课件22张PPT。等比数列一、温故知新：1、等差数列定义：
2、等差数列单调性：
an－an－１=d(d为常数)d>0单调递增
d<0单调递减
d=0常数列用什么方法如推出的呢？图像怎样？要点扫描：本节课主要学习
①等比数列的定义：“从第2项起，后项与前一项比为常数”。
②通项公式： an = a1 qn-1
及推导 5, 25, 125 ,625, ……2, 4, 8, 16, ……,它们有什么共同特点 ?特点 : 从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数.观察数列 从第2项起,每一项与它前一项的比等于5.从第2项起,每一项与它前一项的比等于2从第2项起,每一项与它前一项的比等于-- 从第2项起,每一项与它前一项的比等于1/3 二、引入新课：1.等比数列定义:
如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数,那么,这个数列就叫做等比数列.
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q 不等于0）。
数学语言：an : an-1 = q
(q是常数且不为0,n≥2，n∈N*）
记忆问：数列a, a, a, a, …(a∈R)是否为等比数列？
如果是,a必须满足什么条件？(1) a＝0; 它只是等差数列。
(2) a≠0; 它既是等差数列又是等比数列。判断以下数列是不是等比数列：
（1） 1 ，3 ，9 ，27 ，…… ；
（2） 2 ，2 ，2 ，2 ，…… ；
（3） 0 ，0 ，0 ，0 ，…… ；
（4） 2 ，3 ，9 ，27 ，……；思考： 1 等比数列中的项能否为零 ？ 2 等比数列的公比能否为零 ？ 3 常数列一定是等比数列吗 ？判断以下数列是不是等比数列：
（1） 1 ，3 ，9 ，27 ，…… ；
（2） 2 ，2 ，2 ，2 ，…… ；
（3） 0 ，0 ，0 ，0 ，…… ；
（4） 2 ，3 ，9 ，27 ，……；是是不是不是注：对定义的认识1.等比数列的首项不为0, 即a1≠0。
2.等比数列的每一项都不为0，即an≠0。
3.公比不为0，即q≠0。在等比数列{an}中 ，首项为a1 ，公比为q，那么数列中的各项能不能用a1和q来表示 ？a2=a1qa3=a2q= a1q2a4=a3q= a1q3……………………a10=a1q9猜想：an=a1qn-1当n=1时，上式也成立等比数列的通项公式 ：an=a1qn-1a2 : a1 = q
a3 : a2 = q
a4 : a3 = q
……
an-1 : an-2 = q
an : an-1 = q
这（n－1）个式子迭乘
an : a1 = qn-1a2=a1q
a3=a2q=a1q2
a4=a3q=a1q3
……
由此得到 an = a1qn-1
等比数列的通项公式 ： an = a1 qn-1 2、等比中项 观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一个等比数列：（1）1， ， 9 （2）-1， ，-4
（3）-12， ，-3 （4）1， ，1±3±2±6±1 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。递增递减常数列递增递减常数列分类：a1<0a1>0练习 ：
（1） 已知 a1=2 ，q=2 ，求a10（2） 已知 a10=2-10 ，a1= ，求q（3） 已知 a1=2 ，q= ，an=210 ，求 n（4）已知 a10=310 ，q= ， 求a1
答案：（1)a10=______ (2)q=_____
(3)n=______ (4)a1=_____
1024
319
18
例1 某农科小组培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒（保留两个有效数字）？解 ：由于每代的种子数是它的前一代种子数的120倍
所以，逐代的种子数组成一个等比数列，记为{an}，
其中 a1=120 ，q=120
所以 a5=a1q4=120×1204≈2.5×1010
答 ：到第5代大约可以得到种子2.5×1010粒。例2 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18
求它的第1项与第2项.
解：设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，则： 12=a1q2 18=a1q3
所以 a1=16/3 q=3/2 a2=8
答：这个数列的第1项与第2项分别为16/3 与8。
变式练习 ：如果已知等比数列{an}中的a3=8 ，a5=32， 求 a1与q。 结论：如果 是项数相同的等比数列，那么 也是等比数列． 证明：设数列 的公比为p， 的公比为q，那么数列 的第n项与第n+1项分别为 与 ，即 与 ．
因为
它是一个与n无关的常数，所以是一个以pq为公比的等比数列．
特别地，如果是 等比数列，c是不等于０的常数，那么数列 也是等比数列．探究 对于例４中的等比数列 与 ，数
列 也一定是等比数列吗？是知识拓展一、通项公式的推广 4、等比数列所有奇数项符号相同；
所有偶数项符号相同。二、等比数列的性质定义法:三、判断等比数列的方法中项法:三个数a,b,c成等比数列1.定义2.公比(差)3.等比(差)
中项4.通项公式5.性质
(若m+n=p+q)q不可以是0,d可以是0等比中项等差中项 等差数列 等比数列课件11张PPT。复习课-----等比数列的概念与通项知识小结1.判断数列{an}是等比数列有哪些方法?(1)an/an-1=q(n≥2,q为非零常数)(2)an=cqn (n≥1,c,q均为非零常数)(3)an2 = an-1an+1≠0(n≥2)注意：等比数列中没有“零”，即an≠02.等比数列{an}的通项公式是什么?
如何推导的？an=a1 qn-1an=am qn-m推广式:3.等比数列{an}的性质有哪些?(1).若a,b,c成等比数列，则b2 =ac(2).若m+n=p+q，则aman =apaq例题学习例1.公差不为零的等差数列{an}中，a2,a3,a6成等比数列，则公比等于( )A.1/2 B.1/3 C.2 D.3D分析: a2,a3,a6等比例题学习例2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且
Sn= ,
①求: a1,a2 ②证明{an}是等比数列分析:利用an与Sn的关系:例3.已知等比数列{an}中，若a1+a2+a3=7,
a1a2a3=8,求:an分析:利用方程组求基本量a1,q 法一:直接解出a1,a2,a3,可得q 法二:由a2=a1q,a3=a1q2,可得a1, q 法三:由a1=a2 /q,a3=a2q,可得a1, q所以,an=2n-1,或an=23-n三个数成等比数列的设法:① a1,a2,a3,
② a1,a1q,a1q2, ③ a /q,a,aq练习巩固1.判断:(1)若a,b,c是等差数列,则log2a,log2b.log2c是等比数列(2)若a,b,c是等比数列,则log2a,log2b.log2c是等差数列(3)若a,b,c是等差数列,则2a,2b,2c是等比数列(4)若a,b,c是等比数列,则2a,2b,2c是等差数列(1)(2)(4)错,(3)对4.设等比数列的各项均为正数,且a5a6=27,则log3a1+ log3a2+…+log3a10 =153.等比数列的前3项和为168,a2-a5=42, 则a5,a7的等比中项是±32.公比为整数的等比数列{an}中,a1+a4=18, a2+a3=12，那么a5+a6+a7+a8=( )A.480 B.493 C.495 D.498A5.若一个三角形的三个内角的度数成等差数列，相应的三边长成等比数列，则这个三角形是（ ）三角形.A.钝角 B.直角 C.等腰直角 D.等边D6.三个互不相等的实数成等差数列,如果适当排列这三个数,又可成为等比数列，这三个数的和为6,求这三个数.分析: 可设这三个数为a-d,a,a+d,则可求得a=2,所以这三个数为2-d,2,2+d.分别以2-d,2,2+d是等比中项进行分类讨论.求得这三个数为—4，2，87.已知四个数成等比数列,其积为1,第二项与第三项之和为-3/2,求这四个数.分析：可设这四个数分别为a1,a2,a3,a4;
或设为a,aq,aq2,aq3; 但不能设为aq-3,aq-1,aq,aq3;
这四个数分别为8,-2,1/2,-1/8或-1/8,1/2,-2,8小结:1.{an}是等比数列
2. 若a,b,c是等比数列,则 b2 = ac.
