2022—2023学年人教版数学九年级上册24.4 弧长和扇形面积 同步练习（word、含解析）

24.4 弧长和扇形面积（同步练习）
一、单选题
1．如图，⊙的半径为6，圆周角，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．在⊙O中，∠AOB=120°，弧AB的长为，则⊙O的半径是（ ）
A．6 B．8 C．12 D．24
3．如图，正六边形ABCDEF的边长是a，分别以C、F为圆心，a为半径画弧，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，阴影表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，若，且，则的长为（　　　）
A．6 B．7 C．8 D．10
5．如图，⊙O是正△ABC的外接圆，△DOE是顶角为120°的等腰三角形，点O与圆心重合，点D，E分别在圆弧上，若⊙O的半径是6，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B．9 C． D． 9
6．如图，是的直径，半径的垂直平分线交于，两点，，．则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，半圆O的直径AE=4，点B，C，D均在半圆上，若AB=BC，CD=DE，连接OB，OD，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．π B．2π C．8 D．11
8．若圆锥的底面半径长是5，母线长是13，则该圆锥的侧面面积是（ ）
A．60 B．60π C．65 D．65π
9．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，以A为圆心，AD为半径的圆与BC相切于点M，与AB相交于点E，若AD=2，BC=6，则扇形DAE的面积为（ ）
A．π B．π C．3π D．π
10．如图，以为直径的半圆绕点，逆时针旋转，点旋转到点的位置，已知，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6π B．5π C．4π D．3π
二、填空题
11．已知圆锥的高为8 cm，母线长为10 cm，则该圆锥侧面展开的扇形的圆心角为_________°．
12．如图，是由一个大圆和四个相同的小圆组成的图案，若大圆的半径为2，则阴影部分的面积为______．
13．若某个圆锥的侧面积为，其侧面展开图的圆心角为45°，则该圆锥的底面半径为____cm．
14．如图，在矩形中，已知，矩形在直线上绕其右下角的顶点向右旋转至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转至图②位置，···，以此类推，这样连续旋转次后，顶点在整个旋转过程中所经过的路程之和是_______．
15．已知底面半径为4cm，母线长为12cm的圆锥，则它的侧面展开图的圆心角为______
三、解答题
16．如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，OC交AB于点P，交⊙O于点D，且CP＝CB．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠A＝30°，OP＝，求图中阴影部分的面积．
17．如图，C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，CD＝8cm，P是直径AB上的任意一点．
（1）求的长；
（2）求阴影部分的面积．
18．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，，DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若CE=1，AC＝4，求阴影部分的面积．
19．如图，AB是⊙O的直径，AB＝12，弦CD⊥AB于点E，∠DAB＝30°．
(1)求扇形OAC的面积；
(2)求弦CD的长．
20．如图，已知是的直径，，点、在上，平分，点在外，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长；
（3）若，求阴影部分的面积．
参考答案：
1．C
【详解】
分别连接OB、OC，如图，
∴∠BOC=2∠BAC=80°，
∴，
故选：C．
2．C
【详解】
解：由题意得：
，
解得：；
故选C．
3．C
【详解】
边长为a的等边三角形的面积为：，
则正六边形的面积，
正六边形的内角度数为120°，即∠EFA=∠DCB=120°，
则扇形FEA的面积为：，
同理，
则阴影的面积为：，
故选：C．
4．A
【详解】
解：由勾股定理得，AC2＋BC2＝AB2，
∵S1＋S2＝7，
∴×π×（）2＋×π×（）2＋×AC×BC ×π×（）2＝7，
∴AC×BC＝14，
AB＝＝＝6，
故选：A．
5．B
【详解】
解：连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于H，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠C=60°，
∴∠AOB=2∠C=120°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=30°，
∴，，
∵OH⊥AB，
∴AB=2AH=，
∴=，
故选：B
.
6．A
【详解】
解：连接OC，AD
∵∠ACD=30°，
∴∠AOD=60°，
∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∵AB⊥CD，
∴OA平分CD，
∴CE=DE=CD=，
∵CD垂直平分OA，
∴四边形ACOD是菱形，
在Rt△ACE中，AC==2，
∴阴影部分面积=扇形OAD的面积=
故选：A．
7．A
【详解】
试题分析：连接CO，因为AB=BC，CD=DE，所以∠AOB=∠BOC，∠COD=∠DOE，所以2∠BOC+2∠COD=180°，所以∠BOD=90°，因为AE=4，所以AO=2，所以图中阴影部分的面积是=π，故选A．
考点：1．扇形面积计算；2．弧、弦、圆心角定理；3．求圆心角．
8．D
【详解】
圆锥的侧面积=2π×5×13÷2=65π．
故选D．
9．A
【详解】
连接AM，作DN⊥BC于N.
