2022-2023学年鲁教版（五四学制）九年级数学上册3.5确定二次函数的表达式 同步测试题(word版含答案)
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年鲁教版（五四学制）九年级数学上册3.5确定二次函数的表达式 同步测试题(word版含答案) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 383.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-22 19:46:03 | ||
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文档简介
2022-2023学年鲁教版（五四学制）九年级数学上册《3.5确定二次函数的表达式》
同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（ ）
A．y＝x2+2x﹣3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝﹣x2+2x﹣3 D．y＝﹣x2﹣2x+3
2．如图，若抛物线y＝ax2﹣2x+a2﹣1经过原点，则抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣x2﹣2x B．y＝x2﹣2x
C．y＝﹣x2﹣2x+1 D．y＝﹣x2﹣2x或y＝x2﹣2x
3．设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝2；当x＝5时，y＝6，以下判断正确的是（ ）
A．若h＝2，则a＜0 B．若h＝4，则a＞0
C．若h＝6，则a＜0 D．若h＝8，则a＞0
4．二次函数y＝ax2﹣2ax+b中，当﹣1≤x≤4时，﹣2≤y≤3，则b﹣a的值为（ ）
A．﹣6 B．﹣6或7 C．3 D．3或﹣2
5．如图，直线y＝﹣x+1与x轴交于点A，直线m是过点A、B（﹣3，0）的抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴，直线y＝﹣x+1与直线m交于点C，已知点D（n，5）在直线y＝﹣x+1上，作线段CD关于直线m对称的线段CE，若抛物线与折线DCE有两个交点，则a的取值范围为（ ）
A．a≥1 B．0＜a≤1 C．﹣＜a＜0或0＜a＜1 D．a≥1或a＜﹣
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，﹣2），B（0，3），C（3，3），D（4，﹣2）．y是关于x的二次函数，抛物线y1经过点A，B，C．抛物线y2经过点B，C，D，抛物线y3经过点A，B，D，抛物线y4经过点A，C，D，则下列判断正确的是（ ）
①四条抛物线的开口方向均向下；
②当x＜0时，四条抛物线表达式中的y均随x的增大而增大；
③抛物线y1的顶点在抛物线y2顶点的上方；
④抛物线y4与y轴交点在点B的上方．
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
7．抛物线的形状、开口方向与y＝x2﹣4x+3相同，顶点在（﹣2，1），则关系式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2﹣1
C．y＝（x+2）2+1 D．y＝﹣（x+2）2+1
8．已知抛物线y＝x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c等于（ ）
A．4 B．8 C．﹣4 D．16
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知二次函数y＝x2，OACB为矩形，A，B在抛物线上，当A，B运动时，点C也在另一个二次函数图象上运动，设C（x，y），则y关于x的函数表达式为 ．
10．小刚在用描点法画抛物线C1：y＝ax2+bx+c时，列出了下面的表格：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 6 7 6 3 …
请根据表格中的信息，写出抛物线C1的解析式： ．
11．二次函数的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，根据图中信息可求得该二次函数的解析式为 ．
12．若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与抛物线y＝2x2﹣4x﹣1的顶点重合，且与y轴的交点的坐标为（0，1），则抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式是 ．
13．如图，平行四边形ABCD中，AB＝4，点D的坐标是（0，﹣4），以点C为顶点的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过x轴上的点A，B．则抛物线的解析式是 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，且CB＝3AC，P为CB的中点，设点P的坐标为P（x，y）（x＞0），写出y关于x的函数表达式为： ．
