2022-2023学年人教版数学八年级上册13.3等腰三角形 解答题专题提升训练（word、含答案）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年人教版数学八年级上册13.3等腰三角形 解答题专题提升训练（word、含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 377.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-22 18:03:39 | ||
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文档简介
2022-2023学年人教版八年级数学上册《13.3等腰三角形》解答题专题提升训练（附答案）
1．等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
2．已知，如图，在△ABC中，过点A作AD平分∠BAC，交BC于点F，过点C作CD⊥AD，垂足为D，在AC上取一点E，使DE＝CE，求证：DE∥AB．
3．如图，∠ABC的平分线BF与∠ACG的平分线CF相交于点F，过点F作DE∥BC交AC于E，若BD＝8，DE＝3，求CE的长．
4．如图，△ABC中AB＝AC，BD和CD分别平分△ABC的内角∠CBA和外角∠ECA，BD交AC于F，连接AD．
（1）求证：AD平分∠GAC；
（2）求证：AD∥BC．
5．如图所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F．
（1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数；
（2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD＝∠B．
6．如图，△ABC为等边三角形，P为BC上一点，△APQ为等边三角形．
（1）求证：AB∥CQ．
（2）是否存在点P使得AQ⊥CQ？若存在，指出P的位置；若不存在，说明理由．
7．如图，AD是∠BAC平分线，点E在AB上，且AE＝AC，EF∥BC交AC于点F，AD与CE交于点G，与EF交于点H．
（1）证明：AD垂直平分CE；
（2）若∠BCE＝40°，求∠EHD的度数．
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M，AD平分∠MAC，交BC于点D，AM交BE于点G．
（1）求证：∠BAM＝∠C；
（2）判断直线BE与线段AD之间的关系，并说明理由．
9．如图，已知BD平分∠ABC，AB＝AD，DE⊥AB，垂足为E．
（1）求证：AD∥BC；
（2）①若DE＝6cm，求点D到BC的距离；
②当∠ABD＝35°，∠DAC＝2∠ABD时，求∠BAC的度数．
10．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE∥AC交AB于E，过E作EF⊥AD，垂足为H，并交BC延长线于F．
（1）求证：AE＝ED；
（2）请猜想∠B与∠CAF的大小关系，并证明你的结论．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，直线DE垂直平分AB，若∠A＝40°，则
（1）求∠DBC的度数；
（2）若AB＝12，BC＝7，求△BCD的周长．
12．已知，在△ABC中，AC＝BC，分别过A，B点作互相平行的直线AM、BN，过点C的直线分别交直线AM、BN于点D、E．
（1）如图1，若AM⊥AB，求证：CD＝CE；
（2）如图2，∠ABC＝∠DEB＝60°，求证：AD+DC＝BE．
13．如图所示，已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？
（2）M、N同时运动几秒后，可得等边三角形AMN？
（3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间？
14．如图，三角形是等边三角形，P是△ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．
（1）若BQ＝2，求PE的长．
（2）试判断△EFP的形状，并说明理由．
15．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，点D、E分别在AB、AC上，∠BCD＝∠CBE＝30°，BE、CD相交于点O，OG⊥BC于点G，求证：OE+OD＝2OG．
16．如图，已知△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AM平分∠BAC，D为AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝BC．
（1）求ME的长；
（2）求证：△DMC是等腰三角形．
17．如图1，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D．
（1）求证：△BCD为等腰三角形；
（2）若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，如图2，求证：BD+AD＝AB+BE；
（3）若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？直接写出正确的结论．
18．如图（1），点P是等腰三角形ABC底边BC上的一动点，过点P作BC的垂线，交直线AB于点Q，交CA的延长线于点R．
