人教版八年级数学上册13.3等腰三角形自主提升训练题(Word版含答案)

2022-2023学年人教版八年级数学上册《13.3等腰三角形》自主提升训练题（附答案）
一．选择题
1．等腰三角形周长为18cm，那么腰长y与底边长x的函数关系式是（　　）
A．y＝﹣2x+18 B．y＝﹣x+9 C． D．
2．下列说法中正确的是（　　）
A．全等三角形的周长相等
B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离
C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
D．等腰三角形的对称轴是其底边上的高
3．已知：如图，点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，AE与BD相交于点F，给出下面四个条件：①∠1＝∠2；②AD＝BE；③AF＝BF；④DF＝EF，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC是等腰三角形的是（　　）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
4．等腰三角形一个外角等于110°，则底角为（　　）
A．70°或40° B．40°或55° C．55°或70° D．70°
5．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，则△ADE的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．不等边三角形 D．不能确定形状
6．如图，△ABC是等边三角形，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为36，则PD+PE+PF＝（　　）
A．12 B．8 C．4 D．3
7．已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若BD+CE＝5，则线段DE的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．下列说法中，正确的有（　　）
①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；④等腰三角形是轴对称图形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，延长AC到D，使CD＝BC，点P是∠ABD和∠ADB的平分线的交点，则∠BPD的度数是（　　）
A．105° B．110° C．130° D．145°
10．如图所示，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点，已知图中A、B为两格点，请在图中再寻找另一格点C，使△ABC成为等腰三角形．则满足条件的C点的个数为（　　）
A．10个 B．8个 C．6个 D．4个
11．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（　　）
A． B． C． D．不能确定
12．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（　　）
A．7 B．7或11 C．11 D．7或10
13．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此三角形的底角等于（　　）
A．75° B．15° C．75°或15° D．30°
二．填空题
14．如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC＝　 　．
15．如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，连接AD，∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的度数是　 　．
16．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，AD是中线，BE是高，AD与BE交于点F，则∠AFE＝　 　．
17．一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为　 　cm．
18．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则等腰三角形顶角的度数是　 　°．
19．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：
以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；
再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；
再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…
这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝　 　．
20．如图，在△ABC中，BC＝5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是　 　cm．
三．解答题
21．如图，已知直线l1∥l2∥l3，点E、F分别在l3、l1上，Rt△ABC的直角顶点C在直线l1上，点B在直线l2上，点A在直线l3上，l2与AC交于点D，且∠BAC＝25°，∠BAE＝25°．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）求∠BCF的度数．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
23．如图一，AB＝AC，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB．问：（答题时，注意书写整洁）
（1）图一中有几个等腰三角形？（写出来，不需要证明）
（2）过D点作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，如图二，图中现在增加了几个等腰三角形，选一个进行证明．
（3）如图三，若将题中的△ABC改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形？（写出来，不需要证明）线段EF与BE、CF有什么关系，并证明．
24．在△ABC中，AB＝AC，点D是线段BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝　 　；
（2）如图2，设∠BAC＝α，∠BCE＝β．当点D在线段BC上移动时，请写出α，β之间的数量关系，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：∵等腰三角形周长为8cm，腰长为ycm，底边为xcm，
∴y＝（18﹣x）＝9﹣x；
故选：C．
2．解：A、∵全等三角形的对应边分别相等，
∴全等三角形的周长相等，故本选项符合题意；
B、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故本选项不符合题意；
C、两条平行线被第三条直线所截，同位角才相等，故本选项不符合题意；
D、等腰三角形的对称轴是其底边上的高所在的直线，故本选项不符合题意；
故选：A．
3．解：选②AD＝BE；③AF＝BF，不能证明△ADF与△BEF全等，所以不能证明∠1＝∠2，
故不能判定△ABC是等腰三角形．
故选：C．
4．解：分为两种情况：①当顶角的外角是110°时，顶角是180°﹣110°＝70°，则底角是×（180°﹣70°）＝55°；
②当底角的外角是110°时，底角是180°﹣110°＝70°；
即底角为55°或70°，
故选：C．
5．解：∵△ABC为等边三角形
∴AB＝AC
∵∠1＝∠2，BE＝CD
∴△ABE≌△ACD
∴AE＝AD，∠BAE＝∠CAD＝60°
∴△ADE是等边三角形．
故选：B．
6．解：如图，延长EP、FP分别交AB、BC于G、H，则由PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，
∴四边形PGBD和四边形EPHC是平行四边形，
∴PG＝BD，PE＝HC，
又△ABC是等边三角形，