15．如图，平行四边形ABCD中，AB＝4，点D的坐标是（0，8），以点C为顶点的抛物线经过x轴上的点A，B，则此抛物线的解析式为 ．
16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2）三点，则此二次函数的解析式是 ．
三．解答题（共6小题，满分48分）
17．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点．
（1）求抛物线的解析式和C点坐标；
（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值．
18．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+2a（a≠0）．
（1）该二次函数图象的对称轴是直线x＝ ；
（2）若该二次函数的图象开口向上，当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，求抛物线的解析式；
（3）若对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当x2取大于3的任何实数时，均满足y1＜y2，请结合图象，直接写出x1的取值范围．
19．如图，直线y＝x﹣3与x轴和y轴交点分别为A，B，抛物线y＝x2+bx+c经过A，B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将点B向右平移4个单位长度得到点C，若抛物线y＝x2+bx+c+m与线段BC恰好有一个交点，求m的取值范围．
20．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C．
（1）求这条抛物线的表达式和顶点C的坐标．
（2）点D在这条抛物线的对称轴上，当DC＝DA时，求点D的坐标．
21．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝x+3分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是A和C，且抛物线的对称轴为x＝﹣2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线AC下方的抛物线上找一点D，使△ACD的面积最大，直接写出点D的坐标及最大面积．
22．如图，在平面直角系中，已知点O（0，0），A（5，0），B（4，4）．
（1）求过O，A，B三点的抛物线的解析式；
（2）在第一象限的抛物线上存在点M，使O，A，B，M为顶点的四边形的面积最大，求点M的坐标．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．解：从图象可知：二次函数的顶点坐标是（1，﹣4），与x轴的交点坐标是（﹣1，0），
设二次函数的解析式是y＝a（x﹣1）2﹣4，
把（﹣1，0）代入得：0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，
解得：a＝1，
所以y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，
故选：B．
2．解：把（0，0）代入y＝ax2﹣2x+a2﹣1得，0＝a2﹣1，
∴a＝±1，
∵抛物线开口向下，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x，
故选：A．
3．解：当x＝1时，y＝2；当x＝5时，y＝6；代入函数式得：，
∴a（5﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝4，
整理得：a（6﹣2h）＝1，
若h＝2，则a＝，故A错误；
若h＝4，则a＝﹣，故B错误；
若h＝6，则a＝﹣，故C正确；
若h＝8，则a＝﹣，故D错误；
故选：C．
4．解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+b＝a（x﹣1）2+b﹣a，
∴顶点（1，b﹣a）
当a＞0时，当﹣1≤x≤4时，﹣2≤y≤3，
函数有最小值，
∴b﹣a＝﹣2，
当a＜0时，当﹣1≤x≤4时，﹣2≤y≤3，
函数有最大值，
∴b﹣a＝3，
故选：D．
5．解：∵直线y＝﹣x+1与x轴交于点A，点D（n，5）在直线y＝﹣x+1上，
∴A（1，0），D（﹣4，5），
∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，
∴y＝1+1＝2，
∴C（﹣1，2），
∵C、E关于直线x＝﹣1对称，
∴E（2，5），
∵＝﹣1，
∴b＝2a，
把A（1，0）代入抛物线y＝ax2+bx+c得c＝﹣3a，
∴抛物线的解析式为：y＝ax2+2ax﹣3a
（i）若a＞0，抛物线开口向上且经过D（﹣4，5），把（﹣4，5）代入y＝ax2+2ax﹣3a求出：a＝1；
