江苏省南通市通州区石港高级中学校2021-2022学年高二下学期期末阶段检测数学试题（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 江苏省南通市通州区石港高级中学校2021-2022学年高二下学期期末阶段检测数学试题（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1022.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-22 13:20:17 | ||
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文档简介
石港高级中学校2021-2022学年高二下学期期末阶段检测
数学试卷
一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
3.在端午小长假期间，某办公室要从4名职员中选出若干人在3天假期坚守岗位，每天只需1人值班，则不同的排班方法有（ ）
A.12种 B.24种 C.64种 D.81种
4.半径为的球中有一内接圆柱，当该圆柱的侧面积取得最大值时，则圆柱的体积为（ ）
A. B. C. D.
5.已知样本的平均数为，样本的平均数为.若样本，的平均数，其中，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
6.为了衡量星星的明暗程度，公元前二世纪古希腊天文学家喜帕恰斯提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮.1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知小熊座的“北极星”与大熊座的“玉衡”的星等分别为和，且当较小时，，则“玉衡”与“北极星”的亮度之比大约为（ ）
A. B. C. D.
7.已知等比数列的前项积为，若，则当取最大值时，的值为（ ）
A.10 B.8 C.6 D.4
8.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9.对于式子，下列说法正确的有（ ）
A.它的展开式中第4项的系数等于135
B.它的展开式中第3项的二项式系数等于20
C.它的展开式中所有项的系数之和等于64
D.它的展开式中第一项的系数等于
10.设是抛物线的焦点，过且斜为的直线与抛物线的一个交点为.半径为的圆交抛物线的准线于两点，且在的上方，关于点的对称点为.以下结论正确的是（ ）
A.线段的长为8 B.三点共线
C.为等边三角形 D.四边形为矩形
11.已知三棱柱的侧棱垂直于底面，且底面为等腰直角三角形，，分别是的中点，是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.直线与直线夹角的余弦值为
C.直线平面
D.若是线段的中点，则三棱锥的体积与三棱柱的体积之比为
12.下列命题为真命题的是（ ）
A.对具有线性相关关系的变量，有一组观测数据其线性回归方程，且，则系数的值是
B.从数字中任取2个数，则这2个数的和为奇数的概率为
C.已知样本数据的方差为4，则数据的标准差是4
D.已知随机变量，若，则
三 填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13.对具有线性相关关系的变量有一组观测数据，其线性回归方程是，且，则__________.
14.已知，且，则的最小值是__________.
15.有2个人在一座10层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这两人在不同层离开电梯的概率为__________.
16.已知是奇函数，当时，.若，则__________.
四 解答题（共6小题，满分70分）
17.（10分）在的二项展开式中，二项式系数之和为64.
（1）求正整数的值；
（2）求的二项展开式中二项式系数最大的项.
18.（12分）已知数列的前项和为，其中为常数.
（1）证明：；
（2）当数列为等差数列时，记数列的前项和为，证明：.
19.（12分）如图，在四面体中，为等边三角形，点分别为棱的中点，且.
（1）证明：；
（2）若二面角的大小为，求二面角的余弦值.
20.（12分）2020年5月14日，中国经济“双循环”首次提出——“要深化供给侧结构性改革，充分发挥中国超大规模市场优势和内需潜力，构建国内国际双循环相互促进的新发展格局”.为了解国内不同年龄段的民众服装消费的基本情况，某服装贸易公司从其网站数据库中随机抽取了1000条客户信息进行分析，这些客户一年的服装消费金额数据如表所示.
消费（千元）
年龄段
年轻 180 120 100
中年 70 155 95
老年 50 125 105
（1）若从这1000位客户中随机选一人，请估算该客户的消费期望；
（2）把一年服装消费金额满8千元称为“高消费”，否则称为“低消费”.根据所给数据，完成下面的列联表，判断能否有的把握认为服装消费的高低与年龄有关？
低消费 高消费 合计
年轻人
中老年人
合计
附表及公式：，其中.
21.（12分）已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，短轴长为，直线与椭圆交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与圆相切，证明：为定值.
22.（12分）已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求证：，不等式恒成立.
石港高级中学校2021-2022学年高二下学期期末阶段检测
数学试卷-参考答案
一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1.【答案】C
【详解】集合，
.
故选：.
2.【答案】A
【详解】由，得，
，
则曲线在点处的切线方程为，
即.
故选：.
3.【答案】C
【详解】根据题意，第一天值班可以安排4名职员中任意一人，有4种排班方法，
同理：第二天和第三天也有4种排班方法，
则有种不同的排班方法；
故选：.
4.【答案】B
【详解】画出球内接圆柱的轴截面，如图所示：
设圆柱的高为，底面半径为，侧面积为，
则，
解得.
所以圆柱的侧面积为，
当且仅当时取等号，此时球内接圆柱底面半径为，高为.
