5.4一元一次方程的应用
教学目标
【知识与能力】
1、了解一元一次方程在解决实际问题中的应用、体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系，建立数学模型.
2、学会通过分析图形问题中的基本等量关系，并由此关系列方程解相关的应用题.。
【过程与方法】
通过列方程解决实际问题，体会转化思想和数学建模思想.
【情感态度价值观】
1.感受数学与生活的联系,认识数学来源于生活,又服务于生活.
2.激发学生浓厚的学习兴趣,使学生有独立思考,勇于创新的精神,养成按客观规律办事的良好习惯.
教学重难点
【教学重点】
(1)寻找图形问题中的等量关系，建立方程；
(2)根据具体问题列出的方程，掌握其简单的解方程的方法.
【教学难点】
寻找图形问题中的等量关系，建立数学模型，建立一元一次方程，使实际问题数学化.
课前准备
无
教学过程
一、创新情境，引入新课
教师：怎样解答本章“情景导航”中的问题？与同学交流
教师：根据题意，请思考下列问题：
(1)题目中哪些是已知量？哪些是未知量？
……
(3)题目中的等量关系是什么？
……
二、合作探究，展示交流
根据题意列出方程：
x＋2x＋4x＋8x＋16x＋32x＋64x＝381.
我们可以把这个方程看做“宝塔问题”的一个“数学模型”.
教师：很好，我这儿有一个问题：某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱、现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m减少为3.2m，那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4m增高为多少米？你能帮他吗？
学生：用一元一次方程来解、这个问题的等量关系：旧水箱的体积=新水箱的体积.
教师：同学们分析得很好，列方程时，关键是找出问题中的等量关系.下面我们如果设新水箱的高为xm，通过填写下表来看一下旧水箱的体积和新水箱的体积.
旧水箱 新水箱
底面半径/m 2 1、6
高/m 4 x
体积/m3 π×22×4 π×1、62×x
(学生计算填表，让一位同学说出自己的结果)
学生：旧水箱的圆柱的底面半径为4÷2=2m，高为4米，所以旧水箱的圆柱的体积为π×22×4m3；新水箱的圆柱的底面半径为3.2÷2=1.6m，高设为xm，所以新水箱的体积为π×1.62×x.由等量关系我们便可得到方程：π×22×4=π×1.62×x.
教师：列出方程我们只是走完“万里长征”重要的第一步，如何解这个方程呢？
学生：将π换成3.14，算出x的系数π×22，然后将系数化为1就解出了方程.
学生：我认为应先观察方程的特点，左右两边都含有π，可用等式的第二个性质，方程两边同时除以π，可使方程变得简单.
教师：这位同学的想法很好、下面我们共同把这个题的过程写一下.
解：设新水箱圆柱的高为x厘米，
根据题意，列出方程π×22×4=π×1.62×x，
解得x=.
答：高变成了米.
教师：通过本题的解答过程，你能总结一下列一元一次方程解决实际问题的步骤吗？
(学生认真思考后，小组内交流、教师适时引导共同归纳出列一元一次方程解决实际问题的步骤：理解题意、寻找等量关系、设未知数列方程、解方程、作答.)
设计意图：设置丰富的问题情境，使学生经历模型化的过程，激发学生的好奇心和主动学习的欲望.
探究：周长相等问题
教师：用你手中的铁丝围成一个四边形，在所有的四边形中他们的周长有什么特点？
学生：不变，都相等.
教师：所围成的四边形的面积变化吗？动手操作试一试.
(学生动手操作，操作完成后让学生汇报结果)
学生：面积发生变化.
教师：下面以小组为单位，借助你手中的铁丝，依据上一题的解题经验，小组内分工合作完成下面问题.
例：用一根长为10米的铁丝围成一个长方形.
(1)使得该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长、宽各为多少米？
(2)使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽各为多少米？它围成的长方形与(1)中所围成的长方形相比，面积有什么变化？
(3)使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的面积与(2)中相比又有什么变化？
教学建议：小组讨论解题过程中，教师巡视课堂，指导、参与学生的讨论制作，帮助有学习有难的个人或小组.在讨论解答完成后，让小组选代表阐述解题的步骤、思路并展示自己小组所做的长方形(或正方形)，指导学生反思各组的解答过程并讨论：解决这道题的关键是什么？从解这道题中你有何收获和体验、通过猜测、验证说明三个长方形面积变化的规律，教师及时引导学生给予评价，表扬鼓励，同时用多媒体展示解题步骤，进一步规范学生的解题格式.