由对称性可知：当a≥1时，抛物线与折线DCE有两个交点；
（ii）若a＜0，抛物线开口向下且经过C（﹣1，2），把C（﹣1，2）代入y＝ax2+2ax﹣3a求出：a＝﹣；
由对称性可知：当a＜﹣时，抛物线与折线DCE有两个交点；
综上所述：当a≥1或a＜﹣时，抛物线与折线DCE有两个交点；
故选：D．
6．解：根据已知条件利用待定系数法可得：
y1＝﹣（x﹣）2+，
y2＝﹣（x﹣）2+，
y3＝﹣（x﹣1）2+，
y4＝﹣（x﹣1）2+7＝﹣x2+2x+6．
y4 与y轴交点为（0，6）．
∴①四条抛物线的开口方向均向下；
②当x＜0时，四条抛物线表达式中的y均随x的增大而增大；
③抛物线y1的顶点在抛物线y2顶点的下方；
④抛物线y4与y轴交点在点B的上方．
所以①②④正确．
故选：A．
7．解：抛物线的形状、开口方向与y＝x2﹣4x+3相同，所以a＝．
顶点在（﹣2，1），所以是y＝（x+2）2+1．
故选：C．
8．解：根据题意，得＝0，
解得c＝16．
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：过A作AD⊥x轴于D，过B作BE⊥x轴于E，连接AB、OC，如图：
设A（m，m2），B（n，n2），又C（x，y），
∵四边形OACB是矩形，
∴AB与OC中点重合，AB＝OC，
而AB2＝AO2+BO2＝m2+（m2）2+n2+（n2）2，
∴，
消去m、n得：+（x2﹣y）＝0，
∴（x2﹣y）（x2﹣y+2）＝0，
∴y＝x2（舍去）或y＝x2+2，
故答案为：y＝x2+2．
10．解：把（0，3）（1，6）（2，7）代入y＝ax2+bx+c中得：
，
解得：，
∴抛物线C1的解析式为：y＝﹣x2+4x+3，
故答案为：y＝﹣x2+4x+3．
11．解：设y＝ax2+bx+c，
由题意得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，
故答案为：y＝﹣x2﹣2x+3．
12．解：∵y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，
∴抛物线y＝2x2﹣4x﹣1的顶点坐标为（1，﹣3），
∵抛物线y＝ax2+bx+c与抛物线y＝2x2﹣4x﹣1的顶点重合，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣3），
∴设此抛物线为y＝a（x﹣1）2﹣3，
∵与y轴的交点的坐标为（0，1），
∴1＝a﹣3，解得a＝4，
∴此抛物线为y＝4（x﹣1）2﹣3＝4x2﹣8x+1，
故答案为：y＝4x2﹣8x+1．
13．解：∵ ABCD中，AB＝4，
∴DC＝AB＝4，
又D（0，﹣4），即OD＝4，
∴C（4，﹣4），即抛物线对称轴为直线x＝4，
∵AB＝4，
∴A（2，0），B（6，0），
∵顶点C（4，﹣4），
∴抛物线为y＝a（x﹣4）2﹣4，
把A（2，0）代入得，0＝4a﹣4，
解得a＝1，
∴抛物线的解析式是y＝（x﹣4）2﹣4；
故答案为：y＝（x﹣4）2﹣4．
14．解：过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，如图：
∵AD⊥y轴，BE⊥y轴，
∴AD∥BE，
∴△ACD∽△BCE，
∴＝＝，
∵CB＝3AC，
∴CE＝3CD，BE＝3AD，
设AD＝m，则BE＝3m，
∵A、B两点在二次函数y＝x2的图象上，
∴A（﹣m，m2），B（3m，9m2），
∴OD＝m2，OE＝9m2，
∴ED＝8m2，
而CE＝3CD，
∴CD＝2m2，OC＝3m2，
∴C（0，3m2），
∵P为CB的中点，
∴P（m，6m2），
又已知P（x，y），
∴，
∴y＝x2；
故答案为：y＝x2．
15．解：在平行四边形ABCD中，CD∥AB且CD＝AB＝4，点D的坐标是（0，8），
∴点C的坐标为（4，8），
设抛物线的对称轴与x轴相交于点H，
则AH＝BH＝2，
∴点A，B的坐标为A（2，0），B（6，0），C（4，8），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+8，
把A（2，0）代入得，0＝4a+8，
解得a＝﹣2，
∴y＝﹣2（x﹣4）2+8，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+16x﹣24，
故答案为y＝﹣2x2+16x﹣24．
16．解：将A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得，
∴y＝x2﹣x﹣2．
故答案为：y＝x2﹣x﹣2．
三．解答题（共6小题，满分48分）
17．解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+6中，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6；
当x＝0时，y＝﹣2x2+4x+6＝6，
∴点C的坐标为（0，6）；
（2）过点P作PF∥y轴，交BC于点F，如图所示，