3.
4.既等差又等比的数列是非零常数数列.思考题:
数列{an}满足a1=1,且8an+1an-16an+1+2an+5=0(n≥1),
记
(1)求b1,b2,b3,b4的值;(2)求数列{bn}的通项公式.(2)由 得,代入递推关系整理得,于是,可得,课件27张PPT。数列归纳整合知识网络本章归纳整合数列的概念及表示方法
(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数．
(2)表示方法：列表法、图象法、通项公式法和递推公式法．
(3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列．
要点归纳1．等差数列、等比数列性质的对比
2．等差数列、等比数列的判断方法
(2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2?{an}是等差数列；an＋12＝an·an＋2(an≠0)?{an}是等比数列．
(3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数)?{an}是等差数列；an＝c·qn(c，q为非零常数)?{an}是等比数列．
(4)前n项和公式法：Sn＝an2＋bn(a，b为常数，n∈N*)?{an}是等差数列；Sn＝aqn－a(a，q为常数，且a≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)?{an}是等比数列．
3．专题一 数列通项公式的求法 数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中的解析式一样，有解析式便可研究函数的性质，而有了数列的通项公式，便可求出数列中的任何一项及前n项和．
常见的数列通项公式的求法有以下几种：
(1)观察归纳法求数列的通项公式
就是观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与序号n的内在联系，结合常见数列的通项公式，归纳出所求数列的通项公式．
(2)利用公式法求数列的通项公式
数列符合等差数列或等比数列的定义，求通项时，只需求出a1与d或a1与q，再代入公式an＝a1＋(n－1)d或an＝a1qn－1中即可．
(3)利用an与Sn的关系求数列的通项公式
如果给出的条件是an与Sn的关系式，可利用
(4)利用累加法、累乘法求数列的通项公式
形如：已知a1，且an＋1－an＝f(n)(f(n)是可求和数列)的形式均可用累加法；
(5)构造法(利用数列的递推公式研究数列的通项公式)
若由已知条件直接求an较难，可以通过整理变形等，从中构造出一个等差数列或等比数列，从而求出通项公式．
已知数列{an}满足an＋1＝an＋3n＋2且a1＝2，求an.
解 ∵a2－a1＝3×1＋2，
a3－a2＝3×2＋2，
a4－a3＝3×3＋2，
…
an－an－1＝3×(n－1)＋2，
以上各项相加，得
an－a1＝3[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋2(n－1)
【例1】【例2】 已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2(n∈N*)，a1＝1，求通项公式．
解 an＋1＝3an＋2可变为an＋1＋1＝3(an＋1)，
令bn＝an＋1，则bn＋1＝3bn且b1＝a1＋1＝2，
∴{bn}是以2为首项，以3为公比的等比数列．
∴bn＝2·3n－1，
∴an＝bn－1＝2·3n－1－1.
【例3】【例4】 求数列的前n项和Sn通常要掌握以下方法：
公式法：直接由等差、等比数列的求和公式求和，注
意对等比数列q≠1的讨论．
错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．
分组转化法：把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列再求和．
裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
倒序相加法：把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广)．专题二 数列求和1．2．3．4．5．【例5】【例6】求和Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn.
【例7】 数列是高中代数的重点内容之一，也是高考的必考内容及重点考查的范围，它始终处在知识的交汇点上，如数列与函数、方程、不等式等其他知识交汇进行命题．它包涵知识点多、思想丰富、综合性强，已成为近年高考的一大亮点．
专题三 数列的交汇问题
【例8】 已知单调递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且
a3＋2是a2，a4的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
∴－Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①
∴－2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，②
①－②，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1
已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋2n，数列{bn}的前
n项和Tn＝2－bn.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)设cn＝an2·bn，证明：当且仅当n≥3时，cn＋1(1)解 a1＝S1＝4.
对于n≥2，有an＝Sn－Sn－1＝2n(n＋1)－2(n－1)n＝4n.
综上{an}的通项公式an＝4n.
将n＝1代入Tn＝2－bn，得b1＝2－b1，故T1＝b1＝1.
(求bn)法一 对于n≥2，
由Tn－1＝2－bn－1，Tn＝2－bn
得bn＝Tn－Tn－1＝－(bn－bn－1)，
【例9】Tn－2＝21－n(T1－2)＝－21－n，
Tn＝2－21－n，bn＝Tn－Tn－1＝(2－21－n)－(2－22－n)＝21－n.
综上，{bn}的通项公式bn＝21－n.
(2)证明 法一 由cn＝an2·bn＝n225－n，即cn＋1法二 由cn＝an2·bn＝n225－n，得
cn＋1－cn＝24－n[(n＋1)2－2n2]＝24－n[－(n－1)2＋2]．
当且仅当n≥3时，cn＋1－cn<0，
即cn＋1命题趋势1．在最近几年高考试卷中，探索性题型在数列中考查较多，解决探索性题型应具备较高的数学思维能力，即观察、分析、归纳和猜想问题的能力，研究与分析探索性题型有利于培养创新意识和创造精神，另一方面，综合题型在数列中考查比较多，这主要是因为综合题是数列与函数、数列与不等式、数列与解析几何等知识的交汇点，具有较强的考查思维能力的功能．可以预见的是：有关数列的综合题型仍将是热点和重点之一，应用题型在最近几年试卷中也有所体现，所涉及的内容很广泛，要求学生有宽阔的知识面，能在相关知识背景中处理问题．
2．课件25张PPT。数列求和的基本方法和技巧铅山一中 江立林数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学谈谈数列求和的基本方法和技巧.
一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
1、等差数列求和公式：
2、等比数列求和公式：
3、 4、
5、
[例1] 已知 ，
求 的前n项和 由等比数列求和公式得[例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求 的最大值解：由等差数列求和公式得 ∴∴ 当 ，即n＝8时， 二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.
解：由题可知，{ }的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{ }的通项之积
设 ………………………. ② （设制错位）
①－②得 （错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：
∴
[例3] 求和 ：
………………………①[例4] 求数列 前n项的和解：由题可知，{ }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ }的通项之积设 …………………………………①………………………………② （设制错位）①－②得∴三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个 .