（1）试猜想线段AR与AQ的长度之间存在怎样的数量关系？并证明你的猜想．
（2）如图（2），如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，其它条件不变，问（1）中所得的结论还成立吗？（直接写“成立”或“不成立”即可，不需证明）
19．在△ABC中，AB＝AC．
（1）如图1，如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝
（2）如图2，如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝
（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：
（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．
20．在等边△ABC中，点D、E（不与点A、B、C重合）分别是边AC、AB上的点，点P是平面内一动点，设∠PDC＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠a．
（1）若点P在边BC上运动（不与点B和点C重合），如图（1）所示．则∠1+∠2的值．（可用含∠α的代数式表示）
（2）若点P在△ABC的外部，如图2所示．则∠1、∠2、∠α之间有何关系？写出你的结论，并说明理由．
（3）若点P在边BC的延长线上运动时，请在图3、图4中分别画出相应的图形，并直接写出∠1、∠2、∠α之间的关系式，但不要求证明．
参考答案
1．解：△APQ为等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC．
在△ABP与△ACQ中，
∵，
∴△ABP≌△ACQ（SAS）．
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ．
∵∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ+∠PAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形．
2．证明：∵CD⊥AD，
∴∠DAC+∠ACD＝∠ADE+∠EDC＝90°，
∵DE＝CE，
∴∠EDC＝∠ACD，
∴∠DAC＝∠ADE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴DE∥AB．
3．解：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，
∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，
∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，
∴BD＝FD，EF＝CE，
∴BD﹣CE＝FD﹣EF＝DE，
∴EF＝DF﹣DE＝BD﹣DE＝8﹣3＝5，
∴EC＝5．
故答案为5．
4．（1）证明：过点D作DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，垂足分别为点N、K、M．
∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，
∴DM＝DN＝DK，
∴AD平分∠GAC，∠ABD＝∠DBC，
∴∠GAD＝∠DAC，
∴AD平分∠GAC．
（2）证明：∵∠GAC＝∠ABC+∠ACB，∠GAD＝∠DAC，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠GAD＝∠ABC，
∴AD∥BC．
5．解：（1）∵∠AFD＝155°，
∴∠DFC＝25°，
∵DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠FDC＝∠AED＝90°，
在Rt△FDC中，
∴∠C＝90°﹣25°＝65°，
∵AB＝BC，
∴∠C＝∠A＝65°，
∴∠EDF＝360°﹣65°﹣155°﹣90°＝50°．
（2）连接BF
∵AB＝BC，且点F是AC的中点，
∴BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF＝∠ABC，
∴∠CFD+∠BFD＝90°，
∠CBF+∠BFD＝90°，
∴∠CFD＝∠CBF，
∴∠CFD＝∠B．
6．（1）证明：∵△ABC和△APQ都是等边三角形，
∴AB＝AC，AP＝AQ，∠BAC＝∠PAQ＝60°，
∴∠BAC﹣∠PAC＝∠PAQ﹣∠PAC，
∴∠BAP＝∠CAQ，
在△ABP和△ACQ中
，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴∠ACQ＝∠B＝∠BAC＝60°，
∴AB∥CQ；
（2）存在点P使得AQ⊥CQ，当P为BC中点时符合，理由是：
∵由（1）知，△ABP≌△ACQ，
∴∠ACB＝∠AQP＝∠ACQ＝∠B＝∠BAC＝60°，BP＝CQ，
∵P为BC中点，
∴PC＝BP＝CQ，
∴∠CQP＝∠QPC＝（180°﹣∠PCQ）＝×（180°﹣60°﹣60°）＝30°，
∵△APQ是等边三角形，
∴∠AQP＝60°，
∴∠AQC＝60°+30°＝90°，
∴AQ⊥QC，
即存在点P使得AQ⊥CQ，当P为BC中点时符合．
7．（1）证明：∵AE＝AC，AD是∠BAC平分线，
∴AD垂直平分CE；
（2）解：由（1）可知点D为CE垂直平分线上的点，