解：(1)设此时长方形的宽为xm，则它的长为(x+1.4)m，
根据题意，得x+(x+1.4)=10×，
解这个方程，得x=1.8，
x+1.4=1.8+1.4=3.2，
此时长方形的长为3.2m，宽为1.8m.
(2)此时长方形的宽为xm，则它的长为(x+0.8)m，
根据题意，得x+(x+0.8)=10×、解这个方程，得x=2.1，
x+0.8=2.1+0.8=2.9，
此时长方形的长为2.9m，宽为2.1m，面积为2.1×2.9=6.09m2，(1)中长方形的面积为3、2×1.8=5.76m2，此时长方形的面积比(1)中长方形面积增大6.09－5.76=0.33m2.
(3)设正方形的边长为xm，
根据题意，得4x=10×，解这个方程，得x=2.5，
正方形的边长为2.5m，
正方形的面积为2.5×2.5=6.25m2，比(2)中面积增大6.25－6.09=0.16m2.
教师：我们解答这个题的关键是我们在改变长方形的长和宽的同时，长方形的周长不变，始终是铁丝的长度10米，由此便可建立“等量关系”，但是我们可以发现，虽然长方形的周长不变，改变长方形的长和宽，长方形的面积却在发生变化，而且围成正方形的时候面积达到最大.
设计意图：通过例题让学生再次感受找到题目中的等量关系是列方程解应用题的关键，让学生经历知识的探索、发现、掌握、应用的过程、使学生体验“数学化”过程，使学生在实际动手计算、制作中体验合作的愉快及成功的喜悦，进一步理性地感受上一个环节中得出的结论，培养学生数学思考的严谨性，判断推理的科学性，语言表述的准确性.
三、训练反馈，应用提升
1、问答题
(1)小明家离学校有1000米，他骑车的速度是25米/分，那么小明从家到学校需___小时.
(2)甲、乙两地相距1600千米，一列火车从甲地出发去乙地，经过16小时，距离乙地还有240千米.这列火车每小时行驶多少千米？
2、抢答题
(1)用一元一次方程解决问题的基本步骤：____________.
(2)行程问题主要研究、三个量的关系.
路程=_____，速度=_____，时间=_____.
(3)若小明每秒跑4米，那么他10秒跑___米.
自主学习
例：小明早晨要在7：50以前赶到距家1000米的学校上学，一天，小明以80m/min的速度出发，5min后，小明的爸爸发现他忘了带语文书，于是，爸爸立即以180m/min的速度去追小明，并且在途中追上了他.
(1)爸爸追上小明用了多长时间？
(2)追上小明时，距离学校还有多远？
独立思考，完成上面的问题.
1、根据题目已知条件，画出线段图：
2、找出等量关系：
小明走过的路程＝爸爸走过的路程.
3、板书规范写出解题过程：
解：(1)设爸爸追上小明用了xmin.
根据题意，得80×5＋80x=180x
化简得100x=400.
解得，x=4.
因此，爸爸追上小明用了4min.
(2)180×4=720(m)
1000-720=280(m)
所以，追上小明时，距离学校还有280米.
(学生独立完成，找到等量关系并列出方程，教师巡视学生并给予检查和指导.请书写规范的学生到前面板演，并讲解其解题思路，其他同学对照黑板谈谈自己的不足之处.)
分析出发时间不同的追及问题，能画出线段图，进行图形语言、符号语言与文字语言之间的相互转化，理解题中的等量关系，培养学生思维的灵活性，进一步列出方程，解决问题，既能娴熟使用“线段图”又能利用方程的思想解决问题.
课堂小结
教师：通过本节课的学习，你有哪些收获？还有那些困惑？
教学建议：先让学生畅所欲言，着重引导学生总结以下三个方面：
1、通过对“水箱变高了”的了解，我们知道“旧水箱的体积=新水箱的体积”，“变形前周长等于变形后周长”是解决此类问题的关键，即变的是什么，不变的是什么.
2、遇到较为复杂的实际问题时，我们可以借助表格分析问题中的等量关系，借此列出方程，并进行方程解的检验.
3、解出的数学问题要联系生活实际问题来检验它的结果的合理性.
4、会借“线段图”分析行程问题.
5、各种行程问题中的规律及等量关系.
同向追及问题：
(1)同时不同地——甲路程＋路程差＝乙路程；甲时间＝乙时间.
(2)同地不同时——甲时间＋时间差＝乙时间；甲路程＝乙路程.
6、能理解商品销售问题中的基本概念及相等关系，熟练地应用“利润=售价－成本价”“利润率=利润÷成本价×100%”来寻找商品销售中的相等关系.