[例5] {理}求证：证明： 设 ………………………….. ①把①式右边倒转过来得 （反序） …………..…….. ② ∴ 将①式右边反序得 …………..② 反序） 又因为 ∴ S＝44.5四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.解：设将其每一项拆开再重新组合得（分组） [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.解：设 将其每一项拆开再重新组合得 五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： 解： ∵ ∴ 数列{bn}的前n项和 [例10] 求证： 解：设 ∴ 原等式成立 六、合并法求和 针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.[例11]] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值. 解：设Sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°∵ （找特殊性质项） ∴Sn＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）
+ （cos3°+ cos177°）+···+（cos89°+ cos91°）
+ cos90°＝ 0[例13] 在各项均为正数的等比数列中，若的值. 解：设由等比数列的性质 （找特殊性质项） （合并求和） 七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.[例14] 求之和.解：由于（找通项及特征） ∴ ＝解：∵ （找通项及特征） （设制分组） （裂项） ∴ （分组、裂项求和） 课件14张PPT。数列的实际应用洋泾中学
数学组 尹秋雅
1、熟练掌握等差数列、等比数列的有关知识
2、能灵活运用和综合应用数列的基础知识和 基本方法，解决有关实际问题（国民经济、环境保护、银行利率等方面）
3、提高学生的思维能力和分析问题、解决问题的能力 复习目标:
1、熟练掌握数列在解决实际生活中有关
问题的数学模型的建立
2、灵活运用和综合应用数列基础知识和
基本方法，解决有关实际问题。
实际问题的数学模型的建立
教学重点：教学难点：启发引导式。即在老师引导下，让学生积极思考，主动探求解决问题的方法，提高学生分析解决问题的能力。多媒体辅助教学一课时教学方法：教学手段：教学课时：教学步骤：一、复习数列的基础知识1、等差数列2、等比数列例：某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（由
一个分成两个），经过3小时后，这种细菌由一个
可以繁殖成多少个？分析:由一个细菌开始培养，第n次分裂繁殖所得细菌数
记为{an}，则数列{an}是一个首项a1=2，公比q=2
的等差数列解：第n次分裂繁殖所得细菌数 记为{an}，
则数列{an}是一个首项a1=2，公比q=2 的等差数列。
每20分钟分裂一次，3小时共分裂9次，
则 a9= 29 =512
所以可以繁殖成512个
二、数列在实际问题中的应用举例说明数列在解决实际生活中相关问题的应用，使
同学掌握数列在实际中应用的常见方法，提高学生的
学习兴趣，培养运用数学分析问题和解决问题的能力 1、国民经济方面
例： 今后5年内，如果要使我国的国民生产总 值的 年平均增长率达到8%，请问月平均增长率应为多少？ 分析:由月平均增长率,此问题可归结为等比数列
问题2、环境保护方面例：某林场现有森林木材储量为a万立方米 ，林场
每年的自然增长率为10%。该林场计划在20年后储材
量达到2a万立方米，则每年平均的采伐量最多不能超
过多少万立方米？（保留两位小数） 分析：紧扣每年的增长率相同,砍伐量相同,寻求年份
和余量的关系,设每年储材量构成数列{bn}，通过所
学数列知识来求通项公式bn,并由b20≥2a求得每年平
均砍伐量。
3、银行利率方面⑴ 存本取息例：一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学
的学费，从婴儿一出生，每年生日都到银行储蓄一笔
钱。设大学学费每年为5000元，4年共需2万元，银行
储蓄年利率为4%，每年按复利计算。为了使孩子到
18足岁上大学时本利和共有2万元，这对夫妇每年需存
多少钱？ 例：某人年初向银行贷款20万元用于购房，银行为
推动住房制度改革，贷款的年利率为5%，按复利
计算（即本年的利息计入次年的本金生息）。这笔
贷款要求分10次等额归还，每年一次，10年还清。
若从借款 后次年年初开始归还，第10次全部还清。
试问：每年需等额归还多少元？⑵ 等额还贷实际问题的解决，首先需要把实际问题转化、抽象、
提炼为数学问题，即根据所学的有关方面的数学知识，
建立相应的数学模型，然后通过转化成的新的数学问
题的解决，使得原问题得到解决。 三、归纳总结：解答数列应用题的基本步骤：1、阅读理解材料从中获取信息，并对材料作适当处理
2、建立变量关系，将实际问题转化为数列模型
3、讨论变量性质，挖掘题目条件，分清数列是等差
还是等比数列，是求an还是sn
4、利用有关公式列出方程或不等式，求出数值
课堂练习：1、某城市1990年底人口为1000万，人均住房面积为6平方米，
如果该城市每年人口的平均增长率为0.1%，为使2000年底
人均住房面积达到10平方米，该城市平均每年应新增加住房
面积多少平方米？
（精确到万平方米，必要时可使用1.015=1.05）
2、某养鱼场，统计测算第一年鱼增长率为200%，以后每年
的重量增长率都是前一年增长率的一半，
问：（1）饲养2年后，鱼的重量预计是原来的多少倍？
（2）如果因死亡等原因，每年约损失预计重量的10%，
那么经过几年后总重量开始减少？
教案说明：
应用性问题的解决，需要学生首先把这个其他数学分支的问题、其他学科的问题或生产、生活的实际问题转化为数学问题，通过转化成的新的数学问题的解决，使得原问题得到解决。数列在实际生活中的应用非常广泛，本节课选择与生活密切相关的有代表性的几类问题，解决有关增长率、降低率等问题的常见几种技巧与方法，要求学生掌握基础知识迁移和综合应用，灵活运用基本方法解决有关问题。
在教学方法上，采用通过计数器和计算机辅助教学的优越性能，拓宽学生的视野，增加学生的运算能力，培养学生的分析、抽象、归纳、应用能力。在学习方法上，让学生灵活运用和综合应用基础知识与方法，解决有关实际问题，提高学生的学习兴趣和数学素养。
课件20张PPT。2.1《数列的概念 与简单表示法》三角形数1, 3, 6, 10, .….. 正方形数1, 4, 9, 16, ……观察下列图形：提问：这些数有什么规律吗？?共同特点共同特点：1. 都是一列数；2. 都有一定的顺序1，3，6，10，···1，4，9，16，···定义：按一定顺序排列着的一列数称为数列问1：数列 ，2 ， 改为13 ，… ，35 , 2 ， ，… ，3531请问：是不是同一数列？问2:数列改为：-1，1，-1，1……1，-1，1，-1……，请问：是不是同一数列？不是不是(数列具有有序性)12数列中的每一个数叫做这个数列的项。各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，······，第n项， ······
3数列的分类(1)按项数分：项数有限的数列叫有穷数列项数无限的数列叫无穷数列(2)按项之间的大小关系：递增数列，递减数列，摆动数列，常数列。有穷数列无穷数列有穷数列无穷数列无穷数列递增数列递增数列递减数列摆动数列常数列练习：P28 观察4 数列的一般形式可以
写成：简记为 其中是数第1项第2项第3项第n项5 的第n项