当x＝0时，y＝﹣2x2+4x+6＝6，
∴点C的坐标为（0，6）．
设直线BC的解析式为y＝kx+c，
把B（3，0），C（0，6）代入y＝kx+c中，
得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+6．
设点P的坐标为（m，﹣2m2+4m+6），
则点F的坐标为（m，﹣2m+6），
∴PF＝﹣2m2+4m+6﹣（﹣2m+6）＝﹣2m2+6m，
∴S△PBC＝PF OB＝＝﹣3m2+9m＝﹣3（m﹣）2+，
∴当m＝时，△PBC的面积取得最大值，最大值为．
∵点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，
∴0＜m＜3．
18．解：（1）对称轴x＝﹣＝1．
故答案为1；
（2）∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，且当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，
∴当x＝4时，y的最大值为5，
∴16a﹣8a+2a＝5，
∴a＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+1；
（3）如图，
∵对称轴为直线x＝1，
∴x＝﹣1与x＝3时的y值相等，
∵x2＞3时，均满足y1＜y2，
②当a＜0时，抛物线开口向下，如图1，不成立；
②当a＞0时，抛物线开口向上，如图2，当x2取大于3的任何实数时，均满足y1＜y2，此时，x1的取值范围是：﹣1≤x1≤3；
∴由①②知：当a＞0时，抛物线开口向上．当x2取大于3的任何实数时，均满足y1＜y2，
此时，x1的取值范围是：﹣1≤x1≤3．
19．解：（1）∵直线y＝x﹣3与x轴，y轴分别交于点A，B．
∴当x＝0时，y＝﹣3，即B（0，﹣3），
当y＝0时，x＝3，即A（3，0），
又∵抛物线y＝x2+bx+c经过A，B两点，
∴将点A（3，0），B（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，
得，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵B（0，﹣3）向右平移4个单位长度得到C（4，﹣3），
由（1）知抛物线y＝x2+bx+c+m的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3+m＝（x﹣1）2+m﹣4．
∵抛物线y＝x2+bx+c+m与线段BC恰好有一个交点，
∴①当抛物线顶点在线段BC上时，即顶点为（1，﹣3），
∴m﹣4＝﹣3，
解得m＝1，
②当抛物线y＝x2+bx+c+m与y轴的交点在点B的下方时，即﹣3+m＜﹣3时，
∴m＜0，
③当抛物线y＝x2+bx+c+m与线段BC的交点是点C时，
∴将C（4，﹣3）代入y＝（x﹣1）2+m﹣4得，
﹣3＝（4﹣1）2+m﹣4，
解得：m＝﹣8，
则抛物线y＝x2+bx+c+m与线段BC恰好有一个交点时m≥﹣8，
∴抛物线y＝x2+bx+c+m与线段BC恰好有一个交点时，m的取值范围为：﹣8≤m＜0或m＝1．
20．解：（1）由题意得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+，
∵y＝﹣x2+2x+＝﹣（x﹣2）2+，
∴顶点C的坐标为（2，）；
（2）设直线AC为y＝kx+m，
把A（﹣1，0），C（2，）代入得，
解得，
∴直线AC为y＝x+，
∵A（﹣1，0），C（2，），
∴AC的中点为（，），
∵DC＝DA，
∴D是AC的垂直平分线上的点，
设AC的垂直平分线的解析式为y＝﹣x+n，
代入（，）得＝﹣×+n，
解得n＝，
∴AC的垂直平分线的解析式为y＝﹣x+，
把x＝2代入得y＝﹣+＝，
∴点D的坐标为（2，）
21．解：（1）在y＝x+3中，令x＝0，则y＝3；令y＝0，则x+3＝0，解得x＝﹣3；
∴A（﹣3，0），C（0，3），
∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A和C，且抛物线的对称轴为x＝﹣2．
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+4x+3；
（2）设过D点的直线与直线AC平行，且抛物线只有一个交点时，△ACD的面积最大．
∵直线AC为y＝x+3，
∴设过D点的直线为y＝x+b，
∴，
整理得x2+3x+3﹣b＝0，
Δ＝9﹣4（3﹣b）＝0，
解得b＝，
∴x2+3x+3﹣＝0，
解得x1＝x2＝﹣
∴把x＝﹣代入y＝x+得，y＝﹣，
∴点D的坐标为（﹣，﹣），
过点D作DH垂直于x轴交AC于H点，
∴H（﹣，），
∴PH＝﹣（﹣）＝，
∴S△ACD＝××3＝，
∴△ACD的面积最大值是．
22．解：（1）设抛物线解析式：y＝ax2+bx+c，
将点O（0，0），A（5，0），B（4，4）代入解析式，
得，
解得，
∴抛物线解析式：y＝﹣x2+5x．
（2）连接OM，MB，BA，过点M作MG⊥x轴交直线OB于点G，
如图所示：