∴CD＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC．
∵EF∥BC，
∴∠DCE＝∠CEF＝∠DEC，
∴EG平分∠DEF．
∵EG⊥AD，
∴△DEH是等腰三角形，且ED＝EH，
∴∠EDH＝∠EHD，
∵∠BCE＝40°，
∴∠DEH＝2∠BCE＝80°，
∴∠EHD＝（180°﹣80°）＝50°．
8．解：（1）∵AM⊥BC，
∴∠ABC+∠BAM＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠C＝90°，
∴∠BAM＝∠C；
（2）BE垂直平分AD，
理由：
∵AD平分∠MAC，
∴∠3＝∠4，
∵∠BAD＝∠BAM+∠3，
∠ADB＝∠C+∠4，
∠BAM＝∠C，
∴∠BAD＝∠ADB，
∴△BAD是等腰三角形，
又∵∠1＝∠2，
∴BE垂直平分AD．
9．（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC
又∵AB＝AD
∴∠ADB＝∠ABD
∴∠ADB＝∠DBC，
∴AD∥BC；
（2）解：①作DF⊥BC于F．
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF＝DE＝6（cm），
②∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD＝70°，
∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAC＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
10．证明：（1）∵DE∥AC，
∴∠EDA＝∠DAC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠DAC，
∴∠EAD＝∠EDA∴AE＝ED；
（2）∠B＝∠CAF，
证明：∵AE＝ED，EF⊥AD，
∴EF是AD的垂直平分线，
∴FA＝FD，
∴∠FAD＝∠FDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠FDA＝∠B+∠BAD，∠FAD＝∠FAC+∠CAD，
∴∠B＝∠CAF．
11．解：（1）∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣40°）＝70°，
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠BD＝70°﹣40°＝30°；
（2）∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴△BDC的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC，
∵AC＝12，BC＝7，
∴△BDC的周长＝12+7＝19．
12．证明：（1）如图1，延长AC交BN于点F，
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA，
又∵AB⊥AM，
∴∠BAM＝90°，
又∵AM∥BN，
∴∠BAM+∠ABN＝180°，
∴∠ABN＝90°，
∴∠BAF+∠AFB＝90°，∠ABC+∠CBF＝90°，
∴∠CBF＝∠AFB，
∴BC＝CF，
∴AC＝FC，
又∵AM∥BN，
∴∠DAF＝∠AFB，
在△ADC和△FEC中，
，
∴△ADC≌△FEC（ASA），
∴DC＝EC；
（2）如图2，在EB上截取EH＝EC，连CH，
∵AC＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵∠DEB＝60°，
∴△CHE是等边三角形，
∴∠CHE＝60°，∠HCE＝60°，
∴∠BHC＝120°，
∵AM∥BN，
∴∠ADC+∠BEC＝180°，
∴∠ADC＝120°，
∴∠DAC+∠DCA＝60°，
又∵∠DCA+∠ACB+∠BCH+∠HCE＝180°，
∴∠DCA+∠BCH＝60°，
∴∠DAC＝∠BCH，
在△DAC与△HCB中，
，
∴△DAC≌△HCB（AAS），
∴AD＝CH，DC＝BH，
又∵CH＝CE＝HE，
∴BE＝BH+HE＝DC+AD．
13．解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x×1+10＝2x，
解得：x＝10；
（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形AMN，如图①，
AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝10﹣2t，
∵△AMN是等边三角形，
∴t＝10﹣2t，
解得t＝，
∴点M、N运动秒后，可得到等边三角形AMN．
（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知10秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝y﹣10，NB＝30﹣2y，CM＝NB，
y﹣10＝30﹣2y，
解得：y＝．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰△AMN，此时M、N运动的时间为秒．
14．解：（1）∵△ABC是等边三角形，BP是∠ABC的平分线，
∴∠EBP＝30°，
∵PE⊥AB于点E，
∴∠BEP＝90°，
∴PE＝BP，
∵QF为线段BP的垂直平分线，