与项数之间的关系可以用一个公式来表示，列的第n项。？？？ 那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。如果数列或？？例1、 写出下面数列的一个通项公式，使它的 前4项分别是下列各数： 练习：P31 1,3,4思 考 ：根据数列的前若干项写出的通项公式的形式唯一吗？请举例说明。？ 注意：①一些数列的通项公式不是唯一的②不是每一个数列都能写出它的通项公式③ 例1：设某一数列的通项公式为高一（6）班考试名次由小到大排成的一列数例2每个序号也都对应着一个数（项）序号项 从函数的观点看，
是 的函数。
y=f（x）ann函数值自变量 从映射的观点看，数列可以看作是： 到 的映射数列项
序号数列项序号 （正整数或它的有限子集）项6数列的实质序号项即，数列可以看作是一个定义域为正整数集
（ 或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数，当自变量从小到大依 次取值时对应的一列函数值。序号通项公式1234567891024681012141618200是些孤立点-17数列用图象表示时的特点——一群孤立的点 例2 ：图2.1-5中的三角形称为希尔宾斯基（Sierpinski）三角形。在下图4个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象。an
30
27
24
21
18
15
12
9
6
3
o 1 2 3 4 5 n问题：如果一个数列{an}的首项a1=1，从第二项起每一项等于它的前一项的2倍再加1，
即 an = 2 an-1 + 1（n∈N，n>1），（※）你能写出这个数列的前三项吗？像上述问题中给出数列的方法叫做递推法，其中an=2an-1+1(n>1)称为递推公式。递推公式也是数列的一种表示方法。递推公式：递推公式也是数列的一种表示方法。例3 设数列 满足 写出这个数列的前五项。练习：P31 2观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式：练习写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
本节课学习的主要内容有：1、数列的有关概念2、数列的通项公式；3、数列的实质； 4、本节课的能力要求是：(1) 会由通项公式 求数列的任一项；(2)会用观察法由数列的前几项求数列的通项公式。1.作业本:课本第33页2、4
2.《名师一号》21页自测5分钟
3.思考：课本34页B组第3题作 业课件13张PPT。2.3.2 等差数列的前n项和第一课时 一般地，我们称a1+a2+…+an为数列{an}的前n项和，
常用Sn表示，即Sn=a1+a2+…+an练习：试求下列数列的前100项和.
（1）2，2，2，2，……
（2）-1，1，-1，1，……
（3）1，2，3，4，……一、新课1. 数列前n项和:2. Sn与an的关系高斯(1777—1855） 德国著名数学家20005050问题：1+2+3+…+n=？ 1 + 2 + … + n-1 + n
n + n-1 + … + 2 + 1
(n+1) + (n+1) + … + (n+1) + (n+1)一、新课倒序相加法对公差为d的等差数列{an} ，有
Sn=a1+a2+…+an=？Sn=an+an-1+…+a12Sn=(a1+a2+…+an)+(an+an-1+…+a1)=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1)对公差为d的等差数列{an} ，有
Sn=a1+a2+…+an
Sn=an+an-1+…+a1
所以2Sn=(a1+a2+…+an)+(an+an-1+…+a1)
=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1)
=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)
=n(a1+an)一、新课倒序相加法等差数列的前n项和公式：比较以上两个公式的共同点与不同点一、新课1.若等差数列{an}满足下列条件，求前n项和Sn：
（1）a1=5，an=95，n=10；
（2）a1=100，d=-2，n=50；
（3）a1=12，a8=26，n=20；
（4）a7=8，d=3，n=15；5002550620165（5）若a8=5，你能求出S15吗？二、练习结论：等差数列{an}的前2n-1项和公式：2. 在a、b之间插入10个数，使它们同这两个数成等
差数列，求这10个数的和。5(a+b)例1. 2000年11月14日教育部颁发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》．某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网．据测算，2001年该市用于“校校通”工程的费用为500万元，为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？三、例题解：根据题意，从2001-2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元.
所以，可以建立一个等差数列{an} ，表示从2001年起各年投入的资金，其中a1=500d=50那么，到2010年(n=10),投入的资金总额为答：从2001～2010”年,该市在“校校通”工程中的总投入是7250元.解：根据题意，从2001-2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元.
所以，可以建立一个等差数列{an} ，表示从2001年起各年投入的资金，其中a1=500d=50三、例题820例2.已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项
的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前 n 项
和的公式吗？解：依题意知，S10=310，S20=1220解得 a1=4，d=6将它们代入公式三、例题练习：等差数列-10，-6，-2，…的前多少项的和为54？二、练习3.等差数列-10，-6，-2，…的前多少项的和为54？解: 设题中的等差数列为{an},
则 a1= -10 d= -6-(-10)=4.
设 Sn= 54,整理得n2-6n-27=0
∴n1=9, n2=-3(舍去）。
∴等差数列 －10，－6，－2，2， ···前9项和是54三、例题2.等差数列的前n项和公式：四、小结注：1.推导等差数列前n项和的方法“倒序相加法”
2.方程组思想的应用，“知三求一” ，“知三求二”3.等差数列{an}的前2n-1项和公式： 1. 若已知数列{an}前n项和为Sn，则该数列的通项公式
为五、作业1.书面作业：P46 习题2.3 A组 2
2.课后思考题：B组 2课件13张PPT。2.3.2 等差数列的前n项和第二课时2. 等差数列的前n项和公式： 1. 若已知数列{an}前n项和为Sn，则该数列的通项公式
为一、复习注：1.推导等差数列前n项和的方法“倒序相加法”
2.方程组思想的应用，“知三求一” ，“知三求二”3.等差数列{an}的前2n-1项和公式：二、练习1. 设Sn是等差数列{an}的前n项,且 ,则 ______12. 已知两个等差数列{an}， {ｂn}的前n项和分别为Sn 和
Tn , 且 ,求例1. 已知数列{an}的前n项和为 ，求该
数列的通项公式，这个数列是等差数列吗？如果是，
它的首项和公差分别是什么？三、例题解：∵Sn=a1+a2+…+an，Sn-1=a1+a2+…+an-1(n>1)当n=1时，①∴ a1也满足①式 ∴当n>1时，所以数列{an}的通项公式为:由此可知，数列{an}是一个首项为1.5，公差为2的
等差数列 若已知数列{an}前n项和为Sn，则该数列的
通项公式为练习：
（1）若Sn=n2-1，求an；（2）若Sn=2n2-3n，求an.注意：(1)这种做法适用于所有数列；
(2)用这种方法求通项需检验a1是否满足an.
