2022-2023学年苏科版八年级数学上册2.5等腰三角形的轴对称性 知识点分类练习题(word版含答案)

2022-2023学年苏科版八年级数学上册《2.5等腰三角形的轴对称性》
知识点分类练习题（附答案）
一．等腰三角形的性质
1．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC边中点，则下列结论不正确的是（　　）
A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．∠BAD＝∠CAD D．AB＝2BC
2．如图，l1，l2与l3分别交于A，B两点，且l1∥l2，点C，D分别在l2，l3上．若BC＝BD，∠BCD＝20°，则∠1的度数为（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
3．等腰三角形的两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长是（　　）
A．20或16 B．20
C．16 D．以上答案均不对
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝110°，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，则∠FAD的度数为（　　）
A．20° B．30° C．35° D．70°
5．如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．则∠DBC的大小为　 　．
6．等腰三角形的一个角是70°，则它的一个底角的度数是（　　）
A．70° B．70°或55° C．80° D．55°
7．若等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等腰三角形顶角的度数为（　　）
A．40° B．100° C．40°或100° D．40°或70°
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC＝16cm，则BD＝　 　cm．
9．若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　）
A．9 B．7 C．12 D．9或12
二．等腰三角形的判定
10．如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON＝45°，当∠A＝　 　时，△AOP为等腰三角形．
11．已知：如图，△ABC中，BC边上有D、E两点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．
求证：△ABC是等腰三角形．
12．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，BE⊥AC于点E，∠BAD＝∠CBE．
求证：AB＝AC．
13．已知：如图，在△ABC中，∠1＝∠2，DE∥AC，求证：△ADE是等腰三角形．
三．等腰三角形的判定与性质
14．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于E．
求证：∠ACE＝∠B+∠ECD．
15．如图，D为△ABC内一点，AD⊥CD，AD平分∠CAB，且∠DCB＝∠B．如果AB＝10，AC＝6，那么CD＝　 　．
16．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．求证：E为AB的中点．
17．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AB交AC于点E，若DE＝6，CE＝5，则AC的长为（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
四．等边三角形的性质
18．如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（　　）
A．30° B．20° C．25° D．15°
19．如图，△ABC是等边三角形，BC＝BD，∠BAD＝20°，则∠BCD的度数为（　　）
A．50° B．55° C．60° D．65°
五．等边三角形的判定
20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，两线相交于F点．（1）若∠BAC＝60°，∠C＝70°，求∠AFB的大小；
（2）若D是BC的中点，∠ABE＝30°，求证：△ABC是等边三角形．
21．若一个三角形成轴对称图形，且有一个内角为60°，则这个三角形一定是（　　）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．上述三种情形都有可能
六．等边三角形的判定与性质
22．如图，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．若BE∥AC，则∠C＝　 　．
23．下列说法中，正确的是（　　）
①三个角都相等的三角形是等边三角形；
②有两个角等于60°的三角形是等边三角形；
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
24．如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）若BC＝10，求△ODE的周长．
参考答案
一．等腰三角形的性质
1．解：A．∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
故A不符合题意；
B．∵AB＝AC，点D是BC边中点，
∴AD⊥BC，
故B不符合题意；
C．∵AB＝AC，点D是BC边中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
故C不符合题意；
所以排除A，B，C，
故选：D．
2．解：∵BC＝BD，∠BCD＝20°，
∴∠BDC＝∠BCD＝20°，
∴∠2＝∠BDC+∠BCD＝40°，
∵l1∥l2，
∴∠1＝∠2＝40°，
故选：C．
3．解：①若4是腰，则另一腰也是4，底是8，但是4+4＝8，故不构成三角形，舍去．
②若4是底，则腰是8，8．
4+8＞8，符合条件．成立．
故周长为：4+8+8＝20．
故选：B．
4．解：∵AB＝AC，∠BAC＝110°，
∴∠B＝（180°﹣110°）÷2＝35°，
∵EF垂直平分AB，
∴BF＝AF，
∴∠BAF＝∠B＝35°，
∴∠AFC＝∠BAF+∠B＝70°．
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠FAD＝90°﹣∠AFD＝90°﹣70°＝20°，
故选：A．
5．解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∵MN的垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠A＝∠ABD＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．
故答案为：30°．
