三角形的边和角讲与练
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三角形的边和角讲与练
一、知识纵横
三角形是最基本的图形之一，是研究其它复杂图形的基础，三角形的三边相互制约，三个内角之和为定值（180°），边与角之间有密切的联系(如大角对大边、大边对大角等)，三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论等，在线段、角度的计算等方面有广泛的应用．
熟悉以下基本图形、并能证明基本结论：
(1) ∠l＋∠2=∠3+∠4；
(2) 若BD、CE分别为∠ABC、∠ACB的平分线，则∠BOC=90°+∠A；
(3) 若BD、CE分别为AC、AB边上的高，则∠l=∠2；
(4) 若AD为BC边上的中线，则S△ABD=S△ACD=S△ABC．
中线、角平分线、高是三角形中的重要线段，它们的差别在于高随着三角形形状的不同，可能在三角内部、边上或外部．
二、例题与练习
1．已知等腰三角形两边长为7和3，则它的周长为 ．
2．如果三角形的两边长为2和9，且周长为奇数，那么满足条件的三角形共有 个．
3．如图，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1＋∠2＝_______．
4．如图，相交于点，，，则的度数是 ．
5．如图，直线∥，则∠A的度数是 ．
6．已知DE∥BC，CD是∠ACB的角平分线，∠B=80°，∠ACB=50°，求∠EDC与∠BDC.
7．在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.
8.如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠B=45°,AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数.
9．已知：如图，∠B=40°，∠C=60°，AD、AF分别是△ABC的角平分线和高，求∠BAC、∠DAF.
10．如图，已知△ABC中，∠1=27°，∠2=85°，∠3=38°,求∠4的度数.
11．如图，在△ABC中，∠B=40°，∠BCD=100°，EC平分∠ACB，求∠A与∠ACE的度数.
12.将一副直角三角尺如图放置，已知，则的度数是 ．
13．如图，在中，平分且与BC相交于点，∠B = 40°，∠BAD = 30°，求的度数．
14．如图，和是分别沿着边翻折形成的，若，则的度数是 ．
15．已知、是的高，直线、相交所成的角中有一个角为，求∠BAC的度数.
16．已知：在△ABC 中，∠B=30°，AD是BC边上的高，AC与AD的夹角为15°，求∠BAC的度数.
17．已知线段，．
已知线段垂直于线段．设图（1）、图（2）和图（3）中的四边形的面积分别为，和，则＝ ，＝ ，＝ ；
如图（4），对于线段与线段垂直相交（垂足不与点、、、重合）的任意情形，请你就四边形面积的大小提出猜想，并证明你的猜想；
当线段与（或）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点、、、、所围成的封闭图形的面积是多少？
18．在如图－1至图－3中，的面积为．
（1）如图－1，延长的边到点，使，连结．若的面积为，则（用含的代数式表示）；
（2）如图－2，延长的边到点，延长边到点，使，，连结．若的面积为，则（用含的代数式表示），并写出理由；
（3）在图－2的基础上延长到点，使，连结，，得到（如图12－3）．若阴影部分的面积为，则（用含的代数式表示）．
发现
像上面那样，将各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到（如图－3），此时，称向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的的面积是原来面积的 倍．
应用
去年在面积为的空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把向外进行两次扩展，第一次由扩展成，第二次由扩展成（如图－4）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少？
一、知识纵横
三角形是最基本的图形之一，是研究其它复杂图形的基础，三角形的三边相互制约，三个内角之和为定值（180°），边与角之间有密切的联系(如大角对大边、大边对大角等)，三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论等，在线段、角度的计算等方面有广泛的应用．
熟悉以下基本图形、并能证明基本结论：
(1) ∠l＋∠2=∠3+∠4；
(2) 若BD、CE分别为∠ABC、∠ACB的平分线，则∠BOC=90°+∠A；
(3) 若BD、CE分别为AC、AB边上的高，则∠l=∠2；
(4) 若AD为BC边上的中线，则S△ABD=S△ACD=S△ABC．
中线、角平分线、高是三角形中的重要线段，它们的差别在于高随着三角形形状的不同，可能在三角内部、边上或外部．
二、例题与练习
1．已知等腰三角形两边长为7和3，则它的周长为 ．
2．如果三角形的两边长为2和9，且周长为奇数，那么满足条件的三角形共有 个．
3．如图，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1＋∠2＝_______．
4．如图，相交于点，，，则的度数是 ．
5．如图，直线∥，则∠A的度数是 ．
6．已知DE∥BC，CD是∠ACB的角平分线，∠B=80°，∠ACB=50°，求∠EDC与∠BDC.
7．在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.
8.如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠B=45°,AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数.
9．已知：如图，∠B=40°，∠C=60°，AD、AF分别是△ABC的角平分线和高，求∠BAC、∠DAF.
10．如图，已知△ABC中，∠1=27°，∠2=85°，∠3=38°,求∠4的度数.
11．如图，在△ABC中，∠B=40°，∠BCD=100°，EC平分∠ACB，求∠A与∠ACE的度数.
12.将一副直角三角尺如图放置，已知，则的度数是 ．
13．如图，在中，平分且与BC相交于点，∠B = 40°，∠BAD = 30°，求的度数．
14．如图，和是分别沿着边翻折形成的，若，则的度数是 ．
15．已知、是的高，直线、相交所成的角中有一个角为，求∠BAC的度数.
16．已知：在△ABC 中，∠B=30°，AD是BC边上的高，AC与AD的夹角为15°，求∠BAC的度数.
17．已知线段，．
已知线段垂直于线段．设图（1）、图（2）和图（3）中的四边形的面积分别为，和，则＝ ，＝ ，＝ ；
如图（4），对于线段与线段垂直相交（垂足不与点、、、重合）的任意情形，请你就四边形面积的大小提出猜想，并证明你的猜想；
当线段与（或）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点、、、、所围成的封闭图形的面积是多少？
18．在如图－1至图－3中，的面积为．
（1）如图－1，延长的边到点，使，连结．若的面积为，则（用含的代数式表示）；
（2）如图－2，延长的边到点，延长边到点，使，，连结．若的面积为，则（用含的代数式表示），并写出理由；
（3）在图－2的基础上延长到点，使，连结，，得到（如图12－3）．若阴影部分的面积为，则（用含的代数式表示）．
发现
像上面那样，将各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到（如图－3），此时，称向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的的面积是原来面积的 倍．
应用
去年在面积为的空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把向外进行两次扩展，第一次由扩展成，第二次由扩展成（如图－4）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少？