2022-2023学年人教版八年级数学上册13.3等腰三角形 同步达标测试（word、含解析）

2022-2023学年人教版八年级数学上册《13.3等腰三角形》同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．等腰三角形三边为a，2a﹣3，3a﹣5，则等腰三角形周长为（　　）
A．10 B．10或7 C．7或4 D．10或7或4
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD＝BC，则∠C＝（　　）
A．72° B．60° C．75° D．45°
3．关于等边三角形，下列说法中错误的是（　　）
A．等边三角形中，各边都相等
B．等边三角形是特殊的等腰三角形
C．三个角都等于60°的三角形是等边三角形
D．有一个角为60°的等腰三角形不是等边三角形
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD为∠ABC的平分线，DE∥AB，EF∥BD，则图中等腰三角形共有（　　）
A．7个 B．8个 C．5个 D．4个
5．如图，D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，若AB＝AC，AD＝AE，则（　　）
A．当∠β为定值时，∠CDE为定值
B．当∠α为定值时，∠CDE为定值
C．当∠γ为定值时，∠CDE为定值
D．∠CDE的值与∠α，∠β，∠γ的值无关
6．如图，△ABC的面积为1.5cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积
为（　　）
A．1cm2 B．0.75cm2 C．0.5cm2 D．0.25cm2
7．如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接FG，则下列结论：①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④CF＝CG．其中正确结论的个数（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BO、CO相交于点O，OE∥AB，OF∥AC，△OEF的周长＝10，则BC的长为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．14
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．已知等腰三角形△ABC的一个外角等于130°，则底角为　 　．
10．如图，在△ABC中，D，E分别在边CB和BC的延长线上，BD＝BA，CE＝CA，若∠BAC＝50°，则∠DAE＝　 　．
11．已知一个等腰三角形，其中一条腰上的高与另一条腰的夹角为25°，则该等腰三角形的顶角为　 　．
12．等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是　 　．
13．如图，∠BOC＝60°，A是BO的延长线上一点，OA＝12cm，动点P从点A出发，沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，若点P、Q同时出发，当△OPQ是等腰三角形时，移动的时间是 　 　．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC中点，若BC＝5，AD＝4，则图中阴影部分的面积为　 　．
15．如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MN∥BC．若AB＝7，AC＝6，那么△AMN的周长是　 　．
16．在等边△ABC中，E是∠B的平分线上一点，∠AEB＝105°，点P在△ABC的边上，若AE＝EP，则∠AEP的度数为 　 　．
三．解答题（共5小题，满分40分）
17．用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果底边长是腰长的一半，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边长是6cm的等腰三角形吗？为什么？
18．如图，C是BE上一点，D是AC的中点，且AB＝AC，DE＝DB，∠A＝60°，△ABC的周长是18cm．求∠E的度数及CE的长度．
19．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE＝CD，AD与BE相交于点F．
（1）线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论．
（2）求∠BFD的度数．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．
（1）求证：DE＝CE．
（2）若∠CDE＝35°，求∠A的度数．
21．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数；
（3）若AE＝8，△CBD的周长为24，求△ABC的周长．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：①当a是底边时，则腰长为：2a﹣3，3a﹣5，
∵三角形为等腰三角形
∴2a﹣3＝3a﹣5，
∴a＝2，
∴2a﹣3＝1，3a﹣5＝1，
∵1+1＝2，
∴构不成三角形；
②当2a﹣3是底边时，则腰长为：a，3a﹣5，
∵三角形为等腰三角形
∴a＝3a﹣5，