若是，则an = Sn- Sn-1三、例题探究：
一般地，如果一个数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn+r，其中p、q、r为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，则它的首项与公差分别是什么？分析：∵当n>1时，当n=1时，a1=S1=p+q+r又∵当n=1时，a1=2p-p+q=p+q
∴当且仅当r =0时，a1满足an=2pn-p+q故只有当r=0时该数列才是等差数列，
此时首项a1=p+q，公差d=2p(p≠0)an=Sn-Sn-1
=pn2+qn+r-p(n-1)2-q(n-1)-r
=2pn-p+q三、例题数列{an}为等差数列判断以下命题是否为真命题，若为假命题请修缮一下
条件，使之成为真命题.
若数列{an}的前n项和为关于n的二次函数，则该数列为等差数列.
2.若数列{an}为等差数列，则该数列的前n项和为关于n
的二次函数.1.等差数列的前n项和公式：小结2. 若{an}成等差数列,则{ }也成等差数列例2.已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项
的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前 n 项
和的公式吗？解：依题意知，S10=310，S20=1220解得 a1=4，d=6将它们代入公式二、例题思路3. 若{an}成等差数列,则{ }也成等差数列通法三、例题仍成等差数列，且公差为n2d三、例题练习:等差数列的前n项的和为Sn，且S10=100，S100=10，则S110的值等于 ．-1102. 等差数列的前n项和公式： 1. 若已知数列{an}前n项和为Sn，则该数列的通项公式
为四、总结3. 若数列{an}为等差数列：4. 若{an}成等差数列,则{ }也成等差数列仍成等差数列，五、作业课本：P45 练习2 课件12张PPT。2.3.2 等差数列的前n项和第三课时2. 等差数列的前n项和公式： 1. 若已知数列{an}前n项和为Sn，则该数列的通项公式
为一、复习3. 若数列{an}为等差数列：4. 若{an}成等差数列,则{ }也成等差数列仍成等差数列，练习1.已知两个等差数列{an}， {ｂn}的前n项和分别 为Sn 和
Tn , 且 ,求例1.已知等差数列 的前n项和为Sn，求使得Sn最大的序号n的值.解：由题意知，a1=5，公差d=二、例题解2：∵由题意知，a1=5，公差d =解得7≤n≤8∴当n取7或8时，Sn最大二、例题例1.已知等差数列 的前n项和为Sn，求使得Sn最大的序号n的值.求等差数列{an}的前n项和Sn的最值的方法：
（1）利用Sn=An2+Bn进行配方，求二次函数的最值，
此时n应取最接近 的正整数值；
（2）利用等差数列的增减性及an的符号变化，
当a1>0，d<0时，Sn有最大值，
此时可由an≥0、an+1≤0求出n的值；
当a1<0，d>0时，Sn有最小值，
此时可由an≤0 、an+1 ≥ 0求出n的值；
注意：当数列中有数值为0时，n应有两解.小结1.在等差数列{an}中，若a2=-61，a5=-16，则该数列
的前n项和Sn何时取得最小值，最小值是多少？解：∵ a2=-61，a5=-16解得a1=-76，d=15∴an= a1 +(n-1)d=-76+15(n-1)=15n-91∴当n=6时，Sn取最小值，此时三、练习2.在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，首项a1=13，
且S3=S11，则n=_____时,Sn取得最大值。三、练习7例2. 已知等差数列{an}的前n项和Sn ,且a 2=7, S4=24 .
求数列{︱an ︱}的前n项和Tn .已知数列{an}的通项公式,求数列{︱an ︱}的前n项和Tn 二、例题4.已知正数数列{an}的前n项的和为Sn且 ．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设 ，求数列{bn}的前n项的和为Bn．三、练习求等差数列{an}的前n项和Sn的最值的方法：
（1）利用Sn=An2+Bn进行配方，求二次函数的最值，
此时n应取最接近 的正整数值；
（2）利用等差数列的增减性及an的符号变化，
当a1>0，d<0时，Sn有最大值，
此时可由an≥0、an+1≤0求出n的值；
当a1<0，d>0时，Sn有最小值，
此时可由an≤0 、an+1 ≥ 0求出n的值；
注意：当数列中有数值为0时，n应有两解.四、总结五、作业课件12张PPT。2.5.1 等比数列的前n项和第一课时1.定义：3.通项公式的变形： an=amqn-m2. 通项公式： an =a1qn-1 等 比 数 列 要 点 整 理4. 性质：若m、n、p、q ∈N*，m+n=p+q，
则am·an =ap·aq
若m、n、p、q ∈N*，m+n=2p，
则am·an =ap25.等比中项：若a，b，c成等比数列，则an2=an-1· an+1 思考：求下列各式的和二 、新课 设等比数列{an}的前n项和是Sn，已知首项为a1，公比为q，故当q≠1时，错位相减法二 、新课 思考：求下列各式的和等比数列的前n项和公式：由an=a1qn-1代入可得特别地，当q=1时，Sn=na1注意：在用上述公式时，应先证明公比q≠1的，
若无法确定，则需分情况讨论！二 、新课 例1.求下列等比数列前8项的和：三 、例题 例1.求下列等比数列前8项的和：三 、例题 四 、练习 1.根据下列各题中的条件,求出相应等比数列{an} 的前n项和Sn。2.在等比数列{an} 中，189三 、例题 例3. 三 、例题 五、小结等比数列的前n项和公式：注意：1.理解公式推导方法：“错位相减”的过程
2.在用上述公式时，应先证明公比q≠1的，
若无法确定，则需分情况讨论！六 、作业P61 A组 1
4（1）（2）课件19张PPT。复习课:等比数列兴宁一中数学组1.定义：an/an-1=q （q为常数）（n≥2）3.等比数列的通项变形公式：
an=amqn-m 2.等比数列的通项公式：an=a1qn-18.等比数列的前 项和公式:
或a1、q、n、an、Sn中
知三求二9.性质: 在等比数列｛an｝中,Sn是它的前n项和,
那么有:
Sm, S2m-Sm, S3m-S2m, 也成等比数列. n+1判断是非②n点 击③若 且 ,则c2≠1①2n新课讲授:已知是等比数列，请完成下表：例1解：?已知是等比数列，请完成下表：例2解：已知是等比数列，请完成下表：a1、q、n、an、Sn中
例3知三求二例4 求等比数列 的第5项到第10项的和.【解法1】例5. 已知等比数列｛an｝的前 m项和为10，
前 2m项和为50，求它的前 3m项的和。
解: 在等比数列｛an｝中,有:Sm, S2m-Sm, S3m-S2m, 也成等比数列.
所以,由 (S2m-Sm)2=Sm× (S3m-S2m)得:
S3m=210 求数列 的前n项的和.拓展1分组求和反思解:求和：拓展2(2)当 ，即 时原式= 例6．从盛满 升（ ）纯酒精的容器里倒出1 升，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，如此继续下去．问第 次操作后溶液的浓度是多少?若 ，至少应倒几次后才能使酒精浓度低于 ？ 分析：这是一道数学应用题．解决应用问题的关键是建立数学模型，使实际问题数学化．注意到开始浓度为1，操作一次后溶液浓度是 .操作二次后溶液浓度是 ,…，操作n次后溶液浓度是 .则不难发现，每次操作后溶液浓度构成等比数列，由此便建立了数列模型．解决数列问题，便可能达到解决实际问题之目的． 有关等比数列的应用题解：设每次操作后溶液浓度为数列 ，则问题即为求数列的通项 ．
依题意，知原浓度为1， ， ，…， ．
构成以首项 ，公比 的等比数列，
所以 ，
故第n次操作后酒精浓度是 当 时，
由 ，得 .