∴BP＝2BQ，
∵BQ＝2，
∴BP＝4，
∴PE＝2．
（2）结论：△EFP是直角三角形．
理由：连接PF，EF．
∵BA＝BC，BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，
∴∠ABP＝∠CBD＝30°，
∵PE⊥AB，
∴∠PEB＝90°，
∴∠BPE＝60°，
∵FQ垂直平分线段BP，
∴FB＝FP，
∴∠FBQ＝∠FPQ＝30°，
∴∠EPF＝∠EPB+∠BPF＝90°，
∴△EFP是直角三角形．
15．证明：延长OE至点M，使OM＝OC，连接CM，
∵∠BCD＝∠CBE＝30°，
∴OB＝OC，∠MOC＝30°+30°＝60°，
∵OM＝OC，
∴△OMC为等边三角形，
∴CM＝OC＝OB，∠M＝60°，
∴∠DBO＝∠MCE，
在△BOD和△CME中，
，
∴△BOD≌△MCE，
∴DO＝EM，
∴OE+OD＝OM＝OB，
在Rt△OBG中，∠OBG＝30°，OG⊥BC，
∴2OG＝OB，
∴OE+OD＝2OG．
16．（1）解：∵AB＝AC，AM平分∠BAC，
∴BM＝CM＝BC＝CE＝3，
∴ME＝MC+CE＝3+3＝6；
（2）证明：∵AB＝AC，AM平分∠BAC，
∴AM⊥BC，
∵D为AC中点，
∴DM＝DC，
∴△DMC是等腰三角形．
17．证明：（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝70°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABD＝35°，
∴∠DBC＝∠ACB＝35°，
∴△BCD为等腰三角形；
（2）证法一：如图2，在AC上截取AH＝AB，连接EH，
由（1）得：△BCD为等腰三角形，
∴BD＝CD，
∴BD+AD＝CD+AD＝AC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAB＝∠EAH，
∴△ABE≌△AHE（SAS），
∴BE＝EH，∠AHE＝∠ABE＝70°，
∴∠HEC＝∠AHE﹣∠ACB＝35°，
∴EH＝HC，
∴AB+BE＝AH+HC＝AC，
∴BD+AD＝AB+BE；
证法二：如图3，在AB的延长线上取AF＝AC，连接EF，
由（1）得：△BCD为等腰三角形，且BD＝CD，
∴BD+AD＝CD+AD＝AC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAF＝∠EAC，
∴△AEF≌△AEC（SAS），
∴∠F＝∠C＝35°，
∴BF＝BE，
∴AB+BE＝AB+BF＝AF，
∴BD+AD＝AB+BE；
（3）探究（2）中的结论不成立，正确结论：BD+AD＝BE﹣AB，理由是：
如图4，在BE上截取BF＝AB，连接AF，
∵∠ABC＝70°，
∴∠AFB＝∠BAF＝35°，
∵∠BAC＝75°，
∴∠HAB＝105°，
∵AE平分∠HAB，
∴∠EAB＝∠HAB＝52.5°，
∴∠EAF＝52.5°﹣35°＝17.5°＝∠AEF＝17.5°，
∴AF＝EF，
∵∠AFC＝∠C＝35°，
∴AF＝AC＝EF，
∴BE﹣AB＝BE﹣BF＝EF＝AC＝AD+CD＝AD+BD．
18．（1）解：AR＝AQ．
理由如下：∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵PR⊥BC，
∴∠B+∠BQP＝90°，
∠C+∠PRC＝90°，
∴∠BQP＝∠PRC，
∵∠BQP＝∠AQR（对顶角相等），
∴∠AQR＝∠PRC，
∴AR＝AQ；
（2）AR＝AQ依然成立．
理由如下：∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠ABC＝∠PBQ（对顶角相等），
∴∠C＝∠PBQ，
∵PR⊥BC，
∴∠R+∠C＝90°，
∠Q+∠PBQ＝90°，
∴∠Q＝∠R，
∴AR＝AQ．
19．解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAD＝30°，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝75°，
∴∠EDC＝15°．
（2）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAD＝40°，
∴∠BAD＝∠CAD＝40°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝70°，
∴∠EDC＝20°．
（3）∠BAD＝2∠EDC（或∠EDC＝∠BAD）
（4）仍成立，理由如下
∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，
∴∠BAD+∠B＝∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠AED+∠EDC＝（∠EDC+∠C）+∠EDC
＝2∠EDC+∠C
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C
∴∠BAD＝2∠EDC．
故分别填15°，20°，∠EDC＝∠BAD
20．解：（1）如图（1），∵∠1+∠2+∠ADP+∠AEP＝360°，∠A+α+∠ADP+∠AEP＝360°，
∴∠1+∠2＝∠A+α，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠1+∠2＝60°+α．
故答案是：60°+α；
