沪教版(上海)九下 第二十七章圆与正多边形章节测试练习题(精选，含解析)

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九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形章节测试
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的 ( http: / / www.21cnjy.com )位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。21世纪教育网版权所有
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，点A、B、C在⊙O上，∠BAC＝56°，则∠BOC的度数为（ ）
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A．28° B．102° C．112° D．128°
2、如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（ ）
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A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断
3、计算半径为1，圆心角为的扇形面积为（ ）
A． B． C． D．
4、某村东西向的废弃小路/两 ( http: / / www.21cnjy.com )侧分别有一块与l距离都为20 m的宋代碑刻A，B，在小路l上有一座亭子P． A，P分别位于B的西北方向和东北方向，如图所示．该村启动“建设幸福新农村”项目，计划挖一个圆形人工湖，综合考虑景观的人文性、保护文物的要求、经费条件等因素，需将碑刻A，B原址保留在湖岸（近似看成圆周）上，且人工湖的面积尽可能小．人工湖建成后，亭子P到湖岸的最短距离是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．20 m B．20m
C．（20 - 20）m D．（40 - 20）m
5、如图，AB是⊙O的直径，弦，，，则阴影部分图形的面积为（ ）
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A． B． C． D．
6、如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝37°，则∠AOB的度数是（ ）
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A．73° B．74° C．64° D．37°
7、如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A，B两点，连结AO，BO，则∠AOB的度数是（　　）21·世纪*教育网
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A．30° B．60° C．80° D．90°
8、如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于M，则下列结论不一定成立的是（　　　　）
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A．AM=BM B．CM=DM C． D．
9、如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分图形的周长为（　　）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．2π B．4π C．2π+12 D．4π+12
10、如图，在平面直角坐标系xOy中， ( http: / / www.21cnjy.com )点A（0，3），点B（2，1），点C（2，－3）．则经画图操作可知：△ABC的外接圆的圆心坐标是（ ）
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A．（－2，－1） B．（－1，0） C．（－1，－1） D．（0，－1）
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，在中，，是内的一个动点，满足．若，，则长的最小值为_______．
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2、16.如图，平行四边形ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )，∠ACB = 30°，AC的垂直平分线分别交AC，BC，AD于点O，E，F，点P在OF上，连接AE，PA，PB.若PA = PB，现有以下结论：
①△PAB为等边三角形；
②△PEB∽△APF；
③∠PBC - ∠PAC = 30°；
④EA = EB + EP
其中一定正确的是______（写出所有正确结论的序号）
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3、如图，四边形ABCD内接于圆，E为CD延长线上一点， 图中与∠ADE相等的角是 _________ ．
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4、小明烘焙了几款不同口味的饼干， ( http: / / www.21cnjy.com )分别装在同款的圆柱形盒子中．为区别口味，他打算制作“** 饼干”字样的矩形标签粘贴在盒子侧面．为了获得较好的视觉效果，粘贴后标签上边缘所在弧所对的圆心角为90°（如图）．已知该款圆柱形盒子底面半径为6 cm，则标签长度l应为_______ cm．（π取3.1）