圆柱的体积为：.
故选：.
5.【答案】D
【详解】由题意可知，，
所以，
又因为，
所以，
则，
故.
故选：.
6.【答案】B
【详解】由题意，可得，
.
故选：.
7.【答案】D
【详解】设等比数列的公比为，则，解得，所以，所以，所以当取得最大值时，可得为偶数，而在上单调递减，，则，
当且为数时，，所以时，取得最大值.
故选：.
8.【答案】A
【详解】，
，
，
为的中点，，
设为双曲线的右焦点，也为抛物线的焦点，
则为三角形的中位线，
则，可令的坐标为，
则有，
由抛物线的定义可得，，
又，即有，
化简可得，，
由于，则有，
由于，
解得，.
故选：.
二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9.【答案】CD
【详解】对于式子，它的第四项为，故错误；
它的展开式中第3项的二项式系数等于，故错误；
令，可得它的展开式中所有项的系数之和等64，故正确；
它的展开式中第一项的系数等于，故正确，
故选：.
10.【答案】BCD
【详解】由抛物线的方程可得：，准线方程为：，
过且斜为的直线的方程为：，代入抛物线方程可得：
，解得或，
令的坐标为，则，
所以圆的方程为：，
令，则，
设关于点的对称点为，
所以，得，
选项错误，
选项，所以，所以三点共线，正确，
选项：因为，且，所以三角形为等边三角形，正确，
选项：由的坐标可得：，
所以四边形为矩形，正确，
故选：.
11.【答案】ACD
【详解】由题意，得平面，
又平面，
所以，即，故正确；
设，则，连接，
则，
在中，由余弦定理可得，
即直线与直线的夹角的余弦值为，故错误；
由，
可得，
又，
所以直线平面，
所以直线平面，故正确；
因为是的中点，
所以，
因为，
点到平面的距离为，
所以，
又，
所以，故正确.
故选：.
12.【答案】BC
【详解】对于：具有线性相关关系的变量，有一组观测数据其线性回归方程，且，解得，则系数的值是，故错误；
对于，故正确；
对于：已知样本数据的方差为4，则数据的方差为，故标准差为4，故正确；
对于：随机变量，若，则，所以，故错误；
故选：.
三 填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13.【答案】
【详解】因为，
所以，
故样本中心为，
又线性回归方程是，
所以，解得.
故答案为：.
14.【答案】5
【详解】.
，
当且仅当，即时取等号，
的最小值为5.
故答案为：5.
15.【答案】
【详解】因为每个人自第二层开始在每一层离开电梯都是等可能的，
所以每个人自第二层开始在每一层离开电梯的概率都是，
根据相互独立事件的概率乘法公式可得这2个人在不同层离开的概率为：
故答案为：.
16.【答案】
【详解】根据题意，是奇函数，若，则，
当时，，则，则，
故答案为：.
四 解答题（共6小题，满分70分）
17.（10分）
【答案】见解析
【详解】（1）在的二项展开式中，二项式系数之和为.
（2）的二项展开式中，当时，二项式系数最大，
故二项式系数最大的项为.
18.（12分）
【答案】见解析
【详解】证明：（1）由，得，两式相减得，
由于，所以，所以.
（2）设等差数列的公差为，由；，得，又，得，
所以，解得；所以，解得，所以，
令，则；所以，
则，两式相减得，
，
所以.
19.（12分）
【答案】见解析
【详解】（1）证明：如图1，不妨设为的中点，且，则，连接点为棱的中点，且，
，即，
，且，
，即，
又为等边三角形，点为棱的中点，
，
点分别为的中点，
，
平面，且，
平面，
又平面，
.
（2）解：建立如图所示空间直角坐标系，
由（1）可知，为二面角的平面角，且，
若二面角的大小为，则，
，
，
不妨设平面的一个法向量为，则
解得令，则，
显然为平面的一个法向量，
，
二面角的大小即为，
二面角的余弦值为.
20.（12分）
【答案】见解析
【详解】（1）随机选一人，设该客户的消费额为千元，则的可能取值为：，
依题意可得，，
所以该客户的消费期望是：千元.
（2）列联表如下：
低消费 高消费 合计
年轻人 300 100 400
中老年人 400 200 600
合计 700 300 1000
，
因为，所以有的把握认为服装消费的高低与年龄有关.
21.（12分）
【答案】见解析
【详解】（1）根据题意，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，短轴长为，
则有；
（2）当直线垂直轴时，直线方程为
直线方程为时，分别为，有
同理直线方程为时，有
，
当直线与轴不垂直时，设当直线为；
则①
，
；
；
由①②得为定值.
22.（12分）
【答案】见解析
【详解】（1）的定义域为，
，
①若在上单调递增，
②若，当时，在单调递减.
当时，在单调递增.