∴a＝，
∴2a﹣3＝2，
∴等腰三角形的周长＝7；
③当3a﹣5是底边时，则腰长为：a，2a﹣3，
∵三角形为等腰三角形
∴a＝2a﹣3，
∴a＝3，
∴2a﹣3＝3，3a﹣5＝4，
∴等腰三角形的周长＝10，
故选：B．
2．解：∵在△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C即∠1+∠2＝∠C，
∵AD＝BD＝BC，
∴∠1＝∠A，∠C＝∠BDC，
∵∠BDC是△ABD的外角，
∴∠A+∠1＝∠BDC，即∠A+∠1＝∠C，
∴∠1＝∠2＝∠A，
∴∠C＝∠ABC＝2∠A，
设∠A＝x，则∠C＝∠ABC＝2x，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴5∠A＝180°，
解得∠A＝36°，
∴∠C＝2×36°＝72°．
故选：A．
3．解：A、等边三角形中，各边都相等，此选项正确；
B、等边三角形是特殊的等腰三角形，此选项正确；
C、三个角都等于60°的三角形是等边三角形，此选项正确；
D、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，此选项错误；
故选：D．
4．解：∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
∵∠A＝36°，
∴∠C＝∠ABC＝＝＝72°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠2＝＝36°，
∴∠ABD＝∠A＝36°，
∴AD＝BD，
∴△ABD是等腰三角形；
∵DE∥AB，
∴∠1＝∠ABD＝∠2＝36°，
∴△BDE是等腰三角形；
∵DE∥AB，
∴∠3＝∠A＝36°，
∴∠1+∠3＝72°，
∴∠C＝180°﹣∠2﹣（∠1+∠3）＝180°﹣36°﹣72°＝72°，
∴BD＝BC，
∴△BDC是等腰三角形；
∵EF∥BD，
∴∠6＝∠1＝36°，
∴∠3＝∠6＝36°，
∴DF＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
∵EF∥DE，
∴∠4＝∠1+∠3＝72°，
∵∠C＝72°，
∴∠5＝180°﹣∠C﹣∠4＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
∴△CEF是等腰三角形；
∵∠C＝72°，∠5+∠6＝72°，
∴CD＝DE，
∴△CDE是等腰三角形．
故图中的等腰三角形有：△ABC，△ABD，△BDC，△DEC，△BDE，△DEF，△EFC共7个．
故选：A．
5．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
又∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B+∠α，∠AED＝∠C+∠CDE，
∴∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD＝∠B+∠α，
即∠C+∠CDE+∠CDE＝∠B+∠α，
∴2∠CDE＝∠α，
∴∠CDE＝∠α．
即当∠α为定值时，∠CDE为定值，
故选：B．
6．解：延长AP交BC于E，
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，
∴∠ABP＝∠EBP，
在△ABP与△BEP中，
∵，
∴△ABP≌△BEP，
∴S△ABP＝S△BEP，AP＝PE，
∴△APC和△CPE等底同高，
∴S△APC＝S△PCE，
∴S△PBC＝S△PBE+S△PCE＝S△ABC＝×1.5＝0.75cm2．
故选：B．
7．解：∵△ABC和△DCE均是等边三角形，
∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠ACD+∠ECD，∠ACD＝60°，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE＝BD，（①正确）
∠CBD＝∠CAE，
∵∠BCA＝∠ACG＝60°，AC＝BC，
∴△BCF≌△ACG（ASA），
∴AG＝BF，（②正确）
同理：△DFC≌△EGC（ASA），
∴CF＝CG，
∴△CFG是等边三角形，
∴CF＝CG
∴∠CFG＝∠FCB＝60°，
∴FG∥BE，（③④正确）
所以结论①②③④正确，
故选：D．
8．解：∵OB，OC分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠ABO＝∠EBO，∠ACO＝∠FCO，
∵OE∥AB，OF∥AC，
∴∠ABO＝∠BOE，∠ACO＝∠COF，
∴∠EBO＝∠BOE，∠FCO＝∠COF，
∴BE＝OE，OF＝FC，
∴BC＝BE+EF+FC＝OF+OE+EF，
∵△OEF的周长＝10，
∴OF+OE+EF＝10
∴BC＝10．
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：∵等腰三角形的一个外角为130°，
∴与这个外角相邻的角的度数为50°，
∴当50°角是顶角时，其底角为65°；
当50°角是底角时，底角为50°．
故答案为：50°或65°．
10．解：∵AB＝BD，AC＝CE，
∴∠BAD＝∠BDA，∠E＝∠CAE，
设∠BAD＝∠BDA＝x，∠E＝∠CAE＝y，
∴∠ABC＝∠BAD+∠BDA＝2x，∠ACB＝∠E+∠CAE＝2y，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴2x+2y+50°＝180°，