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5、如图，以矩形的对角线为直径画圆，点、在该圆上，再以点为圆心，的长为半径画弧，交于点．若，．则图中影部分的面积和为 __（结果保留根号和．
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三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，将一个直径AB等于12厘米的半圆绕着点A逆时针旋转60°后，点B落到了点C的位置，半圆扫过部分的图形如阴影部分所示．21教育名师原创作品
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（1）阴影部分的周长；
（2）阴影部分的面积．（结果保留π）
2、如图，已知是的直径，是的切线，C为切点，交于点E，，，平分．
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（1）求证：；
（2）求、的长．
3、如图1，BC是⊙O的直径，点A，P在⊙O ( http: / / www.21cnjy.com )上，且分别位于BC的两侧（点A、P均不与点B、C重合），过点A 作AQ⊥AP，交PC 的延长线于点Q，AQ交⊙O于点D，已知AB＝3，AC＝4．
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（1）求证：△APQ∽△ABC．
（2）如图2，当点C为的中点时，求AP的长．
（3）连结AO，OD，当∠PAC与△AOD的一个内角相等时，求所有满足条件的AP的长．
4、如图，射线AB和射线CB ( http: / / www.21cnjy.com )相交于点B，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），且AB＝CB．点D是射线CB上的动点（点D不与点C和点B重合），作射线AD，并在射线AD上取一点E，使∠AEC＝α，连接CE，BE．
（1）如图①，当点D在线段CB上，α＝90°时，请直接写出∠AEB的度数；
（2）如图②，当点D在线段CB上，α＝120°时，请写出线段AE，BE，CE之间的数量关系，并说明理由；
（3）当α＝120°，tan∠DAB＝时，请直接写出的值．
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5、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过O、B、C三点，B、C坐标分别为（10，0）和（，﹣），以OB为直径的⊙A经过C点，直线l垂直x轴于B点．
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（1）求直线BC的解析式；
（2）求抛物线解析式及顶点坐标；
（3）点M是⊙A上一动点（ ( http: / / www.21cnjy.com )不同于O，B），过点M作⊙A的切线，交y轴于点E，交直线l于点F，设线段ME长为m，MF长为n，请猜想m n的值，并证明你的结论；【版权所有：21教育】
（4）若点P从O出发，以每秒一个单位的 ( http: / / www.21cnjy.com )速度向点B作直线运动，点Q同时从B出发，以相同速度向点C作直线运动，经过t（0＜t≤8）秒时恰好使△BPQ为等腰三角形，请求出满足条件的t值．
-参考答案-
一、单选题
1、C
【分析】
直接由圆周角定理求解即可．
【详解】
解：∵∠A＝56°，∠A与∠BOC所对的弧相同，
∴∠BOC＝2∠A＝112°，
故选：C．
【点睛】
此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．
2、B
【分析】
根据三点确定一个圆，圆心的确定方法：任意两点中垂线的交点为圆心即可判断．
【详解】
解；如图，分别连接AB、AC、BC，取任意两条线段的中垂线相交，交点就是圆心．
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故选：B．
【点睛】
本题考查已知圆上三点求圆心，取任意两条线段中垂线交点确定圆心是解题关键．
3、B
【分析】
直接根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】
故选：B．
【点睛】
本题考查了扇形的面积的计算，熟记扇形的面积公式是解题的关键．
4、D
【分析】
根据人工湖面积尽量小，故圆以AB为直径构造，设圆心为O，当O，P共线时，距离最短，计算即可．
【详解】
∵人工湖面积尽量小，
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∴圆以AB为直径构造，设圆心为O，
过点B作BC ⊥，垂足为C，
∵A，P分别位于B的西北方向和东北方向，
∴∠ABC=∠PBC=∠BOC=∠BPC=45°，
∴OC=CB=CP=20，
∴OP=40，OB==，
∴最小的距离PE=PO-OE=40 - 20（m），
故选D．
【点睛】
本题考查了圆的基本性质，方位角的意义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握圆中点圆的最小距离是解题的关键．
5、D
【分析】
根据垂径定理求得CE=ED=；然后由圆周角定理知∠COE=60°．然后通过解直角三角形求得线段OC，然后证明△OCE≌△BDE，得到求出扇形COB面积，即可得出答案．
【详解】
解：设AB与CD交于点E，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=2，如图，