（2）证明：，
，
要证
只需证，
即证，
即证
令，
则，
由（1）知，当时，
（1），即0.
0，则在上单调递增，
（1），
故，不等式恒成立.
数学试卷
一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
3.在端午小长假期间，某办公室要从4名职员中选出若干人在3天假期坚守岗位，每天只需1人值班，则不同的排班方法有（ ）
A.12种 B.24种 C.64种 D.81种
4.半径为的球中有一内接圆柱，当该圆柱的侧面积取得最大值时，则圆柱的体积为（ ）
A. B. C. D.
5.已知样本的平均数为，样本的平均数为.若样本，的平均数，其中，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
6.为了衡量星星的明暗程度，公元前二世纪古希腊天文学家喜帕恰斯提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮.1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知小熊座的“北极星”与大熊座的“玉衡”的星等分别为和，且当较小时，，则“玉衡”与“北极星”的亮度之比大约为（ ）
A. B. C. D.
7.已知等比数列的前项积为，若，则当取最大值时，的值为（ ）
A.10 B.8 C.6 D.4
8.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9.对于式子，下列说法正确的有（ ）
A.它的展开式中第4项的系数等于135
B.它的展开式中第3项的二项式系数等于20
C.它的展开式中所有项的系数之和等于64
D.它的展开式中第一项的系数等于
10.设是抛物线的焦点，过且斜为的直线与抛物线的一个交点为.半径为的圆交抛物线的准线于两点，且在的上方，关于点的对称点为.以下结论正确的是（ ）
A.线段的长为8 B.三点共线
C.为等边三角形 D.四边形为矩形
11.已知三棱柱的侧棱垂直于底面，且底面为等腰直角三角形，，分别是的中点，是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.直线与直线夹角的余弦值为
C.直线平面
D.若是线段的中点，则三棱锥的体积与三棱柱的体积之比为
12.下列命题为真命题的是（ ）
A.对具有线性相关关系的变量，有一组观测数据其线性回归方程，且，则系数的值是
B.从数字中任取2个数，则这2个数的和为奇数的概率为
C.已知样本数据的方差为4，则数据的标准差是4
D.已知随机变量，若，则
三 填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13.对具有线性相关关系的变量有一组观测数据，其线性回归方程是，且，则__________.
14.已知，且，则的最小值是__________.
15.有2个人在一座10层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这两人在不同层离开电梯的概率为__________.
16.已知是奇函数，当时，.若，则__________.
四 解答题（共6小题，满分70分）
17.（10分）在的二项展开式中，二项式系数之和为64.
（1）求正整数的值；
（2）求的二项展开式中二项式系数最大的项.
18.（12分）已知数列的前项和为，其中为常数.
（1）证明：；
（2）当数列为等差数列时，记数列的前项和为，证明：.
19.（12分）如图，在四面体中，为等边三角形，点分别为棱的中点，且.
（1）证明：；
（2）若二面角的大小为，求二面角的余弦值.
20.（12分）2020年5月14日，中国经济“双循环”首次提出——“要深化供给侧结构性改革，充分发挥中国超大规模市场优势和内需潜力，构建国内国际双循环相互促进的新发展格局”.为了解国内不同年龄段的民众服装消费的基本情况，某服装贸易公司从其网站数据库中随机抽取了1000条客户信息进行分析，这些客户一年的服装消费金额数据如表所示.
消费（千元）
年龄段
年轻 180 120 100
中年 70 155 95
老年 50 125 105
（1）若从这1000位客户中随机选一人，请估算该客户的消费期望；
（2）把一年服装消费金额满8千元称为“高消费”，否则称为“低消费”.根据所给数据，完成下面的列联表，判断能否有的把握认为服装消费的高低与年龄有关？
低消费 高消费 合计
年轻人
中老年人
合计
附表及公式：，其中.
21.（12分）已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，短轴长为，直线与椭圆交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与圆相切，证明：为定值.
22.（12分）已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求证：，不等式恒成立.
石港高级中学校2021-2022学年高二下学期期末阶段检测
数学试卷-参考答案
一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1.【答案】C
【详解】集合，
.
故选：.
2.【答案】A
【详解】由，得，
，
则曲线在点处的切线方程为，
即.
故选：.
3.【答案】C
【详解】根据题意，第一天值班可以安排4名职员中任意一人，有4种排班方法，
同理：第二天和第三天也有4种排班方法，
则有种不同的排班方法；
故选：.
4.【答案】B
【详解】画出球内接圆柱的轴截面，如图所示：
设圆柱的高为，底面半径为，侧面积为，
则，
解得.
所以圆柱的侧面积为，
当且仅当时取等号，此时球内接圆柱底面半径为，高为.
圆柱的体积为：.
故选：.
5.【答案】D
【详解】由题意可知，，
所以，
又因为，
所以，
则，
故.