又有PF∥AC，PD∥AB可得△PFG，△PDH是等边三角形，
∴PF＝PG＝BD，PD＝DH，
又△ABC的周长为36，
∴PD+PE+PF＝DH+HC+BD＝BC＝×36＝12，
故选：A．
7．解：∵在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠OCB，
∵DE∥BC，
∴∠DOB＝∠OBC＝∠DBO，∠EOC＝∠OCB＝∠ECO，
∴DB＝DO，OE＝EC，
∵DE＝DO+OE，
∴DE＝BD+CE＝5．
故选：A．
8．解：①等腰三角形的两腰相等，正确；
②等腰三角形的两底角相等，正确；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等，正确；
④等腰三角形是轴对称图形，对称轴就是底边上的高所在的直线，正确．
故选：D．
9．解∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∵CD＝BC，
∴∠CBD＝CDB＝∠ACB＝35°，
∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝105°
∵PD平分∠CDB，PB平分∠ABD，
∴∠PDB＝CDB＝17.5°，∠PBD＝∠ABD＝52.5°，
∴∠BPD＝180°﹣17.5°﹣52.5°＝110°，
故选：B．
10．解：如图，AB是腰长时，红色的4个点可以作为点C，
AB是底边时，黑色的4个点都可以作为点C，
所以，满足条件的点C的个数是4+4＝8．
故选：B．
11．解：过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP＝PF＝AF，
∵PE⊥AC，
∴AE＝EF，
∵AP＝PF，AP＝CQ，
∴PF＝CQ．
∵在△PFD和△QCD中，
，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD＝CD，
∵AE＝EF，
∴EF+FD＝AE+CD，
∴AE+CD＝DE＝AC，
∵AC＝1，
∴DE＝．
故选：B．
12．解：根据题意，
①当AC+AC＝15，解得AC＝10，
所以底边长＝12﹣×10＝7；
②当AC+AC＝12，解得AC＝8，
所以底边长＝15﹣×8＝11．
所以底边长等于7或11．
故选：B．
13．解：当高在三角形内部时，由已知可求得三角形的顶角为30°，则底角是75°；
当高在三角形外部时，三角形顶角的外角是30°，则底角是15°；
所以此三角形的底角等于75°或15°，故选C．
二．填空题
14．解：延长BD交AC于E．
∵DA＝DB＝DC，
∴∠ABE＝∠DAB＝20°，∠ECD＝∠DAC＝30°．
又∵∠BAE＝∠BAD+∠DAC＝50°，
∠BDC＝∠DEC+∠ECD，∠DEC＝∠ABE+∠BAE，
∴∠BDC＝∠ABE+∠BAE+∠ECD＝20°+50°+30°＝100°．
故答案为：100°．
15．解：∵∠B＝40°，∠C＝36°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝104°
∵AB＝BD
∴∠BAD＝∠ADB＝（180°﹣∠B）÷2＝70°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝34°
故答案为：∠DAC＝34°．
16．解：∵AB＝AC且AD是中线，
∴∠CAD＝∠BAC＝20°，
∵BE是高，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AFE＝70°，
故答案为：70°．
17．解：①当腰是4cm，底边是9cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是4cm，腰长是9cm时，能构成三角形，则其周长＝4+9+9＝22cm．
故填22．
18．解：①如图1，等腰三角形为锐角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD＝40°，
∴∠A＝50°，
即顶角的度数为50°．
②如图2，等腰三角形为钝角三角形，
∵BD⊥AC，∠DBA＝40°，
∴∠BAD＝50°，
∴∠BAC＝130°．
故答案为：50或130．
19．解：由题意可知：AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，
则∠AOA1＝∠OA1A，∠A1AA2＝∠A1A2A，…，
∵∠BOC＝9°，
∴∠A1AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°，∠A4A3C＝45°，…，
∴9°n＜90°，
解得n＜10．
由于n为整数，故n＝9．
故答案为：9．
20．解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE，
∵PD∥AB，PE∥AC，
∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE，
∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，
∴BD＝PD，CE＝PE，
∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝5cm．
故答案为：5．
三．解答题
21．（1）证明：∵l2∥l3
∴∠ABD＝∠BAE＝25°，
∵∠BAC＝25°
∴∠ABD＝∠BAC，
∴△ABD是等腰三角形，
（2）∵∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°
∠BAC＝25°，∠ACB＝90°
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣25°﹣90°＝65°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝65°﹣25°＝40°，
∵l1∥l2
∴∠BCF＝∠CBD＝40°，
22．证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△ECF中
，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△ECF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°
∴∠1+∠2＝110°
∴∠3+∠2＝110°
∴∠DEF＝70°
23．解：（1）有两个等腰三角形．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD、CD分别是角平分线，
∴∠DBC＝∠ABC＝∠ACB＝∠DCB，
∴DB＝DC，
∴△BDC是等腰三角形，
∵△ABC是等腰三角形，
即在图1中共有两个等腰三角形；
（2）增加了3个等腰三角形．
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠DBC，
∴∠DBE＝∠EDB，
∴EB＝ED，
∴△EBD为等腰三角形，同理△FDC为等腰三角形，
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠AFE，
∵AB＝AC，
∴△AEF为等腰三角形，
即在图2中增加了三个等腰三角形；
（3）同（2）可证明得△EBD为等腰三角形，△FDC为等腰三角形，
所以EF＝BE+CF，
即只有两个等腰三角形．
24．解：（1）90°．
理由：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE．
∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB，
∴∠BCE＝∠B+∠ACB，
又∵∠BAC＝90°
∴∠BCE＝90°；
（2）α+β＝180°，
理由：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠EAC+∠DAC．
即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE．
∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB．
∴∠B+∠ACB＝β，
∵α+∠B+∠ACB＝180°，
∴α+β＝180°．