∵AD为半径的圆与BC相切于点M，
∴AM⊥BC，AM=AD=2.
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴BM=CN=(BC AD)=2.
∴∠BAM=45°，
∴∠BAD=135°.
∴扇形DAE的面积=.故选A.
10．A
【详解】
如图所示．
∵以AB为直径的半圆绕A点，逆时针旋转60°，∴AB=AB′=6，∠BAB′=60°，∴图中阴影部分的面积为：S扇形B′AB==6π．
故选A．
11．108
【详解】
解：圆锥的高为8 cm，母线长为10 cm，
圆锥的底面圆的半径为cm，
则，，
，
故答案为108．
12．
【详解】
解：如图，由圆的对称性及割补法可得阴影部分的面积为大圆的面积减去正方形的面积，
大圆的半径为2，
故答案为：
13．1
【详解】
试题分析：首先根据圆锥的侧面积和圆锥的侧面展开扇形的圆心角的度数求得圆锥的母线长，然后利用弧长公式求得圆锥的底面半径即可．
设母线长为R，圆锥的侧面展开后是扇形，侧面积S=，
∴R=8cm．设圆锥的底面半径为r，
则=2π
解得：r=1cm
考点：圆锥的计算．
14．
【详解】
∵AB=4，BC=3，四边形ABCD为矩形．
∴，
根据弧长公式可得：转动第1次A的路线长为：，
转动第2次A的路线长为：，
转动第3次A的路线长为：，
转动第4次A不动，路线长为，
转动第5次A的路线长为：，
…
由此可知每4次为一个循环，
∴顶点A转动4次经过的路线长为，
∵，
∴连续旋转2021次后路线长为．
故答案为：．
15．120
【详解】
解：圆锥侧面展开图的弧长是：，
设圆心角的度数是n度则，
解得：．
故答案为120．
16．（1）相切，理由见解析；（2）．
【详解】
解：（1）直线与的位置关系是相切，理由如下：
如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
又∵是的半径，
∴直线与的位置关系是相切；
（2）∵，
∴，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得：，即，
解得或（不符题意，舍去），
则图中阴影部分的面积为．
17．(1)；(2)cm2.
【详解】
解：(1)如图，连接OC、OD．
∵C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，
又∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴OC＝CD＝8，
∴的长＝＝cm；
（2）∵∠OCD＝∠AOC＝60°
∴CD∥AB，
∴S△ACD＝S△OCD，
∴S阴影＝S扇形OCD＝＝．
故答案为(1)；(2)cm2.
18．（1）证明过程见解析；（2）相切，理由见解析；（3）
【详解】
（1）证明：∵，
∴∠BAD=∠ACD，
∵∠DCE=∠BAD，
∴∠ACD=∠DCE，
即CD平分∠ACE；
（2）解：直线ED与⊙O相切．理由如下：
连结OD，如图，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
而∠OCD=∠DCE，
∴∠DCE=∠ODC，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；
（3）解：作OH⊥BC于H，则四边形ODEH为矩形，
∴OD=EH，
∵CE=1，AC=4，
∴OC=OD=2，
∴CH=HE-CE=2-1=1，
在Rt△OHC中，∠HOC=30°，
∴∠COD=60°，
∴阴影部分的面积=S扇形OCD-S△OCD
．
19．（1）12π；（2）.
【详解】
（1）∵弦CD⊥AB，
∴，
∴∠CAB＝∠DAB＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴∠AOC＝120°，
∴扇形OAC的面积＝＝12π；
（2）由圆周角定理得，∠COE＝2∠CAB＝60°，
∴CE＝OC×sin∠COE＝3，
∵弦CD⊥AB，
∴CD＝2CE＝6．
20．（1）证明见解析；（2）；（3）．
【详解】
解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B+∠BAC=90°．
∵∠B=∠D，∠EAC=∠D，∴∠EAC=∠B，∴∠EAC+∠BAC=90°，即∠BAE=90°，∴AE是⊙O的切线；
（2）连接BD．
∵DC平分∠ACB，∴AD=BD．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴△ADB是等腰直角三角形，∴∠ABD=45°．
∵AD2+BD2=AB2，AB=10，∴AD=5．在Rt△ABC中，AC===8．
∵∠ACD=∠ABD=45°，∴AD2=AC2+DC2﹣2AC DCcos45°，即（5）2=82+DC2﹣8DC，∴DC=7．
（3）连接OC，作OF⊥AC，∴OF垂直平分AC．
∵OA=OB，∴OF=BC=．
∵∠D=60°，∴∠AOC=120°，∠ABC=60°，∴AC=AB=5，∴S阴影=S扇形﹣S△AOC=﹣×5×=﹣．