝2cm，
∴CB＝DB+CD＝6cm．
故选：B．
9．解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12（cm）．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
如图所示：此时，AB＝＝＝13（cm），
故h＝24﹣13＝11（cm）．
故h的取值范围是：11cm≤h≤12cm．
故选：C．
10．解：∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，BD平分∠ABC，CD平分∠BCA，
∴∠DCB+∠DBCA＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，
∴∠D＝180°﹣（∠DCB+∠DBCA）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝180°﹣90°+∠A＝90°+∠A．
∵∠D：∠A＝7：2，
∴90°+∠A＝∠A，
解得∠A＝30°．
故选：A．
11．解：A．关于某直线对称的两个图形一定能完全重合，正确，不合题意；
B．全等的两个三角形不一定关于某直线对称，原说法错误，符合题意；
C．轴对称图形的对称轴至少有一条，正确，不合题意；
D．线段是轴对称图形，正确，不合题意；
故选：B．
12．解：A、∵△ABC≌△AEF，
∴∠B＝∠E，本选项说法正确，不符合题意；
B、∵△ABC≌△AEF，
∴AC＝AF，
∴∠AFC＝∠C，本选项说法正确，不符合题意；
C、当△ABC≌△AEF时，∠AFC与∠C的大小不能确定，本选项说法不正确，符合题意；
D、∵△ABC≌△AEF，
∴∠EAF＝∠BAC
∴∠EAF﹣∠BAF＝∠BAC﹣∠BAF，即∠EAB＝∠FAC，本选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，共18分果）
13．解：如图：
∵AD为BC边的中线，
∴BD＝CD，
∵△ABD与△ADC的周长差为3，AB＝8，∠B＜∠C，
∴C△ABD﹣C△ADC＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝8﹣AC＝3，
解得AC＝5．
故答案为：5．
14．解：由图可知，∵AC＝BC，∠B＝72°，
∴∠C＝36°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠C＝36°
∴△CAD为等腰三角形，
∵∠BDA＝∠C+∠CAD＝72°＝∠B，
∴△BAD为等腰三角形，
∴则图中等腰三角形（不含△ABC）的个数是2个．
故答案为2．
15．解：如图，延长AD、BE交于点C′，并连接CC′．
由题意得：△DEC≌△DEC′．
∴∠DCE＝∠DC′E．
∵∠A＝65°，∠B＝75°，
∴∠DC′E＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣（65°+75°）＝40°．
∵∠1＝∠DCC′+∠CC′D，∠2＝∠ECC′+∠EC′C，
∴∠1+∠2＝∠DCC′+∠DC′C+∠ECC′+∠EC′C＝∠DCE+∠DC′E＝2∠DC′E＝80°．
又∵∠1＝30°，
∴∠2＝50°．
故答案为：50°．
16．解：连接OA，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵△ABC的周长是10，
∴AB+AC+BC＝10，
∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，OD＝3，
∴OE＝OF＝OD＝3，
∴S△ABC＝×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD＝×10×3＝15，
故答案为：15．
17．解：
①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：＝50°
∴特征值k＝＝
②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°
∴特征值k＝＝
综上所述，特征值k为或
故答案为或
18．解：设将AC延长到点D，连接BD，
根据题意，得CD＝6×2＝12，BC＝5．
∵∠BCD＝90°
∴BC2+CD2＝BD2，即52+122＝BD2
∴BD＝13
∴AD+BD＝6+13＝19
∴这个风车的外围周长是19×4＝76．
故答案为：76．
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
19．解：相等，理由如下：
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠EAC，
在△BAD与△EAC中，
，
∴△BAD≌△EAC（SAS），
∴BD＝EC．
20．解：∵AD∥BC，
∴∠DBC＝∠BDA；
∵∠C′BD＝∠DBC，
∴∠C′BD＝∠BDA，
∴DE＝BE，
设DE＝x，则AE＝8﹣x
在Rt△ABE中，x2＝42+（8﹣x）2
解得x＝5，
∴S△DBE＝×5×4＝10．
21．解：∵∠ACB＝50°，∠B＝20°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠ACB）＝110°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝＝55°．
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝75°．
∵EP⊥AD，
∴∠AEP＝90°．
∴∠P＝∠AEP﹣∠ADP＝15°．
22．解：∵∠CMD＝90°，
∴∠CMA+∠DMB＝90°，
∵∠CAM＝∠DBM＝90°，
∴∠CMA+∠ACM＝90°，
∴∠ACM＝∠DMB，
在△ACM和△BMD中，
，
∴△ACM≌△BMD（AAS），
∴AC＝BM＝3米，
∴AM＝12﹣3＝9（米），
∴他到达点A时，还需要的运动时间为9÷2＝4.5秒．
答：还需要4.5秒才能到达A．
23．解：图中的长方形ABCD是卡车横截面的示意图，AB的中点O是隧道的截面半圆的圆心，
OB＝＝1.5m，BC＝2.4m，∠OBC＝90°，
在Rt△OBC中，由勾股定理，得OB2+BC2＝OC2，
即OC2＝BC2+OB2＝2.42+1.52＝8.01，
∵3.62＝12.96，
∴12.96＞8.01．
∴卡车能通过该隧道．
24．证明：（1）依题意可得，∠A+∠B＝90°，∠A＝∠D，
∴∠D+∠B＝90°，
∴∠BPD＝90°，
∴AB⊥DE；
（2）∵将一张长方形纸片沿着对角线剪开，得到两张三角形纸片，
∴△ABC≌△DEF，
∴∠A＝∠D，AB＝DE，
在△BPD与△BCA中，
∵，
∴△BPD≌△BCA（AAS），
∴BD＝AB＝DE，DF＝DP，
∴BD﹣DF＝DE﹣DP，
即PE＝BF．
25．解：（1）∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAE，
即：∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴AC＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝∠CED＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠BCE＝∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°，
∴∠AEC＝∠BEC﹣∠CED＝60°，
故答案是60°；
（3））①∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴AC＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CDE＝∠CED＝45°，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠BCE＝∠ADC＝180°﹣∠CDE＝135°，
∴∠AEC＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°，
②由①知，
△ACD≌△BCE，
∴BE＝AD，
在Rt△DCE中，CM⊥DE，
∴DM＝ME，
∴DE＝2CM，
∵AE＝AD+DE，
∴AE＝BE+2CM．