7、能联系以前研究过的问题，加深理解用一元一次方程解决实际问题的一般步骤.
- 1 -5.3解一元一次方程（2）
教学目标
【知识与能力】
1．能够正确的去括号解一元一次方程；
2. 会正确去分母解一元一次方程。
【过程与方法】
按照相应步骤解一元一次方程，养成程序化的思考习惯，提高运算能力。
【情感态度价值观】
1.感受数学与生活的联系,认识数学来源于生活,又服务于生活.
2.激发学生浓厚的学习兴趣,使学生有独立思考,勇于创新的精神,养成按客观规律办事的良好习惯.
教学重难点
【教学重点】
正确的去括号、去分母解一元一次方程.
【教学难点】
准确的解括号外面含有负因数的一元一次方程.
课前准备
无
教学过程
教学过程
内容及流程 学生活动
练一练（5分钟） 1、解方程： 6x-7=4x -5 2、去括号法则是什么？ 3、 移项法解方程的一般步骤是什么？移项要注意什么？ 二、【自学与探究】 （一）自学教材154页例题3，独立完成例题，3分钟后交流。 1.解方程：6(2x-5）+20=4（1-2x） 解：去括号，得 移项，得 合并同类项，得 方程两边同除以，得 由此你能总结出解含有括号的一元一次方程的一般步骤吗？ 2、跟踪训练： ⑴、解下列方程： 1）11x+1=5(2x+1) 2 ）4x-3(20-x)=3 ⑵、判断下列解方程是否正确？若有错误请改正。 解方程： 4-(3-2x)=3 改正： 解：去括号，得 4-3-2x=3 合并同类项，得 -2x=2 两边同除以-2，得 x=-1 2 （二）试着做做，时间2分钟。 解方程： （三）自学教材154页例题4，独立完成例题，3分钟后交流。 1、解方程： 解：去分母，两边都乘以，得 去括号，得 移项 ， 得 合并同类项，得 系数化为1，得 由此你能总结出解一元一次方程的一般步骤吗？ 2、跟踪训练： ⑴ 解下列方程： （1）（2） 3.小明是个“小马虎”下面是他做的题目，我们看看对不对？如果不对，请帮他改正。 （1）方程去分母，得； （2）方程去分母，得； （3）方程去分母，得 ； （4）方程去分母，得。 三、【课堂小结】：解一元一次方程的一般步骤为： 四、【达标检测】时间10分钟（1题2分，2题每题4分，计10分） 1. 方程去分母得（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．以上均不对 2.解下列方程： （1）12（2-3x）=4x+4 （2） 3.（选做） 方程的解是，则的值是（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 5分钟独立完成训练。 看书后，独立完成例题，3分钟后以小组为单位思考、
讨论、 探索， 各抒己见。 学生经历计算、思考、讨论、 交流、 合作的过程。指定每组3号板演。 每组4、5号板演，并交流讨论。 独立完成“试着做做” 学生经历计算、思考的过程。 看书后，独立完成例题，3分钟后以小组为单位思考、
讨论、 探索， 各抒己见。 学生经历计算、思考、讨论、 交流、 合作的过程。指定每组3号板演。 学生独立思考完成，每组2、3号板演，板演后交流讨论。 学生独立思考完成，然后小组讨论 先由学生总结发言，然后教师引导总结 学生独立思考完成，
- 1 -5.3解一元一次方程（1）
教学目标
【知识与能力】
1、通过具体的例子，归纳移项法则。
2、会运用移项、合并同类项解一元一次方程。
【过程与方法】
通过移项解一元一次方程，体会转化思想。
【情感态度价值观】
1.感受数学与生活的联系,认识数学来源于生活,又服务于生活.
2.激发学生浓厚的学习兴趣,使学生有独立思考,勇于创新的精神,养成按客观规律办事的良好习惯.
教学重难点
【教学重点】
会运用移项、合并同类项解一元一次方程.
【教学难点】
会运用移项、合并同类项解一元一次方程.