（2）∠α＝∠1﹣∠2+60°．理由如下：
如图（2），设AC与PE交于点F，
∵∠1为△PFD的外角，
∴∠1＝∠α+∠PFD．
∵∠2为△AEF的外角，
∴∠2＝∠A+∠AFE
∵∠A＝60°，∠AFE＝∠PFD
∴∠2＝60°+∠PFD
∴∠1﹣∠2＝∠α﹣60°
∴∠α＝∠1﹣∠2+60°；
（3）如图（3）时：∠α＝∠2﹣∠1﹣60°；
如图（4）时：∠α＝∠1﹣∠2+60°．
1．等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
2．已知，如图，在△ABC中，过点A作AD平分∠BAC，交BC于点F，过点C作CD⊥AD，垂足为D，在AC上取一点E，使DE＝CE，求证：DE∥AB．
3．如图，∠ABC的平分线BF与∠ACG的平分线CF相交于点F，过点F作DE∥BC交AC于E，若BD＝8，DE＝3，求CE的长．
4．如图，△ABC中AB＝AC，BD和CD分别平分△ABC的内角∠CBA和外角∠ECA，BD交AC于F，连接AD．
（1）求证：AD平分∠GAC；
（2）求证：AD∥BC．
5．如图所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F．
（1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数；
（2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD＝∠B．
6．如图，△ABC为等边三角形，P为BC上一点，△APQ为等边三角形．
（1）求证：AB∥CQ．
（2）是否存在点P使得AQ⊥CQ？若存在，指出P的位置；若不存在，说明理由．
7．如图，AD是∠BAC平分线，点E在AB上，且AE＝AC，EF∥BC交AC于点F，AD与CE交于点G，与EF交于点H．
（1）证明：AD垂直平分CE；
（2）若∠BCE＝40°，求∠EHD的度数．
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M，AD平分∠MAC，交BC于点D，AM交BE于点G．
（1）求证：∠BAM＝∠C；
（2）判断直线BE与线段AD之间的关系，并说明理由．
9．如图，已知BD平分∠ABC，AB＝AD，DE⊥AB，垂足为E．
（1）求证：AD∥BC；
（2）①若DE＝6cm，求点D到BC的距离；
②当∠ABD＝35°，∠DAC＝2∠ABD时，求∠BAC的度数．
10．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE∥AC交AB于E，过E作EF⊥AD，垂足为H，并交BC延长线于F．
（1）求证：AE＝ED；
（2）请猜想∠B与∠CAF的大小关系，并证明你的结论．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，直线DE垂直平分AB，若∠A＝40°，则
（1）求∠DBC的度数；
（2）若AB＝12，BC＝7，求△BCD的周长．
12．已知，在△ABC中，AC＝BC，分别过A，B点作互相平行的直线AM、BN，过点C的直线分别交直线AM、BN于点D、E．
（1）如图1，若AM⊥AB，求证：CD＝CE；
（2）如图2，∠ABC＝∠DEB＝60°，求证：AD+DC＝BE．
13．如图所示，已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？
（2）M、N同时运动几秒后，可得等边三角形AMN？
（3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间？
14．如图，三角形是等边三角形，P是△ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．
（1）若BQ＝2，求PE的长．
（2）试判断△EFP的形状，并说明理由．
15．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，点D、E分别在AB、AC上，∠BCD＝∠CBE＝30°，BE、CD相交于点O，OG⊥BC于点G，求证：OE+OD＝2OG．
16．如图，已知△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AM平分∠BAC，D为AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝BC．
（1）求ME的长；
（2）求证：△DMC是等腰三角形．
17．如图1，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D．
（1）求证：△BCD为等腰三角形；
（2）若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，如图2，求证：BD+AD＝AB+BE；
（3）若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？直接写出正确的结论．
18．如图（1），点P是等腰三角形ABC底边BC上的一动点，过点P作BC的垂线，交直线AB于点Q，交CA的延长线于点R．
（1）试猜想线段AR与AQ的长度之间存在怎样的数量关系？并证明你的猜想．
（2）如图（2），如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，其它条件不变，问（1）中所得的结论还成立吗？（直接写“成立”或“不成立”即可，不需证明）
19．在△ABC中，AB＝AC．