设OB的解析式：y＝kx，
代入B（4，4），
得4k＝4，
解得k＝1，
∴OB的解析式：y＝x，
设M（m，﹣m2+5m），则G（m，m），
∴MG＝﹣m2+5m﹣m＝﹣m2+4m，
∵A（5，0），
∴OA＝5，
∴S△AOB＝＝10，
S△MOB＝，
∴S四边形OMBA＝S△AOB+S△MOB＝﹣2m2+8m+10，
当m＝﹣＝2时，S四边形OMBA最大，
此时M点坐标（2，6）．
同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（ ）
A．y＝x2+2x﹣3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝﹣x2+2x﹣3 D．y＝﹣x2﹣2x+3
2．如图，若抛物线y＝ax2﹣2x+a2﹣1经过原点，则抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣x2﹣2x B．y＝x2﹣2x
C．y＝﹣x2﹣2x+1 D．y＝﹣x2﹣2x或y＝x2﹣2x
3．设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝2；当x＝5时，y＝6，以下判断正确的是（ ）
A．若h＝2，则a＜0 B．若h＝4，则a＞0
C．若h＝6，则a＜0 D．若h＝8，则a＞0
4．二次函数y＝ax2﹣2ax+b中，当﹣1≤x≤4时，﹣2≤y≤3，则b﹣a的值为（ ）
A．﹣6 B．﹣6或7 C．3 D．3或﹣2
5．如图，直线y＝﹣x+1与x轴交于点A，直线m是过点A、B（﹣3，0）的抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴，直线y＝﹣x+1与直线m交于点C，已知点D（n，5）在直线y＝﹣x+1上，作线段CD关于直线m对称的线段CE，若抛物线与折线DCE有两个交点，则a的取值范围为（ ）
A．a≥1 B．0＜a≤1 C．﹣＜a＜0或0＜a＜1 D．a≥1或a＜﹣
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，﹣2），B（0，3），C（3，3），D（4，﹣2）．y是关于x的二次函数，抛物线y1经过点A，B，C．抛物线y2经过点B，C，D，抛物线y3经过点A，B，D，抛物线y4经过点A，C，D，则下列判断正确的是（ ）
①四条抛物线的开口方向均向下；
②当x＜0时，四条抛物线表达式中的y均随x的增大而增大；
③抛物线y1的顶点在抛物线y2顶点的上方；
④抛物线y4与y轴交点在点B的上方．
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
7．抛物线的形状、开口方向与y＝x2﹣4x+3相同，顶点在（﹣2，1），则关系式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2﹣1
C．y＝（x+2）2+1 D．y＝﹣（x+2）2+1
8．已知抛物线y＝x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c等于（ ）
A．4 B．8 C．﹣4 D．16
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知二次函数y＝x2，OACB为矩形，A，B在抛物线上，当A，B运动时，点C也在另一个二次函数图象上运动，设C（x，y），则y关于x的函数表达式为 ．
10．小刚在用描点法画抛物线C1：y＝ax2+bx+c时，列出了下面的表格：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 6 7 6 3 …
请根据表格中的信息，写出抛物线C1的解析式： ．
11．二次函数的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，根据图中信息可求得该二次函数的解析式为 ．
12．若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与抛物线y＝2x2﹣4x﹣1的顶点重合，且与y轴的交点的坐标为（0，1），则抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式是 ．
13．如图，平行四边形ABCD中，AB＝4，点D的坐标是（0，﹣4），以点C为顶点的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过x轴上的点A，B．则抛物线的解析式是 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，且CB＝3AC，P为CB的中点，设点P的坐标为P（x，y）（x＞0），写出y关于x的函数表达式为： ．
15．如图，平行四边形ABCD中，AB＝4，点D的坐标是（0，8），以点C为顶点的抛物线经过x轴上的点A，B，则此抛物线的解析式为 ．
16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2）三点，则此二次函数的解析式是 ．