故选：.
6.【答案】B
【详解】由题意，可得，
.
故选：.
7.【答案】D
【详解】设等比数列的公比为，则，解得，所以，所以，所以当取得最大值时，可得为偶数，而在上单调递减，，则，
当且为数时，，所以时，取得最大值.
故选：.
8.【答案】A
【详解】，
，
，
为的中点，，
设为双曲线的右焦点，也为抛物线的焦点，
则为三角形的中位线，
则，可令的坐标为，
则有，
由抛物线的定义可得，，
又，即有，
化简可得，，
由于，则有，
由于，
解得，.
故选：.
二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9.【答案】CD
【详解】对于式子，它的第四项为，故错误；
它的展开式中第3项的二项式系数等于，故错误；
令，可得它的展开式中所有项的系数之和等64，故正确；
它的展开式中第一项的系数等于，故正确，
故选：.
10.【答案】BCD
【详解】由抛物线的方程可得：，准线方程为：，
过且斜为的直线的方程为：，代入抛物线方程可得：
，解得或，
令的坐标为，则，
所以圆的方程为：，
令，则，
设关于点的对称点为，
所以，得，
选项错误，
选项，所以，所以三点共线，正确，
选项：因为，且，所以三角形为等边三角形，正确，
选项：由的坐标可得：，
所以四边形为矩形，正确，
故选：.
11.【答案】ACD
【详解】由题意，得平面，
又平面，
所以，即，故正确；
设，则，连接，
则，
在中，由余弦定理可得，
即直线与直线的夹角的余弦值为，故错误；
由，
可得，
又，
所以直线平面，
所以直线平面，故正确；
因为是的中点，
所以，
因为，
点到平面的距离为，
所以，
又，
所以，故正确.
故选：.
12.【答案】BC
【详解】对于：具有线性相关关系的变量，有一组观测数据其线性回归方程，且，解得，则系数的值是，故错误；
对于，故正确；
对于：已知样本数据的方差为4，则数据的方差为，故标准差为4，故正确；
对于：随机变量，若，则，所以，故错误；
故选：.
三 填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13.【答案】
【详解】因为，
所以，
故样本中心为，
又线性回归方程是，
所以，解得.
故答案为：.
14.【答案】5
【详解】.
，
当且仅当，即时取等号，
的最小值为5.
故答案为：5.
15.【答案】
【详解】因为每个人自第二层开始在每一层离开电梯都是等可能的，
所以每个人自第二层开始在每一层离开电梯的概率都是，
根据相互独立事件的概率乘法公式可得这2个人在不同层离开的概率为：
故答案为：.
16.【答案】
【详解】根据题意，是奇函数，若，则，
当时，，则，则，
故答案为：.
四 解答题（共6小题，满分70分）
17.（10分）
【答案】见解析
【详解】（1）在的二项展开式中，二项式系数之和为.
（2）的二项展开式中，当时，二项式系数最大，
故二项式系数最大的项为.
18.（12分）
【答案】见解析
【详解】证明：（1）由，得，两式相减得，
由于，所以，所以.
（2）设等差数列的公差为，由；，得，又，得，
所以，解得；所以，解得，所以，
令，则；所以，
则，两式相减得，
，
所以.
19.（12分）
【答案】见解析
【详解】（1）证明：如图1，不妨设为的中点，且，则，连接点为棱的中点，且，
，即，
，且，
，即，
又为等边三角形，点为棱的中点，
，
点分别为的中点，
，
平面，且，
平面，
又平面，
.
（2）解：建立如图所示空间直角坐标系，
由（1）可知，为二面角的平面角，且，
若二面角的大小为，则，
，
，
不妨设平面的一个法向量为，则
解得令，则，
显然为平面的一个法向量，
，
二面角的大小即为，
二面角的余弦值为.
20.（12分）
【答案】见解析
【详解】（1）随机选一人，设该客户的消费额为千元，则的可能取值为：，
依题意可得，，
所以该客户的消费期望是：千元.
（2）列联表如下：
低消费 高消费 合计
年轻人 300 100 400
中老年人 400 200 600
合计 700 300 1000
，
因为，所以有的把握认为服装消费的高低与年龄有关.
21.（12分）
【答案】见解析
【详解】（1）根据题意，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，短轴长为，
则有；
（2）当直线垂直轴时，直线方程为
直线方程为时，分别为，有
同理直线方程为时，有
，
当直线与轴不垂直时，设当直线为；
则①
，
；
；
由①②得为定值.
22.（12分）
【答案】见解析
【详解】（1）的定义域为，
，
①若在上单调递增，
②若，当时，在单调递减.
当时，在单调递增.
（2）证明：，
，
要证
只需证，
即证，
即证
令，
则，
由（1）知，当时，
（1），即0.
0，则在上单调递增，
（1），
故，不等式恒成立.
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