（1）如图1，如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝
（2）如图2，如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝
（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：
（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．
20．在等边△ABC中，点D、E（不与点A、B、C重合）分别是边AC、AB上的点，点P是平面内一动点，设∠PDC＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠a．
（1）若点P在边BC上运动（不与点B和点C重合），如图（1）所示．则∠1+∠2的值．（可用含∠α的代数式表示）
（2）若点P在△ABC的外部，如图2所示．则∠1、∠2、∠α之间有何关系？写出你的结论，并说明理由．
（3）若点P在边BC的延长线上运动时，请在图3、图4中分别画出相应的图形，并直接写出∠1、∠2、∠α之间的关系式，但不要求证明．
参考答案
1．解：△APQ为等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC．
在△ABP与△ACQ中，
∵，
∴△ABP≌△ACQ（SAS）．
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ．
∵∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ+∠PAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形．
2．证明：∵CD⊥AD，
∴∠DAC+∠ACD＝∠ADE+∠EDC＝90°，
∵DE＝CE，
∴∠EDC＝∠ACD，
∴∠DAC＝∠ADE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴DE∥AB．
3．解：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，
∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，
∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，
∴BD＝FD，EF＝CE，
∴BD﹣CE＝FD﹣EF＝DE，
∴EF＝DF﹣DE＝BD﹣DE＝8﹣3＝5，
∴EC＝5．
故答案为5．
4．（1）证明：过点D作DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，垂足分别为点N、K、M．
∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，
∴DM＝DN＝DK，
∴AD平分∠GAC，∠ABD＝∠DBC，
∴∠GAD＝∠DAC，
∴AD平分∠GAC．
（2）证明：∵∠GAC＝∠ABC+∠ACB，∠GAD＝∠DAC，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠GAD＝∠ABC，
∴AD∥BC．
5．解：（1）∵∠AFD＝155°，
∴∠DFC＝25°，
∵DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠FDC＝∠AED＝90°，
在Rt△FDC中，
∴∠C＝90°﹣25°＝65°，
∵AB＝BC，
∴∠C＝∠A＝65°，
∴∠EDF＝360°﹣65°﹣155°﹣90°＝50°．
（2）连接BF
∵AB＝BC，且点F是AC的中点，
∴BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF＝∠ABC，
∴∠CFD+∠BFD＝90°，
∠CBF+∠BFD＝90°，
∴∠CFD＝∠CBF，
∴∠CFD＝∠B．
6．（1）证明：∵△ABC和△APQ都是等边三角形，
∴AB＝AC，AP＝AQ，∠BAC＝∠PAQ＝60°，
∴∠BAC﹣∠PAC＝∠PAQ﹣∠PAC，
∴∠BAP＝∠CAQ，
在△ABP和△ACQ中
，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴∠ACQ＝∠B＝∠BAC＝60°，
∴AB∥CQ；
（2）存在点P使得AQ⊥CQ，当P为BC中点时符合，理由是：
∵由（1）知，△ABP≌△ACQ，
∴∠ACB＝∠AQP＝∠ACQ＝∠B＝∠BAC＝60°，BP＝CQ，
∵P为BC中点，
∴PC＝BP＝CQ，
∴∠CQP＝∠QPC＝（180°﹣∠PCQ）＝×（180°﹣60°﹣60°）＝30°，
∵△APQ是等边三角形，
∴∠AQP＝60°，
∴∠AQC＝60°+30°＝90°，
∴AQ⊥QC，
即存在点P使得AQ⊥CQ，当P为BC中点时符合．
7．（1）证明：∵AE＝AC，AD是∠BAC平分线，
∴AD垂直平分CE；
（2）解：由（1）可知点D为CE垂直平分线上的点，
∴CD＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC．
∵EF∥BC，
∴∠DCE＝∠CEF＝∠DEC，
∴EG平分∠DEF．
∵EG⊥AD，
∴△DEH是等腰三角形，且ED＝EH，
∴∠EDH＝∠EHD，
∵∠BCE＝40°，
∴∠DEH＝2∠BCE＝80°，
∴∠EHD＝（180°﹣80°）＝50°．
8．解：（1）∵AM⊥BC，