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∴CE=CD=，∠CEO=∠DEB=90°，
∵∠CDB=30°，
∴∠COB=2∠CDB=60°，
∴∠OCE=30°，
∴，
∴，
又∵，即
∴，
在△OCE和△BDE中，
，
∴△OCE≌△BDE（AAS），
∴
∴阴影部分的面积S=S扇形COB=，
故选D．
【点睛】
本题考查了垂径定理、含30度角 ( http: / / www.21cnjy.com )的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，圆周角定理，扇形面积的计算等知识点，能知道阴影部分的面积=扇形COB的面积是解此题的关键．
6、B
【分析】
根据圆中同弧或等弧多对应的圆周角是圆心角的一半，可知∠AOB=2∠ACB=74°，即可得出答案．
【详解】
解：由图可知，
∠AOB在⊙O中为对应的圆周角，∠ACB在⊙O中为对应的圆心角，
故：∠AOB=2∠ACB=74°．
故答案为：B．
【点睛】
本题主要考查的是圆中的基本性质，同弧对应的圆周角与圆心角度数的关系，熟练掌握圆中的基本概念是解本题的关键．www.21-cn-jy.com
7、B
【分析】
延长AO交⊙O于点D，连接BD，根据圆周角 ( http: / / www.21cnjy.com )定理得出∠D=∠P=30°，∠ABD=90°，由直角三角形的性质可推得AB=BO=AO，然后根据等边三角形的判定与性质可以得解．
【详解】
解：如图，延长AO交⊙O于点D，连接BD，
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∵∠P=30°，
∴∠D=∠P=30°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∴AB=AD=AO=BO，
∴三角形ABO是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
故选B．
【点睛】
本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆周角定理、圆直径的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质是解题关键．2·1·c·n·j·y
8、B
【分析】
根据垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”进行判断即可得．
【详解】
解：∵弦AB⊥CD，CD过圆心O，
∴AM=BM，，，
即选项A、C、D选项说法正确，不符合题意，
当根据已知条件得CM和DM不一定相等，
故选B．
【点睛】
本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理．
9、D
【分析】
根据正多边形的外角求得内角的度数，进而根据弧长公式求得，即可求得阴影部分的周长．
【详解】
解：正六边形ABCDEF的边长为6，
阴影部分图形的周长为
故选D
【点睛】
本题考查了求弧长公式，求正多边形的内角，牢记弧长公式和正多边形的外角与内角的关系是解题的关键．
10、A
【分析】
首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心．www-2-1-cnjy-com
【详解】
解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
如图所示：EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．
故选：A
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【点睛】
此题考查了三角形外心的知识．注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点．解此题的关键是数形结合思想的应用．21·cn·jy·com
二、填空题
1、2
【分析】
取AC中点O，由勾股定理的逆定理可知∠ADC=90°，则点D在以O为圆心，以AC为直径的圆上，作△ADC外接圆，连接BO，交圆O于，则长的最小值即为，由此求解即可．
【详解】
解：如图所示，取AC中点O，
∵，即，
∴∠ADC=90°，
∴点D在以O为圆心，以AC为直径的圆上，
作△ADC外接圆，连接BO，交圆O于，则长的最小值即为，
∵，，∠ACB=90°，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．
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【点睛】
本题主要考查了一点到圆上一点的最短距离，勾股定理的逆定理，勾股定理，解题的关键在于确定点D的运动轨迹．
2、①③④
【分析】
根据等边三角形的性质、垂直平分线的性质逐项进行分析即可．
【详解】
连接PC
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①∵AC的垂直平分线分别交AC，BC，AD于点O，E，F
∴PA=PC，EF⊥AC，EA=EC
∵PA=PB，
∴PA=PB=PC
∴点A、B、C在以P为圆心的圆上
∴
∴△PAB为等边三角形；故①正确；
②∵∠ACB = 30°，EF⊥AC，EA=EC
∴
∴
∵△PAB为等边三角形
∴
∴
∴，故②错误；
③∵平行四边形ABCD中
∴AD∥BC
∴，,
∴△AEF为等边三角形
∵,
∴
∵
∴
即∠PBC - ∠PAC = 30°，故③正确；
∵△AEF、△PAB为等边三角形
∴
∴
∵EF=EP+PF=EA