因此，至少应操作4次后，才能使酒精浓度低于 ．注：数学应用问题的解答步骤：
一、通过阅读，理解题意，建立数学模型；
二、通过解决数学问题，解决实际问题；
三、回答实际问题． 例7．某人年初欲向银行贷款10万元用于买房。已知有以下两种还款方式：
（Ⅰ）等额本息还款法：分10次等额归还，年利 率为4%，按复利计算，每年年初还款一次；
（Ⅱ）等额本金还款法：每年年初还本金1万元，并加付欠款的利息，年利率为5%；
请问：他用哪一种还款方式比较合算？(1) 解法1: 设每年还款m元 .
105×1.0410 = m (1+4%)9 + m (1+4%)8 + m (1+4%)7 +…… + m
= m (1.049 + 1.048 + 1.047 + … + 1.04 +1)
= 解得 m = ≈12330 (元)
即每年需还款12330元.实际房款为1233010=123300元解法2:设每年还款m元 , n年后欠款余额为an元 . 则
a1=105× (1+4%)–m
a2=[105× (1+4%)–m] (1+4%)–m=105×1.042–1.04m–m
a3=(105×1.042–1.04m–m) (1+4%)–m =105 ×1.043–1.042m–1.04m–m
……
a10=105-1.049 m -1.048 m -1.047-……-1.04 m - m
=105×1.0410- m (1.049 + 1.048 + 1.047 + … + 1.04 +1)
=105×1.0410- =105 ×1.4802 -
根据题意a10=0 解得 m = ≈12330 (元)所以,每年需还款12330元. (2)设每年交付欠款的数额顺次构成数列{an}，故
a1=104+105×0.05=15000(元)
a2=104+(105-104) ×0.05=14500(元)
a3=104+(105-104×2) ×0.05=14000(元)
a4 =104+(105-104×3) ×0.05=13500(元)
……
an =104+[105-104× (n-1)] ×0.05=15500-500n (1≤n≤10,n∈N)
∴{ an }是以15000为首项,-500为公差的等差数列.
∴10次分期付款总和为
(元)(比较两种还款法的具体情况):应选择(Ⅱ) 新人教版必修5
练习: 课本76~77. A组6~10
B组3, 7
作业: 课本P77. B组 4~6课件6张PPT。习题讲评作业讲评《习案》P.144第5题；
《习案》P.146第5题；
《习案》P.148第5题；
《习案》P.149第2题；
《习案》P.149第3题；
《习案》P.150第5题.练习1. 已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1.
求证：数列{an}是等比数列，并求出其
通项公式.练习2. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，证明：数列为等比数列.思考：设数列{an}的前n项和为Sn, 点(n∈N＋)均在函数y＝3x－2的图象上.(1)求数列{an} 的通项公式；(2)设Tn是数列{bn}的 前n项和，求Tn的值. 拓展思考：设数列{an}的前n项和为Sn, 点(n∈N＋)均在函数y＝3x－2的图象上.(1)求数列{an} 的通项公式；(2)设Tn是数列{bn}的 前n项和，求Tn的值. 作业：《习案》作业十七.拓展课件25张PPT。 数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数的解析式一样，有解析式便可研究其性质等，而有了数列的通项公式，便可以研究数列的性质及前n项和等，所以求数列的通项公式是研究数列的重中之重，现将求数列的通项公式几种常见类型及方法总结如下：求数列的通项公式几种常见类型及方法
德兴一中
汪利群一 、已知数列类型，利用公式法求数列的通项公式。二、根据前几项，利用不完全归纳法猜想数列通项公式三、根据数列前n项和求数列通项公式四、利用累差法、累商法求数列的通项公式五、构造法（利用数列的递推公式研究数列的通项公式）
求数列的通项公式几种常见类型及方法一 已知数列类型，利用公式法求数列的通项公式。已知数列为等差数列，利用等差数列通项公式
或 。
已知数列为等比数列，利用等比数列通项公式
或 。例1：已知数列 、 都是公差为1的等差数列，
、 。设 ，
则求数列 的通项公式。例2：已知等比数列 中， ，
求该数列的通项公式。二、根据前几项，利用不完全归纳法猜想数列通 项公式根据前几项写数列通项公式应掌握几种规律：一是符号规律，若各项符号为正、负相间时，则必有 或 因式；二是乘方规律，即每一项都与同一个数的乘方有密切关系；三是等差、等比规律。找规律时，要看给出的项的分子或分母有什么变化规律，可以适当变形，使它们的结构变得一致，再看和n的关系，用含有n的式子表示出来。
例3：根据前几项写出符合下列条件数列的一个通项公式。
2. 0.53，0.5353，0.535353， （逐项依次多数字53）三、根据数列前n项和求数列通项公式
，要分
n=1和n≥2两种情况来求，然后验证两种情形可否用统
一解析式表示，若不能统一，则用分段函数的形式表示。 ① ；②
例4：已知下面各数列 的前n项和 为的公式，
求 的通项公式
答案：①②（四）利用累差法、累商法求数列的通项公式形如已知 ，且
( 是可求和数列）的形式均可用累差法（迭加法）。
（五）构造法（利用数列的递推公式研究数列的通项公式）若给出条件直接求 较难，可以通过整理变形等，
从中构造出一个等差数列或等比数列，从而求出通项。
类型一：已知
（利用取倒数法，构造等差数列）。
五、构造法（利用数列的递推公式研究数列的通项公式）
类型一：已知
（利用取倒数法，构造等差数列）。
课堂小结课件24张PPT。
1．理解等差数列的概念，掌握等差数列的判定方法．
2．掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，深化认
识并能运用．
1．等差数列的判定．(难点)
2．等差数列的通项公式及运用．(重点)
第1课时 等差数列的概念及通项公式2．2 等差数列【课标要求】【核心扫描】等差数列的定义
如果一个数列从第__项起，每一项与它的_______的差等于___________，那么这个数列就叫做等差数列，这个_____叫做等差数列的_____ ，通常用字母__表示．
自学导引1．2前一项同一个常数常数公差 ：若已知数列{an}中，首项为a1，且满足an－an－1＝d(n∈N*，n≥2)或an＋1－an＝d(n∈N*)，则数列{an}为等差数列，正确吗？
提示：正确．上述式子是等差数列定义的符号表示．
d等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列中，__叫做a与b的等差中项．这三个数满足关系式a＋b＝___.
等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则等差数列的通项公式为an＝____________.