∴∠ABC+∠BAM＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠C＝90°，
∴∠BAM＝∠C；
（2）BE垂直平分AD，
理由：
∵AD平分∠MAC，
∴∠3＝∠4，
∵∠BAD＝∠BAM+∠3，
∠ADB＝∠C+∠4，
∠BAM＝∠C，
∴∠BAD＝∠ADB，
∴△BAD是等腰三角形，
又∵∠1＝∠2，
∴BE垂直平分AD．
9．（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC
又∵AB＝AD
∴∠ADB＝∠ABD
∴∠ADB＝∠DBC，
∴AD∥BC；
（2）解：①作DF⊥BC于F．
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF＝DE＝6（cm），
②∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD＝70°，
∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAC＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
10．证明：（1）∵DE∥AC，
∴∠EDA＝∠DAC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠DAC，
∴∠EAD＝∠EDA∴AE＝ED；
（2）∠B＝∠CAF，
证明：∵AE＝ED，EF⊥AD，
∴EF是AD的垂直平分线，
∴FA＝FD，
∴∠FAD＝∠FDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠FDA＝∠B+∠BAD，∠FAD＝∠FAC+∠CAD，
∴∠B＝∠CAF．
11．解：（1）∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣40°）＝70°，
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠BD＝70°﹣40°＝30°；
（2）∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴△BDC的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC，
∵AC＝12，BC＝7，
∴△BDC的周长＝12+7＝19．
12．证明：（1）如图1，延长AC交BN于点F，
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA，
又∵AB⊥AM，
∴∠BAM＝90°，
又∵AM∥BN，
∴∠BAM+∠ABN＝180°，
∴∠ABN＝90°，
∴∠BAF+∠AFB＝90°，∠ABC+∠CBF＝90°，
∴∠CBF＝∠AFB，
∴BC＝CF，
∴AC＝FC，
又∵AM∥BN，
∴∠DAF＝∠AFB，
在△ADC和△FEC中，
，
∴△ADC≌△FEC（ASA），
∴DC＝EC；
（2）如图2，在EB上截取EH＝EC，连CH，
∵AC＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵∠DEB＝60°，
∴△CHE是等边三角形，
∴∠CHE＝60°，∠HCE＝60°，
∴∠BHC＝120°，
∵AM∥BN，
∴∠ADC+∠BEC＝180°，
∴∠ADC＝120°，
∴∠DAC+∠DCA＝60°，
又∵∠DCA+∠ACB+∠BCH+∠HCE＝180°，
∴∠DCA+∠BCH＝60°，
∴∠DAC＝∠BCH，
在△DAC与△HCB中，
，
∴△DAC≌△HCB（AAS），
∴AD＝CH，DC＝BH，
又∵CH＝CE＝HE，
∴BE＝BH+HE＝DC+AD．
13．解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x×1+10＝2x，
解得：x＝10；
（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形AMN，如图①，
AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝10﹣2t，
∵△AMN是等边三角形，
∴t＝10﹣2t，
解得t＝，
∴点M、N运动秒后，可得到等边三角形AMN．
（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知10秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝y﹣10，NB＝30﹣2y，CM＝NB，
y﹣10＝30﹣2y，
解得：y＝．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰△AMN，此时M、N运动的时间为秒．
14．解：（1）∵△ABC是等边三角形，BP是∠ABC的平分线，
∴∠EBP＝30°，
∵PE⊥AB于点E，
∴∠BEP＝90°，
∴PE＝BP，
∵QF为线段BP的垂直平分线，
∴BP＝2BQ，
∵BQ＝2，
∴BP＝4，
∴PE＝2．
（2）结论：△EFP是直角三角形．
理由：连接PF，EF．
∵BA＝BC，BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，
∴∠ABP＝∠CBD＝30°，
∵PE⊥AB，
∴∠PEB＝90°，
∴∠BPE＝60°，
∵FQ垂直平分线段BP，