∴EA=EB+EP，故④正确；
综上，一定正确的是①③④
故答案为：①③④
【点睛】
本题综合考查等边三角形的性质与判定、相似三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的判定、圆周角定理、平行四边形的性质，解题的关键是根据PA=PB=PC得到点A、B、C在以P为圆心的圆上．2-1-c-n-j-y
3、∠ABC
【分析】
根据圆内接四边形的性质可得，再由题意可得，由等式的性质即可得出结果．
【详解】
解：∵四边形ABCD内接于圆，
∴，
∵E为CD延长线上一点，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】
题目主要考查圆内接四边形的性质，熟练掌握这个性质是解题关键．
4、9.3
【分析】
根据弧长公式进行计算即可，
【详解】
解：粘贴后标签上边缘所在弧所对的圆心角为90°，底面半径为6 cm，
cm，
故答案为：
【点睛】
本题考查了弧长公式，牢记弧长公式是解题的关键．
5、
【分析】
设的中点为，连接，先求出，，则，，然后求出，最后根据求解即可．
【详解】
解：设的中点为，连接，
，四边形ABCD是矩形，
，∠ABC=90°，
又∵∠CAB=30°，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
∴．
故答案为：．
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【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，扇形面积公式，解题的关键在于能够根据题意得到．
三、解答题
1、
（1）16π
（2）24π
【分析】
（1）由阴影部分的周长＝两个半圆弧的长度+弧BC的长，利用弧长公式可求解；
（2）由面积的和差关系可求解．
（1）
解：阴影部分的周长＝2××2π×6+＝16π；
（2）
解：∵阴影部分的面积＝S半圆+S扇形BAC﹣S半圆＝S扇形BAC，
∴阴影部分的面积＝＝24π．
答：阴影部分的周长为16π，阴影部分的面积为24π．
【点睛】
本题考查了扇形的弧长公式和面积公式，如果扇形的圆心角是n°，扇形的半径为r，则扇形的弧长l的计算公式为：，扇形的面积公式：．21教育网
2、（1）90°；（2）AC=，DE=1
【分析】
（1）如图，，可知．
（2），可求出的长；，，可求出的长．
【详解】
解（1）证明如图所示，连接，，
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是直径，是的切线，平分
∴，
∴
∴．
（2）解∵，
∴
∴，
∴．
在中
∵，
∴
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了角平分线、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定等知识点．解题的关键在于判定三角形相似．【出处：21教育名师】
3、（1）见解析；（2）（3）当，时，；当时，．
【分析】
（1）通过证，，即可得；
（2）先证是等腰直角三角形，求，通过，得，求CQ长，即可求PQ得长，通过，即可得，即可求AP．
（3）分类讨论， ，，，三种情况讨论，再通过勾股定理和相似即可求解．
【详解】
证明：（1）∵AQ⊥AP
∴
∵BC是⊙O的直径
∴
∴
∵
∴
（2）如图，连接CD，PD
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∵BC是⊙O的直径
∴
∵AB＝3，AC＝4
∴利用勾股定理得：,即直径为5
∵
∴
∴DP是⊙O的直径，且DP=BC=5
∵点C为的中点
∴CD=PC
∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴利用勾股定理得：,则
∵，
∴
∵
∴
∴，即：
∴
∴
∵
∴，即：
∴
（3）连接AO,OD，OP，CD，OD交AC于点M
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∵（已证）
∴OD,OP共线，为⊙O的直径
情况一：当时
∵，
∴
∴AP=PC
∵
∴
∴
∴即
∵AP=PC
∴
∴在中，
∴
∴在中，
情况二：当时，
∵
∴
∴
同情况一：
情况三：当时
∵，
∴
∴，
∵OA=OD
∴
∴
∴
综上所述，当，时，；当时，．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，垂径定理， ( http: / / www.21cnjy.com )圆的内接四边形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定等，是圆的综合题。解答此题的关键是，通过圆的性质，找到角与角、边与边之间的关系．
4、（1）45°；（2）AE＝BE+CE，理由见解析；（3）或
【分析】
（1）连接AC，证A、B、E、C四点共 ( http: / / www.21cnjy.com )圆，由圆周角定理得出∠AEB＝∠ACB，证出△ABC是等腰直角三角形，则∠ACB＝45°，进而得出结论；21*cnjy*com
（2）在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，证△ABF≌△CBE（SAS），得出∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，由等腰三角形的性质得出FH＝EH，由三角函数定义得出FH＝EH＝BE，进而得出结论；
（3）分两种情况，由（2）得FH＝EH＝BE，由三角函数定义得出AH＝3BH＝BE，分别表示出CE，进而得出答案．
【详解】
解：（1）连接AC，如图①所示：