2．3．A2Aa1＋(n－1)d ：推导等差数列的通项公式，除了课本上的归纳法外，还有哪些方法．
提示：法一 (累加法)
∵{an}为等差数列，
∴an－an－1＝d，an－1－an－2＝d，an－2－an－3＝d，…，
a2－a1＝d.
以上各式两边分别相加，得an－a1＝(n－1)d，
∴an＝a1＋(n－1)d.
法二 (迭代法)
∵{an}是等差数列，
∴an＝an－1＋d＝an－2＋d＋d＝an－2＋2d＝an－3＋3d＝…＝a1＋(n－1)d，
∴an＝a1＋(n－1)d.
法三 (逐差法)
∵{an}是等差数列，
∴an＝an－an－1＋an－1，an－1＝an－1－an－2＋an－2，an－2＝an－2－an－3＋an－3，…，a2＝a2－a1＋a1，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(n－1)d＋a1，
∴an＝a1＋(n－1)d.
等差数列定义的理解
(1)注意定义中“从第2项起”这一前提条件的两层含义，其一，第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合；其二，定义中包括首项这一基本量，且必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差．
(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．
(3)注意定义中的“同一常数”这一要求，否则这个数列不能称为等差数列．
名师点睛1．等差中项的理解
(2)等差中项的概念变形给出了判断一个数列是否为等差数列的方式，如若an，an＋1，an＋2满足2an＋1＝an＋an＋2，则数列{an}为等差数列，这是因为2an＋1＝an＋an＋2等价于an＋1－an＝an＋2－an＋1，显然满足等差数列的定义．
(3)在等差数列中，除首末两项外，任何一项都是前后两项的等差中项．
2．等差数列的通项公式
(1)确定a1和d是确定通项的一般方法．
(2)由方程思想，根据an，a1，n，d中任何三个量可求解另一个量，即知三求一．
(3)通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)，可把an看作自变量为n的一次函数．
3．题型一 等差数列的通项公式及应用 已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？
[思路探索] 本题主要考查等差数列的通项公式及等差数列的基本运算．
【例1】∵数列{an}是递减等差数列，∴d<0.
故取a1＝11，d＝－5.
∴an＝11＋(n－1)·(－5)＝－5n＋16.
即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16.
令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10.
∴－34是数列{an}的第10项．
在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，
d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，求a10.
解 设数列{an}的首项为a1，公差为d，由题意知：
∴an＝19＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21.
∴a10＝－2×10＋21＝1.
【变式1】 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．
[思路探索] 由a1＝－1及a5＝7，可使用通项公式求得公差d，再利用通项公式分别求得a，b，c；也可利用等差中项先求得b，再依次使用等差中项求得a，c.
解 法一 设a1＝－1，a5＝7.
∴7＝－1＋(5－1)d?d＝2.
∴所求的数列为－1,1,3,5,7.
法二 ∵－1，a，b，c,7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项．
题型二 等差中项及其应用【例2】 在等差数列{an}中，由定义有an＋1－an＝ 若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．
解 由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.
又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.
两式相加，得m＋n＝6.
【变式2】 (1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
审题指导
题型三 等差数列的判定与证明【例3】【题后反思】 判断一个数列是否是等差数列的常用方法有：
(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)?{an}是等差数列；
(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差数列；
(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)?{an}是等差数列．
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．
判断下列数列是否为等差数列：
(1)an＝3－2n；
(2)an＝n2－n.
解 对任意n∈N*，
(1)∵an＋1－an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2，是同一常数，
∴数列{an}是等差数列．
(2)∵an＋1－an＝(n＋1)2－(n＋1)－(n2－n)＝2n，不是同一常数，
∴数列{an}不是等差数列．
【变式3】 若数列{an}的通项公式为an＝10＋lg 2n，试说明数列{an}为等差数列．
[错解] 因为an＝10＋lg 2n＝10＋nlg 2，
所以a1＝10＋lg 2，a2＝10＋2lg 2，a3＝10＋3lg 2，…，
所以a2－a1＝lg 2，a3－a2＝lg 2，…，
故数列{an}为等差数列．
误区警示 对等差数列的定义理解不透彻【示例】 证明一个数列为等差数列，以特殊代替一般，用验证几个特例作为证明是不正确的，必须用定义或与定义等价的命题来证明．
[正解] 因为an＝10＋lg 2n＝10＋nlg 2，
所以an＋1－an＝[10＋(n＋1)lg 2]－(10＋nlg 2)＝lg 2(n∈N*)．
所以数列{an}为等差数列．
要说明一个数列为等差数列，必须说明从第二项起所有的项与其前一项之差为同一常数，即an－an－1＝d(n≥2)恒成立，而不能只验证有限个相邻两项之差相等．单击此处进入 活页规范训练课件25张PPT。【课标要求】
1．进一步了解等差数列的项与序号之间的规律．
2．理解等差数列的性质．
3．掌握等差数列的性质及其应用．
【核心扫描】
1．等差数列的性质及证明．(重点)
2．运用等差数列定义及性质解题．(难点)
第2课时 等差数列的性质及其应用等差数列的项与序号的关系
自学导引1．(n－m)dam＋an ：在等差数列{an}中，如果m＋n＝2w(m，n，w∈N＋)，那么am＋an＝2aw是否成立？反过来呢？
提示：若m＋n＝2w(m，n，w∈N＋)，则
am＋an＝[a1＋(m－1)d]＋[a1＋(n－1)d]
＝2[a1＋(w－1)d]＝2aw，显然成立；
在等差数列{an}中，若am＋an＝2aw，
不一定有m＋n＝2w，如常数列．
等差数列的性质
(1)等差数列的项的对称性
在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和．即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝……
(2)若{an}、{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
(3){an}的公差为d，则d>0?{an}为递增数列；d<0?{an}为递减数列；d＝0?{an}为常数列．
2．等差数列的公差与斜率的关系
当k＝0时，对于常数函数f(x)＝b，上式仍然成立．
(2)等差数列{an}的公差本质上是相应直线的斜率．
如am，an是等差数列{an}的任意两项，由an＝am＋(n－m)d，
名师点睛1．等差数列的“子数列”的性质
若数列{an}是公差为d的等差数列，则
(1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列；
(2)奇数项数列{a2n－1}是公差为2d的等差数列；
偶数项数列{a2n}是公差为2d的等差数列；
(3)若{kn}成等差数列，则{akn}也是等差数列；
(4)从等差数列{an}中等距离抽取项，所得的数列仍为等差数列，当然公差也随之发生变化．
2．题型一 等差数列性质的应用
已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8.
[思路探索] 分析题目，可利用等差数列性质，也可利用通项公式求解．
解 法一 根据等差数列性质
a2＋a10＝a4＋a8＝2a6.
【例1】法二 根据等差数列的通项公式，得
a2＋a6＋a10＝(a1＋d)＋(a1＋5d)＋(a1＋9d)＝3a1＋15d.