∴x+y＝65°，
∴∠DAE＝∠DAB+∠CAE+∠BAC＝65°+50°＝115°．
故答案为：115°．
11．解：①如图，等腰三角形为锐角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD＝25°，
∴∠A＝65°，
即顶角的度数为65°．
②如图，等腰三角形为钝角三角形，
∵BD⊥AC，∠DBA＝25°，
∴∠BAD＝65°，
∴∠BAC＝115°．
故答案为65°或115°．
12．解：∵4+4＝8＜9，0＜4＜9+9＝18
∴腰的不应为4，而应为9
∴等腰三角形的周长＝4+9+9＝22
故填：22．
13．解：当PO＝QO时，△POQ是等腰三角形；
如图1所示：
∵PO＝AO﹣AP＝12﹣2t，OQ＝1t
∴当PO＝QO时，
12﹣2t＝t
解得t＝4；
当PO＝QO时，△POQ是等腰三角形；
如图2所示：
∵PO＝AP﹣AO＝2t﹣12，OQ＝t；
∴当PO＝QO时，2t﹣12＝t；
解得t＝12；
故答案为：4s或12s．
14．解：∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵点D是BC中点，
∴AD⊥BC，
∴△ABD、△ACD关于AD对称，△BEF与△CEF关于AD对称，
∴S△DFB＝S△DFC，S△EBF＝S△ECF，S△BE＝S△ACE，
∴S阴＝S△ABC＝×BC×AD＝××5×4＝5．
故答案为5．
15．解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，
∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，
∴MO＝MB，NO＝NC，
∵AB＝7，AC＝6，
∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AB+AC＝6+7＝13．
故答案为：13．
16．解：根据题意作出图形，如图所示，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝30°，
∵∠AEB＝105°，
∴∠BAE＝45°．
当AE＝EP且点P在边AB上时，
∴∠EAB＝∠APE＝45°，
∴∠AEP＝90°；
当AE＝EP′且点P′在边BC上时，连接CE，
∵BD垂直平分AC，
∴AE＝AC，
∴∠EAD＝∠ECD＝15°，
∴∠EP′C＝∠ECD＝45°，
∴∠BEP′＝∠BEP＝15°．
∴AEP′＝120°．
故答案为：90°或120°．
三．解答题（共5小题，满分40分）
17．解：（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，则
2x+2x+x＝20
解得，x＝4
∴2x＝8
∴各边长为：8cm，8cm，4cm．
（2）①当6cm为底时，腰长＝7cm；
②当6cm为腰时，底边＝8cm；
故能构成有一边长为6cm的等腰三角形，另两边长为7cm或8cm．
18．解：∵AB＝CD，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°
∵△ABC的周长为18cm，
∴AB＝AC＝BC＝×18＝6cm．
∵D为AC的中点，
∴CD＝AC＝×6＝3cm．
∵BA＝BC，D为AC的中点，
∴∠CBD＝∠ABC＝×60°＝30°．
∵DE＝DB
∴∠DBC＝∠E＝30°
∵∠ACB＝∠E+∠CDE
∴∠CDE＝60°﹣30°＝30°
∴∠CDE＝∠E
∴CE＝CD＝3cm
19．（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠C＝60°，AB＝CA．
在△ABE和△CAD中，
∴△ABE≌△CAD
∴AD＝BE．
（2）解：∵∠BFD＝∠ABE+∠BAD，
又∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE＝∠CAD．
∴∠BFD＝∠CAD+∠BAD＝∠BAC＝60°．
20．（1）证明：∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠BCD＝∠ECD．
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴DE＝CE．
（2）解：∵∠ECD＝∠EDC＝35°，
∴∠ACB＝2∠ECD＝70°．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
21．解：（1）证明：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴DB＝DA，
∴△ABD是等腰三角形；
（2）∵△ABD是等腰三角形，∠A＝36°，
∴∠ABD＝∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）÷2＝72°
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝72°﹣36°＝36°；
（3）∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，AE＝8，
∴AB＝2AE＝16，
∵△CBD的周长为24，
∴AC+BC＝24，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝16+24＝40．