三．解答题（共6小题，满分48分）
17．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点．
（1）求抛物线的解析式和C点坐标；
（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值．
18．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+2a（a≠0）．
（1）该二次函数图象的对称轴是直线x＝ ；
（2）若该二次函数的图象开口向上，当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，求抛物线的解析式；
（3）若对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当x2取大于3的任何实数时，均满足y1＜y2，请结合图象，直接写出x1的取值范围．
19．如图，直线y＝x﹣3与x轴和y轴交点分别为A，B，抛物线y＝x2+bx+c经过A，B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将点B向右平移4个单位长度得到点C，若抛物线y＝x2+bx+c+m与线段BC恰好有一个交点，求m的取值范围．
20．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C．
（1）求这条抛物线的表达式和顶点C的坐标．
（2）点D在这条抛物线的对称轴上，当DC＝DA时，求点D的坐标．
21．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝x+3分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是A和C，且抛物线的对称轴为x＝﹣2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线AC下方的抛物线上找一点D，使△ACD的面积最大，直接写出点D的坐标及最大面积．
22．如图，在平面直角系中，已知点O（0，0），A（5，0），B（4，4）．
（1）求过O，A，B三点的抛物线的解析式；
（2）在第一象限的抛物线上存在点M，使O，A，B，M为顶点的四边形的面积最大，求点M的坐标．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．解：从图象可知：二次函数的顶点坐标是（1，﹣4），与x轴的交点坐标是（﹣1，0），
设二次函数的解析式是y＝a（x﹣1）2﹣4，
把（﹣1，0）代入得：0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，
解得：a＝1，
所以y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，
故选：B．
2．解：把（0，0）代入y＝ax2﹣2x+a2﹣1得，0＝a2﹣1，
∴a＝±1，
∵抛物线开口向下，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x，
故选：A．
3．解：当x＝1时，y＝2；当x＝5时，y＝6；代入函数式得：，
∴a（5﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝4，
整理得：a（6﹣2h）＝1，
若h＝2，则a＝，故A错误；
若h＝4，则a＝﹣，故B错误；
若h＝6，则a＝﹣，故C正确；
若h＝8，则a＝﹣，故D错误；
故选：C．
4．解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+b＝a（x﹣1）2+b﹣a，
∴顶点（1，b﹣a）
当a＞0时，当﹣1≤x≤4时，﹣2≤y≤3，
函数有最小值，
∴b﹣a＝﹣2，
当a＜0时，当﹣1≤x≤4时，﹣2≤y≤3，
函数有最大值，
∴b﹣a＝3，
故选：D．
5．解：∵直线y＝﹣x+1与x轴交于点A，点D（n，5）在直线y＝﹣x+1上，
∴A（1，0），D（﹣4，5），
∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，
∴y＝1+1＝2，
∴C（﹣1，2），
∵C、E关于直线x＝﹣1对称，
∴E（2，5），
∵＝﹣1，
∴b＝2a，
把A（1，0）代入抛物线y＝ax2+bx+c得c＝﹣3a，
∴抛物线的解析式为：y＝ax2+2ax﹣3a
（i）若a＞0，抛物线开口向上且经过D（﹣4，5），把（﹣4，5）代入y＝ax2+2ax﹣3a求出：a＝1；
由对称性可知：当a≥1时，抛物线与折线DCE有两个交点；
（ii）若a＜0，抛物线开口向下且经过C（﹣1，2），把C（﹣1，2）代入y＝ax2+2ax﹣3a求出：a＝﹣；
由对称性可知：当a＜﹣时，抛物线与折线DCE有两个交点；
综上所述：当a≥1或a＜﹣时，抛物线与折线DCE有两个交点；
故选：D．
6．解：根据已知条件利用待定系数法可得：