课前准备
无
教学过程
教 学 过 程
内容及流程 学生活动
练一练：（5分钟） 用等式性质解方程 （1）x-9=8； （2）3x+1=4； 二．教学过程（30分钟） 阅读教材：教材151页完成下列问题 （一）自主探究：（10分钟） 1、移项的概念： 方程中的任何一项，都可以在，从方程的一边移到另一边，这种变形叫 . 2、移项应特别注意： 3、理解移项的概念 解方程：4x-2=10 方程两边，得 也就是 4x=10+2 比较这个方程与原方程，可以发现，这个变形相当于 4x-2=10 4x=10+2 归纳：即把方程中的-2改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫移项. 因此，方程4x-2=10也可以这样解： 解:移项，得 化简，得 方程两边同除以4，得 跟踪训练：（5分钟）解方程：2x+6=1 解：移项，得 化简，得 方程两边，得 阅读教材152—153页完成下列问题 自主探究（5分钟） 例1 3x+7=32-2x 解：移项，得 3x+2x=32－ 7 合并同类项，得 5x=25 将x的系数化为1，得 x=5 跟踪训练：（5分钟）解方程3x-7+4x=6x-2 （三）总结反思：（5分钟）谈谈你的收获： 达标检测（10分钟，总分10分） 1、下面的移项对不对？如果不对，错在哪里？应当怎样改正？ （1）从3x+6=0得到3x=6； (2)从2x=x－1得到2x= 1－x (3)从2+x－3=2x+1得到2－3－1=2x－x。 2．解方程： （1）6x-7=4x -5 （2）x-6 =x （3）3x+5=4x+1 （4）9-3y=5y+5 *3、若3x3ym－1与－xn+1y3是同类项，请求出 m,n的值。 学生独立完成，完成后随机抽取学生答案展示 学生自学，在学案上填空后，小组交流，总结出一项移项法则 学生填空后，总结一元一次方程的解法 独立完成 学生自学例一后，独立完成跟踪训练 限时，独立，付分
- 1 -5.2等式的基本性质
教学目标
【知识与能力】
1.理解并掌握等式的基本性质.
2.理解方程是等式,能根据等式的基本性质求一元一次方程的解.
3.理解并掌握移项的法则.
【过程与方法】
1.让学生经历知识的形成过程,培养学生自主探索和相互合作的能力.
2.初步体验解方程的化归思想.
【情感态度价值观】
1.感受数学与生活的联系,认识数学来源于生活,又服务于生活.
2.激发学生浓厚的学习兴趣,使学生有独立思考,勇于创新的精神,养成按客观规律办事的良好习惯.
教学重难点
【教学重点】
理解和应用等式的基本性质.
【教学难点】
应用等式的基本性质解简单的一元一次方程.
课前准备
无
教学过程
新课导入
同学们，你们认识天平吗，请看大屏幕，这就是天平，谁来介绍一下天平的是如何工作的，
什么情况下天平是平衡的，观察大屏幕上的天平，说一说你想到的，教师展示课件上天平的工作原理
自主探究，新知构建
活动1 等式的基本性质
1.感受等式的基本性质.
游戏一:
如图所示,此时天平架是平衡的.在托盘上增加或减少一定数量的砝码,使其仍保持平衡.请你最少摆出5种不同的平衡形式,并说明保持平衡的道理.
通过游戏,我们可认识到什么
活动提示:
(1)天平两端放置同类型的砝码,怎样使天平平衡
(2)天平两端放置不同类型的砝码,怎样使天平平衡
(3)在天平有砝码保持平衡的情况下,怎样增加砝码可以使天平继续保持平衡
(4)在天平有砝码保持平衡的情况下,怎样减少砝码可以使天平继续保持平衡
(5)请你思考使天平平衡,增加或减少砝码有什么规律
[设计意图] 天平游戏可以往两端添加等量的砝码,又可以取走等量的砝码.其中蕴含了等式关于加、减、乘、除的基本性质.
2.总结等式的基本性质.
(1)等式的两边加上(或减去)同一个数或同一个整式,结果仍是等式,即如果a=b,那么a±c=b±c.
(2)等式的两边乘(或除以)同一个数(除数不等于0),结果仍是等式,即如果a=b,那么ac=bc.
[处理方式] 根据等式的基本性质,分别设置两种不同的平衡形式.
活动2 天平的平衡与解方程
如图所示,天平架是平衡的.如果一个黄砝码的质量为1 g,一个蓝砝码的质量为x g,请你观察下面的操作过程,并说出1个蓝砝码的质量是多少克.
解释过程(1):
图中的平衡现象,用方程可表示为3x+1=x+5.
解释过程(2):
方程两边同时减去1.
方程变为3x+1 - 1=x+5 - 1,即3x=x+4.
解释过程(3):
方程两边同时减去x.
方程变为3x - x=x+4 - x,即2x=4.
解释过程(4):
方程两边同时除以2.
方程变为×2x=×4,即x=2.
思考:为什么根据等式的基本性质可以求方程的解
总结:方程是等式,根据等式的基本性质可以求方程的解.
活动3 例题讲解
解方程x+3=8.