6．解：∵等腰三角形的一个角是70°，
∴①当顶角为70°时，那么底角为：（180°﹣70°）÷2＝55°，
②底角为70°．
故选：B．
7．解：∵等腰三角形中有一个角等于40°，
∴①若40°为顶角，则这个等腰三角形的顶角的度数为40°；
②若40°为底角，则这个等腰三角形的顶角的度数为：180°﹣40°×2＝100°．
∴这个等腰三角形的顶角的度数为：40°或100°．
故选：C．
8．解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴BD＝DC＝BC，
∵BC＝16cm，
∴BD＝8cm．
故答案为：8．
9．解：（1）若2为腰长，5为底边长，
由于2+2＜5，则三角形不存在；
（2）若5为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为5+5+2＝12．
故选：C．
二．等腰三角形的判定
10．解：若△AOP为等腰三角形则有AO＝AP、AO＝OP和OP＝AP三种情况，
①当AO＝AP时，则有∠O＝∠APO＝45°，
∴∠A＝90°；
②当AO＝OP时，则∠A＝∠APO＝＝67.5°；
③当OP＝AP时，则∠A＝∠AON＝45°，
综上可知∠A为45°或67.5°或90°，
故答案为：45°或67.5°或90°．
11．证明：∵∠B＝∠3﹣∠1，∠C＝∠4﹣∠2，
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
即△ABC是等腰三角形．
12．证明：∵在△ABC中，AD是BC边上的高线，BE⊥AC于点E，
∴∠ADB＝∠BEC＝90°．
∴∠ABC+∠BAD＝∠C+∠CBE＝90°．
又∵∠BAD＝∠CBE，
∴∠ABC＝∠C．
∴AB＝AC．
13．证明：∵DE∥AC，
∴∠ADE＝∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠ADE＝∠1，
∴EA＝ED，
即△ADE是等腰三角形．
三．等腰三角形的判定与性质
14．证明：延长CE交AB于F，
∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝∠AEF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAE＝∠CAE，
在△FAE和△CAE中
∵，
∴△FAE≌△CAE（ASA），
∴∠ACE＝∠AFC，
∵∠AFC＝∠B+∠ECD，
∴∠ACE＝∠B+∠ECD．
15．解：如图，延长CD交AB于E，
∵CD⊥AD，
∴∠ADE＝∠ADC＝90°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠EAD＝∠CAD，
∴∠AED＝∠ACD，
∴AE＝AC＝6，
∴DE＝CD，
∵AB＝10，
∴BE＝10﹣6＝4，
∵∠B＝∠BCD，
∴BE＝CE＝4，
∴CD＝CE＝2．
故答案为：2．
16．证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∵AD⊥DB，
∴∠ADB＝90°，
∴∠EAD+∠ABD＝90°，∠ADE+∠BDE＝∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴DE＝BE，
∴E为AB的中点．
17．解：∵△ABC中，AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AB，DE＝6，CE＝5，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴AE＝DE＝6，
∴AC＝AE+CE＝6+5＝11．
故选：A．
四．等边三角形的性质
18．解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD是等边△ABC的一条中线，
∴AD⊥BC，∠CAD＝∠BAC＝30°，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠ADE+∠AED+∠CAD＝180°，
∴∠ADE＝75°，
∴∠EDC＝90°﹣75°＝15°，
故选：D．
19．解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，AB＝BC，
∵BC＝BD，
∴AB＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA＝20°，
∴∠ABD＝180°﹣20°﹣20°＝140°，
∴∠CBD＝80°，
∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣80°）＝50°，
故选：A．
五．等边三角形的判定
20．（1）解：∵∠BAC＝60°，∠C＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣60°﹣70°＝50°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FBD＝∠ABC＝25°，
∵AD⊥BC，
∴∠BDF＝90°，
∴∠AFB＝∠FBD+∠BDF＝115°．
（2）证明：∵∠ABE＝30°，BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝60°，
∵BD＝DC，AD⊥BC，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形．
21．解：因为三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形，
根据有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形．
故选：C．
六．等边三角形的判定与性质
22．解：∵AE⊥BE，
∴∠E＝90°，
∵BE∥AC，
∴∠EAC＝90°，
∵AB平分∠DAE，
∴∠1＝∠2，
∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴∠1＝∠2＝∠3＝30°，
∴∠BAC＝∠1+∠3＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
故答案为：60°．
23．解：三个角都相等的三角形是等边三角形，故①正确，符合题意；
有两个角等于60°的三角形是等边三角形，故②正确，符合题意；
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故③正确，符合题意；
故选：D．
24．解：（1）△ODE是等边三角形；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°；
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，
∴△ODE为等边三角形．
（2）∵OB平分∠ABC，OD∥AB，
∴∠ABO＝∠DOB，∠ABO＝∠DBO，
∴∠DOB＝∠DBO，
∴BD＝OD；同理可证CE＝OE；
∴△ODE的周长＝BC＝10．