y1＝﹣（x﹣）2+，
y2＝﹣（x﹣）2+，
y3＝﹣（x﹣1）2+，
y4＝﹣（x﹣1）2+7＝﹣x2+2x+6．
y4 与y轴交点为（0，6）．
∴①四条抛物线的开口方向均向下；
②当x＜0时，四条抛物线表达式中的y均随x的增大而增大；
③抛物线y1的顶点在抛物线y2顶点的下方；
④抛物线y4与y轴交点在点B的上方．
所以①②④正确．
故选：A．
7．解：抛物线的形状、开口方向与y＝x2﹣4x+3相同，所以a＝．
顶点在（﹣2，1），所以是y＝（x+2）2+1．
故选：C．
8．解：根据题意，得＝0，
解得c＝16．
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：过A作AD⊥x轴于D，过B作BE⊥x轴于E，连接AB、OC，如图：
设A（m，m2），B（n，n2），又C（x，y），
∵四边形OACB是矩形，
∴AB与OC中点重合，AB＝OC，
而AB2＝AO2+BO2＝m2+（m2）2+n2+（n2）2，
∴，
消去m、n得：+（x2﹣y）＝0，
∴（x2﹣y）（x2﹣y+2）＝0，
∴y＝x2（舍去）或y＝x2+2，
故答案为：y＝x2+2．
10．解：把（0，3）（1，6）（2，7）代入y＝ax2+bx+c中得：
，
解得：，
∴抛物线C1的解析式为：y＝﹣x2+4x+3，
故答案为：y＝﹣x2+4x+3．
11．解：设y＝ax2+bx+c，
由题意得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，
故答案为：y＝﹣x2﹣2x+3．
12．解：∵y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，
∴抛物线y＝2x2﹣4x﹣1的顶点坐标为（1，﹣3），
∵抛物线y＝ax2+bx+c与抛物线y＝2x2﹣4x﹣1的顶点重合，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣3），
∴设此抛物线为y＝a（x﹣1）2﹣3，
∵与y轴的交点的坐标为（0，1），
∴1＝a﹣3，解得a＝4，
∴此抛物线为y＝4（x﹣1）2﹣3＝4x2﹣8x+1，
故答案为：y＝4x2﹣8x+1．
13．解：∵ ABCD中，AB＝4，
∴DC＝AB＝4，
又D（0，﹣4），即OD＝4，
∴C（4，﹣4），即抛物线对称轴为直线x＝4，
∵AB＝4，
∴A（2，0），B（6，0），
∵顶点C（4，﹣4），
∴抛物线为y＝a（x﹣4）2﹣4，
把A（2，0）代入得，0＝4a﹣4，
解得a＝1，
∴抛物线的解析式是y＝（x﹣4）2﹣4；
故答案为：y＝（x﹣4）2﹣4．
14．解：过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，如图：
∵AD⊥y轴，BE⊥y轴，
∴AD∥BE，
∴△ACD∽△BCE，
∴＝＝，
∵CB＝3AC，
∴CE＝3CD，BE＝3AD，
设AD＝m，则BE＝3m，
∵A、B两点在二次函数y＝x2的图象上，
∴A（﹣m，m2），B（3m，9m2），
∴OD＝m2，OE＝9m2，
∴ED＝8m2，
而CE＝3CD，
∴CD＝2m2，OC＝3m2，
∴C（0，3m2），
∵P为CB的中点，
∴P（m，6m2），
又已知P（x，y），
∴，
∴y＝x2；
故答案为：y＝x2．
15．解：在平行四边形ABCD中，CD∥AB且CD＝AB＝4，点D的坐标是（0，8），
∴点C的坐标为（4，8），
设抛物线的对称轴与x轴相交于点H，
则AH＝BH＝2，
∴点A，B的坐标为A（2，0），B（6，0），C（4，8），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+8，
把A（2，0）代入得，0＝4a+8，
解得a＝﹣2，
∴y＝﹣2（x﹣4）2+8，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+16x﹣24，
故答案为y＝﹣2x2+16x﹣24．
16．解：将A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得，
∴y＝x2﹣x﹣2．
故答案为：y＝x2﹣x﹣2．
三．解答题（共6小题，满分48分）
17．解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+6中，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6；
当x＝0时，y＝﹣2x2+4x+6＝6，
∴点C的坐标为（0，6）；
（2）过点P作PF∥y轴，交BC于点F，如图所示，
当x＝0时，y＝﹣2x2+4x+6＝6，
∴点C的坐标为（0，6）．
设直线BC的解析式为y＝kx+c，
把B（3，0），C（0，6）代入y＝kx+c中，
得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+6．
设点P的坐标为（m，﹣2m2+4m+6），
则点F的坐标为（m，﹣2m+6），
∴PF＝﹣2m2+4m+6﹣（﹣2m+6）＝﹣2m2+6m，