∴FB＝FP，
∴∠FBQ＝∠FPQ＝30°，
∴∠EPF＝∠EPB+∠BPF＝90°，
∴△EFP是直角三角形．
15．证明：延长OE至点M，使OM＝OC，连接CM，
∵∠BCD＝∠CBE＝30°，
∴OB＝OC，∠MOC＝30°+30°＝60°，
∵OM＝OC，
∴△OMC为等边三角形，
∴CM＝OC＝OB，∠M＝60°，
∴∠DBO＝∠MCE，
在△BOD和△CME中，
，
∴△BOD≌△MCE，
∴DO＝EM，
∴OE+OD＝OM＝OB，
在Rt△OBG中，∠OBG＝30°，OG⊥BC，
∴2OG＝OB，
∴OE+OD＝2OG．
16．（1）解：∵AB＝AC，AM平分∠BAC，
∴BM＝CM＝BC＝CE＝3，
∴ME＝MC+CE＝3+3＝6；
（2）证明：∵AB＝AC，AM平分∠BAC，
∴AM⊥BC，
∵D为AC中点，
∴DM＝DC，
∴△DMC是等腰三角形．
17．证明：（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝70°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABD＝35°，
∴∠DBC＝∠ACB＝35°，
∴△BCD为等腰三角形；
（2）证法一：如图2，在AC上截取AH＝AB，连接EH，
由（1）得：△BCD为等腰三角形，
∴BD＝CD，
∴BD+AD＝CD+AD＝AC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAB＝∠EAH，
∴△ABE≌△AHE（SAS），
∴BE＝EH，∠AHE＝∠ABE＝70°，
∴∠HEC＝∠AHE﹣∠ACB＝35°，
∴EH＝HC，
∴AB+BE＝AH+HC＝AC，
∴BD+AD＝AB+BE；
证法二：如图3，在AB的延长线上取AF＝AC，连接EF，
由（1）得：△BCD为等腰三角形，且BD＝CD，
∴BD+AD＝CD+AD＝AC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAF＝∠EAC，
∴△AEF≌△AEC（SAS），
∴∠F＝∠C＝35°，
∴BF＝BE，
∴AB+BE＝AB+BF＝AF，
∴BD+AD＝AB+BE；
（3）探究（2）中的结论不成立，正确结论：BD+AD＝BE﹣AB，理由是：
如图4，在BE上截取BF＝AB，连接AF，
∵∠ABC＝70°，
∴∠AFB＝∠BAF＝35°，
∵∠BAC＝75°，
∴∠HAB＝105°，
∵AE平分∠HAB，
∴∠EAB＝∠HAB＝52.5°，
∴∠EAF＝52.5°﹣35°＝17.5°＝∠AEF＝17.5°，
∴AF＝EF，
∵∠AFC＝∠C＝35°，
∴AF＝AC＝EF，
∴BE﹣AB＝BE﹣BF＝EF＝AC＝AD+CD＝AD+BD．
18．（1）解：AR＝AQ．
理由如下：∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵PR⊥BC，
∴∠B+∠BQP＝90°，
∠C+∠PRC＝90°，
∴∠BQP＝∠PRC，
∵∠BQP＝∠AQR（对顶角相等），
∴∠AQR＝∠PRC，
∴AR＝AQ；
（2）AR＝AQ依然成立．
理由如下：∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠ABC＝∠PBQ（对顶角相等），
∴∠C＝∠PBQ，
∵PR⊥BC，
∴∠R+∠C＝90°，
∠Q+∠PBQ＝90°，
∴∠Q＝∠R，
∴AR＝AQ．
19．解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAD＝30°，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝75°，
∴∠EDC＝15°．
（2）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAD＝40°，
∴∠BAD＝∠CAD＝40°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝70°，
∴∠EDC＝20°．
（3）∠BAD＝2∠EDC（或∠EDC＝∠BAD）
（4）仍成立，理由如下
∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，
∴∠BAD+∠B＝∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠AED+∠EDC＝（∠EDC+∠C）+∠EDC
＝2∠EDC+∠C
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C
∴∠BAD＝2∠EDC．
故分别填15°，20°，∠EDC＝∠BAD
20．解：（1）如图（1），∵∠1+∠2+∠ADP+∠AEP＝360°，∠A+α+∠ADP+∠AEP＝360°，
∴∠1+∠2＝∠A+α，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠1+∠2＝60°+α．
故答案是：60°+α；
（2）∠α＝∠1﹣∠2+60°．理由如下：
如图（2），设AC与PE交于点F，
∵∠1为△PFD的外角，
∴∠1＝∠α+∠PFD．
∵∠2为△AEF的外角，
∴∠2＝∠A+∠AFE
∵∠A＝60°，∠AFE＝∠PFD
∴∠2＝60°+∠PFD
∴∠1﹣∠2＝∠α﹣60°
∴∠α＝∠1﹣∠2+60°；
（3）如图（3）时：∠α＝∠2﹣∠1﹣60°；
如图（4）时：∠α＝∠1﹣∠2+60°．