湘教版九年级数学上册3.1.2黄金分割 同步精练 (word版含答案)

黄金分割
同步精练
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1. 已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式成立的是(　　)
A．AB2＝AC·CB B．CB2＝AC·AB
C．AC2＝BC·AB D．AC2＝2BC·AB
2. 如图，C点是线段AB的黄金分割点，则下列等式不正确的是( )
A．＝ B．≈0.618
C．AC＝·AB D．BC＝·AB
3. 已知线段AB＝10 cm，点C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC)，则AC的长为( )
A．(5－10) cm B．(15－5) cm
C．(5－5) cm D．(10－2) cm
4. 如图，C为线段AB的黄金分割点(AC＜BC)，且BC＝4，则AB的长为( )
A．2＋2 B．2－2
C．＋3 D．－3
5. 据有关实验测定：当气温处于人体正常体温(37 ℃)的黄金比值时，人体感到最舒服，则这个气温约是( )
A．23 ℃ B．28 ℃
C．30 ℃ D．37 ℃
6. 人以肚脐为界，下身与身高比例符合“黄金分割”比例，在人的视觉里看，是最完美的比例，身高为170 cm的人，满足“黄金分割”比例的腿长约为( )
A.100 cm B．104 cm
C．105 cm D．112 cm
7. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为( )
A．12.36 cm B．13.6 cm
C．32.36 cm D．7.64 cm
8. 美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高为165 cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为( )
A．4 cm B．6 cm
C．8 cm D．10 cm
9. 已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP.记以AP为一边的正方形面积为S1，以BP，AB为邻边矩形的面积为S2，则( )
A．S1＞S2 B．S1＝S2
C．S1＜S2 D．S1，S2大小不能确定
10. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AB的长度为10 cm，那么PB的长度为(　　)
A．(15－5)cm B．(15＋)cm
C．(10－)cm D．(5＋)cm
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11. 已知线段AB＝2，P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，那么线段AP的长度等于___________.
12. 线段AB＝6 cm，C为AB上一点(AC>BC)，当BC＝_________cm时，点C是线段AB的黄金分割点．
13. 一种数学课本的宽与长之比为黄金比，已知它的长是26 cm，那么它的宽是_____________cm.
14. 如图，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比，已知蝴蝶展开的双翅的长度是7 cm，则蝴蝶身体的长度约为_________(精确到0.1).
15. 黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长20 m，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x m时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是_______________.
16. 如图，节目主持人现站在舞台AB的一端A点，在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处可获得最佳美学效果，若舞台AB长20米，主持人要想站在舞台的黄金分割点处，她应走到距A点至少______米处，如果向B点再走______米，也处在舞台的黄金分割点处．(结果精确到0.1米)
三．解答题（共6小题， 56分）
17．(6分) 如图，线段AB＝12 cm，C，D是线段AB的两个黄金分割点，求线段CD的长．
18．(8分) 如图，要设计一座高为2米的人体雕像AB，使雕像的上部AC(腰点C以上)与下部(腰点C以下)的高度之比等于下部BC与全部AB(身高)的高度之比，雕像的下部BC的长应设计为多少米？
19．(8分) 将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，使点B落在AD边上的点F处，连接EF，展开后得到一个四边形ABEF和一个四边形EFDC.
(1)四边形ABEF的形状是________；
(2)若矩形ABCD的长、宽与四边形EFDC的长、宽成比例，求矩形ABCD的宽与长的比．
20．(10分) 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理学测试表明，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感，现将同学们在学习活动中的折叠黄金矩形的方法归纳出以下作图步骤(如图所示)：
第一步：作一个任意正方形ABCD；
第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；
第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于点E；
第四步：过点E作EF⊥AD交AD的延长线于点F.
请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．(可取AB＝2)
21．(12分) 以长为2 cm的线段AB为边，作正方形ABCD，取AB的中点P，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M落在AD上，如图所示．
(1)试求AM，DM的长；
(2)点M是线段AD黄金分割点吗？请说明理由．
22．(12分) 如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.
(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点；
(2)求线段AD的长．
参考答案
1-5CDCAA 6-10CACBA
11. －1
12．(9－3)
13. 13－13
14. 4.3cm
15. (20－x)2＝20x
16．7.6，4.8
17. 解：∵C，D是线段AB的两个黄金分割点，则AD＝AB＝6(－1)＝BC，∴AC＝AB－BC＝12－6(－1)＝18－6，∴CD＝AD－AC＝(6－6)－(18－6)＝(12－24)cm
18. 解：设下部应设计为x米，则上部的长度为(2－x)米，根据题意，得＝，整理，得x2＋2x－4＝0，解得，x1＝－1＋，x2＝－1－(舍去)，∴雕像的下部应设计为(－1＋)米
19. (1)正方形
(2)依题意得 ＝，∴CD2＝BC×CE＝BC×(BC－BE)＝BC×(BC－AB)，即AB2＝AD×(AD－AB)，∴AB2＋AB·AD－AD2＝0，∴ ＋－1＝0，解得＝(负值已舍去)．∴矩形ABCD的宽与长的比为.
20. 证明：在正方形ABCD中，取AB＝2a，∵N为BC的中点，∴NC＝BC＝a.在Rt△DNC中，ND＝＝＝a.又∵NE＝ND，∴CE＝NE－NC＝(－1)a.∴＝＝.故矩形DCEF为黄金矩形．
21. 解：(1)在Rt△APD中，AP＝1，AD＝2，由勾股定理知PD＝＝＝，∴AM＝AF＝PF－AP＝PD－AP＝－1，DM＝AD－AM＝3－
(2)∵AM2＝(－1)2＝6－2，AD·DM＝2×(3－)＝6－2，∴＝，∴点M是线段AD的黄金分割点
22. 解：(1)证明：∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝72°.又∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD＝36°＝∠A，∴AD＝BD，∠BDC＝72°＝∠C，∴BC＝BD＝AD.易得△ABC∽△BDC，∴＝，即＝，∴AD2＝AC·CD，∴点D是线段AC的黄金分割点
(2)∵点D是线段AC的黄金分割点，且AD＞CD，∴AD＝AC.又∵AC＝2，∴AD＝－1