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∵α＝90°，∠ABC＝α，∠AEC＝α，
∴∠ABC＝∠AEC＝90°，
∴A、B、E、C四点共圆，
∴∠AEB＝∠ACB，
∵∠ABC＝90°，AB＝CB，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝45°，
∴∠AEB＝45°；
（2）AE＝BE+CE，理由如下：
在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图②所示：
∵∠ABC＝∠AEC，∠ADB＝∠CDE，
∴180°﹣∠ABC﹣∠ADB＝180°﹣∠AEC﹣∠CDE，
∴∠A＝∠C，
在△ABF和△CBE中，
，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，
∴∠ABF+∠FBD＝∠CBE+∠FBD，
∴∠ABD＝∠FBE，
∵∠ABC＝120°，
∴∠FBE＝120°，
∵BF＝BE，
∴∠BFE＝∠BEF＝，
∵BH⊥EF，
∴∠BHE＝90°，FH＝EH，
在Rt△BHE中，，
∴，
∵AE＝EF+AF，AF＝CE，
∴；
（3）分两种情况：
①当点D在线段CB上时，在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图②所示，
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由（2）得：FH＝EH＝BE，
∵tan∠DAB＝，
∴，
∴，
∴；
②当点D在线段CB的延长线上时，在射线AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图③所示，21cnjy.com
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同①得：，
∴，
∴＝；
综上所述，当α＝120°，时，的值为或．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了全 ( http: / / www.21cnjy.com )等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理、三角函数定义等知识；本题综合性强，构造全等三角形是解题的关键．21*cnjy*com
5、（1）yx；（2）抛物线的解析式为：yx2x，顶点坐标为（5，）；（3）m n＝25；（4）或5或．
【分析】
（1）用待定系数法即可求得；
（2）应用待定系数法以及顶点公式即可求得；
（3）连接AE、AM、AF，则AM⊥EF，证得Rt△AOE≌RT△AME，求得∠OAE＝∠MAE，同理证得∠BAF＝∠MAF，进而求得∠EAF＝90°，然后证明△EMA∽AMF，得到,即可求得．
（4）分三种情况分别讨论，①当 ( http: / / www.21cnjy.com )PQ＝BQ时，作QH⊥PB，得到△BHQ∽△BOP，求出直线BC解析式，得到HB：BQ＝4：5；即可求得，②当PB＝QB时，则10﹣t＝t即可求得，③当PQ＝PB时，作QH⊥OB，根据勾股定理即可求得．
【详解】
解：（1）设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∵直线BC经过B、C，
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为：yx；．
（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过O、B、C三点，B、C坐标分别为（10，0）和（，），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：2；
∴5，2525，
∴顶点坐标为（5，）；
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（3）m n＝25；
如图2，连接AE、AM、AF，则AM⊥EF，
在Rt△AOE与Rt△AME中
∴Rt△AOE≌Rt△AME（HL），
∴∠OAE＝∠MAE，
同理可证∠BAF＝∠MAF，
∴∠EAF＝90°，
∴∠EAM+∠FAM=90°，
∵EF为⊙A切线，
∴AM⊥EF，
∴∠EMA=∠FMA=90°，
∴∠AEM+∠EAM=90°，
∴∠AEM=∠MAF，
∴△EMA∽AMF，
∴,
∴AM2＝EM FM，
∵AMOB＝5，ME＝m，MF＝n，
∴m n＝25；
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（4）如图3．有三种情况；
①当PQ＝BQ时，作QH⊥PB,垂足为H，
则△BHQ∽△BOP，
设直线BC解析式为y=px+q，
∵B、C坐标分别为（10，0）和（，﹣）
∴，
∴，
∴直线BC的解析式为，
∴点P坐标为（0，-），
∵△BHQ∽△BOP，
∴,
∴HQ：BQ＝3：5，HB：BQ＝4：5；
∵HB＝（10﹣t），BQ＝t，
∴，
解得；，
②当PB＝QB时，则10﹣t＝t，
解得t＝5，
③当PQ＝PB时，作QH⊥OB，则PQ＝PB＝10﹣t，BQ＝t，HP﹣（10﹣t），QH；
∵PQ2＝PH2+QH2，
∴（10﹣t）2＝[﹣（10﹣t）]2+（）2；
解得．
综上所述，求出满足条件的t值有三个：或5或．
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【点睛】
本题考查了待定系数法求解析式，顶点坐标的求法，圆的切线的性质，数形结合分类讨论是本题的关键．
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