解:两边都减去3,得x+3 - 3=8 - 3.
所以x=8 - 3,即x=5.
在解上面的方程时,用到如下框图所示的步骤:
思考:(1)什么是移项
在解方程的过程中,等号的两边加上(或减去)方程中某一项的变形过程,相当于将这一项改变符号后,从等号的一边移到另一边.这种变形过程叫做移项.
(2)移项的目的是什么
移项的目的是为了合并同类项.
(3)解方程的过程中,通常怎样移项
移项通常是将方程中含有未知数的项移到等式的一边,将常数项移到等式的另一边.
[知识拓展] (1)方程是含有未知数的等式,所以可以利用等式的基本性质解方程.
(2)利用等式的基本性质解一元一次方程,也就是通过正确的变形,将方程化成未知数的系数为1的形式,即x=a的形式.
课堂总结
理解等式的基本性质是对等式变形的重要理论依据,应用时需要把握两点:
(1)等式两边变形做到两个“同”,即同加、同减、同乘或同除以,是第一个“同”,另一个是同一个数(或整式);
(2)等式的基本性质2中,当两边同除以某一个数时,此数不能为0,这一点容易忽略,需要特别注意.
- 1 -5.1一元一次方程
教学目标
【知识与能力】
理解一元一次方程的概念，会识别一元一次方程.
【过程与方法】
了解方程的解，会验证方程的解.
【情感态度价值观】
培养学生会设出未知数，根据问题寻找相等关系，再根据相等关系列出方程的能力.
教学重难点
【教学重点】
一元一次方程和方程的解的概念.
【教学难点】
怎样根据问题寻找相等关系，从而列方程解决实际问题.
课前准备
无
教学过程
教学过程 设计意图
一、设置情境，导入新课 问题：小明、小红的年龄和是25，小明年龄的2倍比小红的年龄大8岁，小明、小红的年龄各是几岁？ 如果设小明的年龄为x岁，你能用不同的方法表示小红的年龄吗？ 在学生回答的基础上，教师加以引导：小红的年龄可以用两个不同的式子25－x和2x－8来表示，这说明许多实际问题中的数量关系可以用含字母的式子来表示，由于这两个不同的式子表示的是同一个量，因此又可以写成：25－x＝2x－8，这样就得到了一个含有未知数的等式. 教师点拨。归纳：含有未知数的等式叫做方程. 怎样根据问题中的数量关系列出方程？怎样解方程？
二、师生互动，探究新知 某市举行中学生足球比赛，规定平局时不再进行加时赛，并且按胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分计分，实验中学男子足球队参加了10场比赛，只负了1场，共得了21分，这支足球队胜了几场？ 分析：该校足球队得分满足相等关系： 3×胜的场数＋1×平的场数＋0×负的场数＝21. 能据此列出方程吗？ 列方程时，要先设字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含未知数的等式——方程. 列方程的过程可以表示如下： 分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法. (一)一元一次方程的概念 例 根据下列问题，设未知数并列出方程. (1)用一根长24cm的铁线围成一个正方形，正方形的边长是多少？ (2)今有鸡兔同在一个笼子里，上面有三十五个头，下面有九十四只足，问鸡兔各有多少只？ (3)某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？ 解：(1)设正方形的边长为xcm，可列方程4x＝24①. (2)设鸡有x只，那么兔子有(35－x)只；鸡的足数＋兔子的足数＝94只，所以2x＋4(35－x)＝94②. (3)设这个学校的学生人数为x人，那么女生人数为0.52x人，男生人数为(1－0.52)x人.可列方程0.52x－(1－0.52)x＝80③. 观察方程①②③，它们有什么共同的特点？ 生答：只含有一个未知数；所含未知数的项的次数是1. 方程中含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程 思考：下列式子中，哪些是一元一次方程？ (1)2x＋3；(2)2×6＝12；(3)x－3＝2；(4)＋3x＝5；(5)y＝0. (二)方程的解 列方程是解决实际问题的一种方法，利用方程可以解出未知数. 想一想：(1)x等于多少时，方程①的左右两边相等？ (2)x＝23能使方程②的左右两边相等吗？ 总结：能使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解. 思考：x＝2是方程3x－1＝2x＋1的解吗？为什么？
三、运用新知，解决问题 教材第147页练习第1，2题.
四、课堂小结，提炼观点 1.怎样用方程解决实际问题？ 2.什么叫一元一次方程？ 3.什么是方程的解？你怎样知道某个未知数的值是方程的解？
五、布置作业，巩固提升 教材第148页习题A组第3，4题，B组第1，2题.
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