∴S△PBC＝PF OB＝＝﹣3m2+9m＝﹣3（m﹣）2+，
∴当m＝时，△PBC的面积取得最大值，最大值为．
∵点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，
∴0＜m＜3．
18．解：（1）对称轴x＝﹣＝1．
故答案为1；
（2）∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，且当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，
∴当x＝4时，y的最大值为5，
∴16a﹣8a+2a＝5，
∴a＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+1；
（3）如图，
∵对称轴为直线x＝1，
∴x＝﹣1与x＝3时的y值相等，
∵x2＞3时，均满足y1＜y2，
②当a＜0时，抛物线开口向下，如图1，不成立；
②当a＞0时，抛物线开口向上，如图2，当x2取大于3的任何实数时，均满足y1＜y2，此时，x1的取值范围是：﹣1≤x1≤3；
∴由①②知：当a＞0时，抛物线开口向上．当x2取大于3的任何实数时，均满足y1＜y2，
此时，x1的取值范围是：﹣1≤x1≤3．
19．解：（1）∵直线y＝x﹣3与x轴，y轴分别交于点A，B．
∴当x＝0时，y＝﹣3，即B（0，﹣3），
当y＝0时，x＝3，即A（3，0），
又∵抛物线y＝x2+bx+c经过A，B两点，
∴将点A（3，0），B（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，
得，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵B（0，﹣3）向右平移4个单位长度得到C（4，﹣3），
由（1）知抛物线y＝x2+bx+c+m的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3+m＝（x﹣1）2+m﹣4．
∵抛物线y＝x2+bx+c+m与线段BC恰好有一个交点，
∴①当抛物线顶点在线段BC上时，即顶点为（1，﹣3），
∴m﹣4＝﹣3，
解得m＝1，
②当抛物线y＝x2+bx+c+m与y轴的交点在点B的下方时，即﹣3+m＜﹣3时，
∴m＜0，
③当抛物线y＝x2+bx+c+m与线段BC的交点是点C时，
∴将C（4，﹣3）代入y＝（x﹣1）2+m﹣4得，
﹣3＝（4﹣1）2+m﹣4，
解得：m＝﹣8，
则抛物线y＝x2+bx+c+m与线段BC恰好有一个交点时m≥﹣8，
∴抛物线y＝x2+bx+c+m与线段BC恰好有一个交点时，m的取值范围为：﹣8≤m＜0或m＝1．
20．解：（1）由题意得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+，
∵y＝﹣x2+2x+＝﹣（x﹣2）2+，
∴顶点C的坐标为（2，）；
（2）设直线AC为y＝kx+m，
把A（﹣1，0），C（2，）代入得，
解得，
∴直线AC为y＝x+，
∵A（﹣1，0），C（2，），
∴AC的中点为（，），
∵DC＝DA，
∴D是AC的垂直平分线上的点，
设AC的垂直平分线的解析式为y＝﹣x+n，
代入（，）得＝﹣×+n，
解得n＝，
∴AC的垂直平分线的解析式为y＝﹣x+，
把x＝2代入得y＝﹣+＝，
∴点D的坐标为（2，）
21．解：（1）在y＝x+3中，令x＝0，则y＝3；令y＝0，则x+3＝0，解得x＝﹣3；
∴A（﹣3，0），C（0，3），
∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A和C，且抛物线的对称轴为x＝﹣2．
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+4x+3；
（2）设过D点的直线与直线AC平行，且抛物线只有一个交点时，△ACD的面积最大．
∵直线AC为y＝x+3，
∴设过D点的直线为y＝x+b，
∴，
整理得x2+3x+3﹣b＝0，
Δ＝9﹣4（3﹣b）＝0，
解得b＝，
∴x2+3x+3﹣＝0，
解得x1＝x2＝﹣
∴把x＝﹣代入y＝x+得，y＝﹣，
∴点D的坐标为（﹣，﹣），
过点D作DH垂直于x轴交AC于H点，
∴H（﹣，），
∴PH＝﹣（﹣）＝，
∴S△ACD＝××3＝，
∴△ACD的面积最大值是．
22．解：（1）设抛物线解析式：y＝ax2+bx+c，
将点O（0，0），A（5，0），B（4，4）代入解析式，
得，
解得，
∴抛物线解析式：y＝﹣x2+5x．
（2）连接OM，MB，BA，过点M作MG⊥x轴交直线OB于点G，
如图所示：
设OB的解析式：y＝kx，
代入B（4，4），
得4k＝4，
解得k＝1，
∴OB的解析式：y＝x，
设M（m，﹣m2+5m），则G（m，m），
∴MG＝﹣m2+5m﹣m＝﹣m2+4m，
∵A（5，0），
∴OA＝5，
∴S△AOB＝＝10，
S△MOB＝，
∴S四边形OMBA＝S△AOB+S△MOB＝﹣2m2+8m+10，
当m＝﹣＝2时，S四边形OMBA最大，
此时M点坐标（2，6）．