云南省大理白族自治州巍山县第二高级中学2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题（Word版含解析）

巍山县第二高级中学2021-2022学年高二下学期期末考试
数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项：
1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.加需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 复数（其中为虚数单位）的共轭复数为（ ）
A. B. 1 C. D. 3
3. 设为等差数列的前项和，若，公差，，则（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
4. 已知向量，，满足，，且，则（ ）
A. B. 4 C. D.
5. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 4人随机排成一排，甲不在排头且乙不在排尾的排法有多少种（ ）
A. 14种 B. 16种 C. 10种 D. 13种
7. 已知角的终边在直线上，则（ ）
A. B. C. 1 D.
8. 若二项式的展开式中各项的系数和为1024，则该展开式中含项的系数是（ ）
A. 120 B. 320 C. 100 D. 300
9. 在直三棱柱中，若，，，，则用该直三棱柱打磨一个球的半径最大值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 2.5
10. 在中，已知为边上的一点，且满足，，的面积是面积的两倍，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
11. 已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则的方程为（ ）
A. B. C. D.
12. 已知函数的定义域为，且函数的图象关于点对称，对于任意的，总有成立，当时，，函数，对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数构成的集合为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项：
第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则_________.
14. 函数为奇函数，则_________.
15. 数列的通项满足，则数列中的项的最小值为_________.
16. 已知为坐标原点，双曲线：的左、右焦点分别为，，若直线与双曲线的右支交于点，且满足为等腰三角形，则双曲线的离心率为_________.
三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
设为数列的前项和，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和.
18.（本小题满分12分）
在中，，，.
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）是边上的中点，求的长度.
19.（本小题满分12分）
椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆经过点且长轴长为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点且斜率为1的直线与椭圆交于，两点，求弦长.
20.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，平面，，，，，点，分别是棱，上的动点.
（Ⅰ）若是棱的中点，求二面角的大小；
（Ⅱ）请判断下列条件：①直线与平面所成角的正切值为；②中哪一个条件可以推断出平面（无需说明理由），并用你的选择证明该结论.
21.（本小题满分12分）
漳州布袋木偶戏是传统民俗艺术，2006年被列入首批国家非物质文化产保护，据《漳州府志》记载，漳州地区在宋代就已经有布袋木偶戏了，清朝中叶后，布袋木偶戏开始进入兴盛时期，一直到抗日战争前，漳州的龙溪、漳浦、海澄、长泰等县，几乎乡乡都有布袋木偶戏，在传承的基础上，不断创新和发展壮大，走向更广阔的世界，为了了解民众对布袋木偶戏的了解程度，某单位随机抽取了漳州地区男女各100名市民，进行问卷调查根据调查结果绘制出得分条形图，如图所示.
（Ⅰ）若被调查者得分低于60分，则认为是不够了解布袋木偶戏，否则认为是相对了解布袋木偶戏.根据条形图，完成联表，并根据列联表，判断能否有90%的把握认为对布袋木偶戏的了解程度与性别有关？
不够了解 相对了解 合计
男
女
合计
（Ⅱ）恰逢三八妇女节，该单位对参与调查问卷的女市民制定如下抽奖方案；得分低于60分的可以获得1次抽奖机会，得分不低于60分的可以获得2次抽奖机会，每次抽奖结果相互独立，在一次抽奖中，获得一个木偶纪念品的概率为，获得两个木偶纪念品的概率为，不获得木偶纪念品的概率为，在这100名女市民中任选一人.记为她获得木偶纪念品的个数，求的分布列和数学期望.
参考公式：.
参考数据：
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
22.（本小题满分12分）
函数.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：.
巍山县第二高级中学2021-2022学年高二下学期期末考试
数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D C B D D A A B A C B A
【解析】
1. ，解得，所以，所以，故选D.
2. 由，则，故选C.
3. 因为，，所以，解得（舍负），故选B.
4. ∵，，∴，∵，∴，解得，∴，故选D.
5. 显然，，，故，故选D.
6. 方法数为：14种，故选A.
7. 易知：，∴，故选A.
8. 对，令，得，解得，二项式展开式的通项公式为，令，解得，故展开式中含项的系数为，故选B.
10. 因为，且的面积是面积的两倍，所以，又由题意是的平分线，所以，不妨设，，结合已知得，由余弦定理得，解得，负值舍去，所以，所以，可得，所以，故选C.
11. 设双曲线的标准方程为：，由题意，①，设，，则有，两式作差得，化简得②，由①②联立解得，，故选B.
12. 由函数的图象关于点对称知函数的图象关于原点对称，即函数是奇函数，由任意的，总有成立，即恒成立，于是得函数的周期是4，又当时，，则当时，，而是奇函数，当时，，又，，从而得，即时，，而函数的周期是4，于是得函数在上的值域是，因对任意，存在，使得成立，从而得不等式，即在上有解，当时，取，成立，即得，当时，在上有解，必有，解得，则有，综上得，所以满足条件的实数构成的集合为，故选A.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号 13 14 15 16
答案 2 1
【解析】
13. 依题意，切线的斜率为2，，.
15. .
16. 由条件可知，，所以，即，由题意，所以，在中，由余弦定理，所以，又点在右支上，所以，因为，所以，所以，整理得，所以，解得（负值舍去）.
三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）
（Ⅱ）
18.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）
（Ⅱ）
19.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）
（Ⅱ）直线的方程为：，
将代入，
有，，则.
20.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立如图所示坐标系，
则，，，，，，
则，，，，
设平面的法向量，
由，得，
可取，同理可求面的一个法向量为，
因为，
故二面角的大小为.
（Ⅱ）条件②可以推断平面.
如图，连接，相交于点，连.
在梯形中，有，，
根据三角形的相似得.
又因为，故，
又平面，平面，
所以平面.
21.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）列联表如下：
不够了解 相对了解 合计
男 35 65 100
女 25 75 100
合计 60 140 200
假设：对布袋木偶戏的了解程度与性别无关，
根据列联表的数据，可以求得.
故没有90%的把握认为对布袋木偶戏的了解程度与性别有关.
（Ⅱ）在这100名女市民中任选一人，得分低于60分的概率为，得分不低于60分的概率为，的所有取值为0，1，2，3，4.
，
，
，
，
，
所以的分布列为
0 1 2 3 4
故.
22.（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）令，，
当时，，单减；
当时，，单增；
∴，∴，
即.
（Ⅱ）由题意将问题转化为恒成立，
构造函数，令，
，
令，
恒成立，
∴在上为减函数且，
∴，
∴，，
∴在上为增函数，在上为减函数，
∴，
∴.