法一运用了等差数列{an}的性质：若m＋n＝p＋q＝2w，则am＋an＝ap＋aq＝2aw(m，n，p，q，w都是正整数)；法二利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算属于通性通法．两种方法都运用了整体代换与方程的思想．
在等差数列{an}中：
(1)若a3＝5，则a1＋2a4＝________；
(2)若a15＝8，a60＝20，则a75＝________.
解析 (1)a1＋2a4＝a1＋(a3＋a5)＝(a1＋a5)＋a3＝2a3＋a3＝3a3＝15.
(2)法一 设首项为a1，公差为d.
∵a15＝8，a60＝20，
【变式1】 法三 ∵{an}为等差数列，
∴a15，a30，a45，a60，a75成等差数列，设公差为d，
则a15为首项，a60为第4项．
∴a60＝a15＋3d，即20＝8＋3d，
∴d＝4.
从而a75＝a60＋d＝20＋4＝24.
答案 (1)15 (2)24
(1)三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数；
(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
[思路探索] (1)根据三个数成等差数列，可设这三个数为
a－d，a，a＋d(d为公差)；
(2)四个数成递增等差数列，且中间两数的和已知，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)．
题型二 等差数列的设法与求解
【例2】解 (1)法一 设等差数列的等差中项为a，公差为d，
则这三个数分别为a－d，a，a＋d.
依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，
所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，
化简得d2＝16，于是d＝±4，
故三个数为－2,2,6或6,2，－2.
法二 设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，a＋2d，
依题意，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24，
所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24，
得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12，
即d2＝16，于是d＝±4，三个数为－2,2,6或6,2，－2.
(2)法一 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.
又四个数成递增等差数列，所以d>0，
∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.
法二 若设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)，
依题意，2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8，
化简得d2＝4，所以d＝2或－2.
又四个数成递增等差数列，所以d>0，所以d＝2，
故所求的四个数为－2,0,2,4.
利用等差数列的定义巧设未知量可以简化计算．一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项：…a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a－d，
a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．
已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．
解 设此四数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.
【变式2】 甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示．甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只鸡．乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．
题型三 等差数列的实际应用【例3】请您根据提供的信息说明，求
(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；
(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由．
(3)哪一年的规模最大？请说明理由．
审题指导 本题为图表信息题，综合考查了等差数列的知识和等差数列的函数特征．
[规范解答] 由题干图可知，从第1年到第6年平均每个鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；
从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，
则cn＝anbn. (2分)
所以c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2. (6分)
(2)c6＝a6b6＝2×10＝20(3)∵an＝1＋(n－1)×0.2＝0.2n＋0.8，bn＝30＋(n－1)×(－4)＝－4n＋34(1≤n≤6)，
∴cn＝anbn＝(0.2n＋0.8)(－4n＋34)
＝－0.8n2＋3.6n＋27.2(1≤n≤6)． (10分)
所以(1)第2年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只；(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了；
(3)第2年的规模最大． (12分)
【题后反思】 本题可以按照解析几何中的直线问题求解，但是，如果换个角度，利用构造等差数列模型来解决，更能体现出等差数列这一函数特征，让人回味无穷．题型设计的开放和解答的开放是时代的要求．这种解答方式的转变，同学们要在学习中体会，在体会中升华．
某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
解 由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则
an－an－1＝－20，(n≥2，n∈N*)，每年获利构成等差数列{an}，且首项a1＝200，公差d＝－20，
所以an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝－20n＋220.
若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，
由an＝－20n＋220<0，解得n>11，
即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损．
【变式3】 数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决问题，运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1，an，n，d，掌握好设未知数、列方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．
已知等差数列{an}的公差是正数，并且a3a7＝－12，a4＋a6＝－4，求数列{an}的通项公式．
[思路分析] 其实这样的题目我们已有解决它的办法，但如果细心观察，我们发现得到a3，a7的和与积，于是联想到一元二次方程及根与系数的关系．
方法技巧 函数与方程思想在等差数列中的应用【示例】解 由等差数列{an}的性质知：a3＋a7＝a4＋a6，从而a3a7＝－12，a3＋a7＝－4，故a3，a7是方程x2＋4x－12＝0的两根，又d>0，解之，得a3＝－6，a7＝2.
则an＝a1＋(n－1)d＝－10＋(n－1)×2＝2n－12，
即an＝2n－12.
方法点评 本题利用了a3＋a7＝a4＋a6这一性质构造了一元二次方程巧妙的解出了a3＝－6，a7＝2，再利用方程组求得了首项与公差的值，从而使问题得到解决，由此可知数列解题时往往可借助方程的思想与an＋am＝ap＋aq找出解题的捷径．
单击此处进入 活页规范训练课件13张PPT。复习课:等差数列兴宁一中数学组1.定义：an-an-1=d（d为常数）（n≥2）3.等差数列的通项变形公式：
an=am+（n-m）·d2.等差数列的通项公式：
an=a1+(n-1)d4.数列{an}为等差数列，则通项公式an=pn+q (p、q是常数),反之亦然。 8.推论: 在等差数列中，与首末两项距离相
等的两项和等于首末两项的和，即 9. 数列 前n项和: 10.性质：若数列 前n项和为 ，则12.性质: Sm, S2m-Sm, S3m-S2m, 也成等差数列. 联系: an = a1+(n-1)d的图象是相 应直线 上
一群孤立的点.它的最值又是怎样? 例2.在等差数列｛an｝中,a3=-13,a9=11,求其前
n项和Sn的最小值.
解法一、 (利用函数方法求解)
解法二、 (利用等差数列的特点和性质求解)
(答案: Sn=2n2-23n, 当n=6时,Sn取得最小值-56.)
例1.己知数列 ｛an｝ 的前n项和Sn=-n2-2n+1,试判断数列｛an｝是不是等差数列?
思路: Sn → an →an-an-1= 常数? 答案:是例3. 已知等差数列｛an｝的前 m项和为30，
前 2m项和为100，求它的前 3m项的和。
解: 在等差数列｛an｝中,有:Sm, S2m-Sm, S3m-S2m, 也成等差数列.
所以,由2(S2m-Sm)=Sm+(S3m-S2m)得:
S3m=210 (方法1)
解: 设直角三角形三边长分别为：
a,a+d,a+2d(a>0,d>0)，
由勾股定理得：(a+2d)2=a2+(a+d)2,
即a2-2ad-3d2=0，亦即(a-3d)(a+d)=0，
∴a=3d(a=-d舍去)，
∴直角三角形三边长分别为3d,4d,5d，
∴它们的比为3:4:5.练习: (一题多解) 已知直角三角形三边长成等差数列，试求其三边之比.
方法2. 设三边分别为：a-d,a,a+d(a>0,d>0),
由勾股定理得：(a-d)2+a2=(a+d)2，
即a2-4ad=0, ∴a=0(舍去)或a=4d.
∴三边为：3d,4d,5d. ∴a:b:c=3:4:5.方法3:由题意可设三边为：a,b,c,且a
Sn= + + + + 研究一下,能否找到求Sn的一个公式.你能对这个
问题作一些推广吗?祝同学们学习愉快!作业:
