沪教版(上海)九下 第二十七章圆与正多边形章节训练试题(含详细解析)

中小学教育资源及组卷应用平台
九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形章节训练
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区 ( http: / / www.21cnjy.com )域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。21教育网
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、圆O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝4cm，则点A与圆O的位置关系为（　　）
A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定
2、如图，AB是⊙O的直径，弦，，，则阴影部分图形的面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
3、如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A，B两点，连结AO，BO，则∠AOB的度数是（　　）【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．30° B．60° C．80° D．90°
4、下列说法正确的是（ ）
A．等弧所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．过弦的中点的直线必过圆心
5、如图，四边形ABCD内接于，若，则的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．50° B．100° C．130° D．150°
6、如图，中，，，点O是的内心．则等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．124° B．118° C．112° D．62°
7、如图，点，，在上，是等边三角形，则的大小为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．60° B．40° C．30° D．20°
8、如图，CD是的高，按以下步骤作图：
（1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于G、H两点．
（2）作直线GH交AB于点E．
（3）在直线GH上截取．
（4）以点F为圆心，AF长为半径画圆交CD于点P．
则下列说法错误的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
9、如图，为的直径，为外一点，过作的切线，切点为，连接交于，，点在右侧的半圆周上运动（不与，重合），则的大小是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．19° B．38° C．52° D．76°
10、已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法确定
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，已知PA、PB是⊙O ( http: / / www.21cnjy.com )的两条切线，点A、点B为切点，线段OP交⊙O于点M．下列结论：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④点M是△AOP外接圆的圆心．其中正确的结论是_____（填序号）．【版权所有：21教育】
( http: / / www.21cnjy.com / )
2、如图，点C是半圆上一动点，以BC为边作正方形BCDE（使在正方形内），连OE，若AB＝4cm，则OE的最大值为_____cm．21教育名师原创作品
( http: / / www.21cnjy.com / )
3、边长为2的正三角形的外接圆的半径等于___．
4、若一个扇形的半径是18cm，且它的弧长是，则此扇形的圆心角等于______．
5、一个扇形的面积是3πcm2，圆心角是60°，则此扇形的半径是______cm．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，已知正方形 ABCD 的边长 ( http: / / www.21cnjy.com )为4，以点 A 为圆心，1为半径作圆，点 E 是⊙A 上的一动点，点 E 绕点 D 按逆时针方向转转 90°，得到点 F，接 AF．21*cnjy*com
（1）求CF长；
（2）当A、E、F三点共线时，求EF长；
（3） AF的最大值是__________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
2、如图，已知等边内接于⊙O，D为的中点，连接DB，DC，过点C作AB的平行线，交BD的延长线于点E．21*cnjy*com
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AB的长为6，求CE的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
3、新定义：在一个四边形中，若有 ( http: / / www.21cnjy.com )一组对角都等于90°，则称这个四边形为双直角四边形．如图1，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，那么四边形ABCD就是双直角四边形．21·cn·jy·com
（1）若四边形ABCD是双直角四边形，且AB＝3，BC＝4，CD＝2，求AD的长；
（2）已知，在图2中，四边形ABCD内接与⊙O，BC＝CD且∠BAC＝45°；
①求证：四边形ABCD是双直角四边形；
②若AB＝AC，AD＝1，求AB的长和四边形ABCD的面积．
( http: / / www.21cnjy.com / )
4、如图，在平面直角坐标系中，有抛物线，已知OA =OC =3OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求过A，B，C三点的圆的半径；
（3）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，说明理由；
( http: / / www.21cnjy.com / )
5、已知AB是⊙O的直径，点C是圆O上一点，点P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P＝∠BAC．
（1）求证：PA为⊙O的切线；
（2）如果OP＝AB＝6，求图中阴影部分面积．
( http: / / www.21cnjy.com / )
-参考答案-
一、单选题
1、B
【分析】
根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【详解】
解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，
即点A到圆心O的距离小于圆的半径，
∴点A在⊙O内．
故选：B．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外 d＞r；点P在圆上 d=r；点P在圆内 d＜r．
2、D
【分析】
根据垂径定理求得CE=ED=；然后由圆周角定理知∠COE=60°．然后通过解直角三角形求得线段OC，然后证明△OCE≌△BDE，得到求出扇形COB面积，即可得出答案．
【详解】
解：设AB与CD交于点E，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=2，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴CE=CD=，∠CEO=∠DEB=90°，
∵∠CDB=30°，
∴∠COB=2∠CDB=60°，
∴∠OCE=30°，
∴，
∴，
又∵，即
∴，
在△OCE和△BDE中，
，
∴△OCE≌△BDE（AAS），
∴
∴阴影部分的面积S=S扇形COB=，
故选D．
【点睛】
本题考查了垂径定理、含30度角的直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质，全等三角形的性质与判定，圆周角定理，扇形面积的计算等知识点，能知道阴影部分的面积=扇形COB的面积是解此题的关键．
3、B
【分析】
延长AO交⊙O于点D，连接BD，根据圆周角 ( http: / / www.21cnjy.com )定理得出∠D=∠P=30°，∠ABD=90°，由直角三角形的性质可推得AB=BO=AO，然后根据等边三角形的判定与性质可以得解．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
解：如图，延长AO交⊙O于点D，连接BD，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠P=30°，
∴∠D=∠P=30°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∴AB=AD=AO=BO，
∴三角形ABO是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
故选B．
【点睛】
本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆周角定理、圆直径的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质是解题关键．21cnjy.com
4、A
【分析】
根据圆周角定理，垂径定理的推论，圆心角、弧、弦的关系，对称轴的定义逐项排查即可．
【详解】
解：A. 同弧或等弧所对的圆周角相等，所以A选项正确；
B.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以B选项错误；
C、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以C选项错误；
D.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以D选项错误.
故选A.
【点睛】
本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系,轴对称图形，垂径定理，圆周角定理等知识点．灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
5、B
【分析】
根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，根据圆周角定理计算即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠DCB=180°，
∵∠DCB=130°，
∴∠A=50°，
由圆周角定理得，=2∠A=100°，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
6、B
【分析】
根据三角形内心的性质得到∠OBC=∠ABC=25°，∠OCB=∠ACB=37°，然后根据三角形内角和计算∠BOC的度数．
【详解】
解：∵点O是△ABC的内心，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC=×50°=25°，∠OCB=∠ACB=×74°=37°，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-25°-37°=118°．
故选B．
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆与内心： ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点，三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
7、C
【分析】
由为等边三角形，得：∠AOB=60°，再根据圆周角定理，即可求解．
【详解】
解：∵为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴=∠AOB =×60°=30°．
故选C．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．
8、C
【分析】
连接AF、BF，由作法可知，FE垂直平分AB，再根据可得∠AFE=45°，进而得出∠AFB＝90°，根据等腰直角三角形和圆周角定理可判断哪个结论正确．
【详解】
解：连接AF、BF，由作法可知，FE垂直平分AB，
∴，故A正确；
∵CD是的高，
∴，故B正确；
∵，，
∴，故C错误；
∵，
∴∠AFE=45°，
同理可得∠BFE=45°，
∴∠AFB＝90°，
，故D正确；
故选：C．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了作垂直平分线和圆周角定理，解题关键是明确作图步骤，熟练运用垂直平分线的性质和圆周角定理进行推理证明．www-2-1-cnjy-com
9、B
【分析】
连接 由为的直径，求解 结合为的切线，求解 再利用圆周角定理可得答案.
【详解】
解：连接 为的直径，
( http: / / www.21cnjy.com / )
为的切线，
故选B
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定 ( http: / / www.21cnjy.com )理，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，切线的性质定理，熟练运用以上知识逐一求解相关联的角的大小是解本题的关键.2·1·c·n·j·y
10、A
【分析】
根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点P与⊙O的位置关系．
【详解】
解：∵⊙O的半径分别是3，点P到圆心O的距离为4，
∴d＞r，
∴点P与⊙O的位置关系是：点在圆外．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了点与圆的位置关系，准确分析判断是解题的关键．
二、填空题
1、①②③
【分析】
根据切线长定理判断①，结合等腰三角形的性质判断②，利用切线的性质与直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，可判断③，利用反证法判断④．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：如图， 是的两条切线，
故①正确，
故②正确，
是的两条切线，
取的中点，连接，则
∴以为圆心，为半径作圆，则共圆，故③正确，
M是外接圆的圆心，
与题干提供的条件不符，故④错误，
综上：正确的说法是①②③．
故填①②③．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题属于圆的综合题，主要考查的是切线长定理、三角形的外接圆、四边形的外接圆等知识点，综合运用圆的相关知识是解答本题的关键．21·世纪*教育网
2、
【分析】
如图，连接OD，OE，OC，设DO与⊙O ( http: / / www.21cnjy.com )交于点M，连接CM，BM，通过△OCD≌△OBE（SAS），可得OE＝OD，通过旋转观察如图可知当DO⊥AB时，DO最长，此时OE最长，设DO与⊙O交于点M，连接CM，先证明△MED≌△MEB，得MD＝BM．再利用勾股定理计算即可．2-1-c-n-j-y
【详解】
解：如图，连接OD，OE，OC，设DO与⊙O交于点M，连接CM，BM，
∵四边形BCDE是正方形，
∴∠BCD＝∠CBE＝90°，CD＝BC＝BE＝DE，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠BCD+∠OCB＝∠CBE+∠OBC，即∠OCD＝∠OBE，
∴△OCD≌△OBE（SAS），
∴OE＝OD，
根据旋转的性质，观察图形可知当DO⊥AB时，DO最长，即OE最长，
∵∠MCB＝∠MOB＝×90°＝45°，
∴∠DCM＝∠BCM＝45°，
∵四边形BCDE是正方形，
∴C、M、E共线，∠DEM＝∠BEM，
在△EMD和△EMB中，
，
∴△MED≌△MEB（SAS），
∴DM＝BM＝＝＝2（cm），
∴OD的最大值＝2+2，即OE的最大值＝2+2；
故答案为：（2+2）cm．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，圆周角定理等知识，解题的关键是OD取得最大值时的位置，学会通过特殊位置探究得出结论．
3、
【分析】
过圆心作一边的垂线，根据勾股定理可以计算出外接圆半径．
【详解】
( http: / / www.21cnjy.com / )
如图所示，是正三角形，故O是的中心，，
∵正三角形的边长为2，OE⊥AB
∴，，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴(负值舍去)．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆，解题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合求解．
4、60°度
【分析】
根据变形为n=计算即可．
【详解】
∵扇形的半径是18cm，且它的弧长是，且
∴n===60°，
故答案为：60°．
【点睛】
本题考查了弧长公式，灵活进行弧长公式的变形计算是解题的关键．
5、
【分析】
设扇形的半径为再由扇形的面积公式列方程可得再解方程可得答案.
【详解】
解：设扇形的半径为
则
解得：，
故答案为：
【点睛】
本题考查的已知扇形的面积求解扇形的半径，熟记扇形的面积公式是解本题的关键.
三、解答题
1、（1）1；（2）或；（3）
【分析】
（1）连接AE，根据同角的余角相等可得：，利用全等三角形的判定定理可得：，再由其性质即可得解；
（2）分两种情况讨论：①当点E在正方形内部时，点A、E、F三点共线时，AF与圆C相切；②当点E在正方形外部时，点A、、三点共线时，与圆C相切；两种情况分别利用勾股定理进行求解即可得；
（3）根据题意判断出AF最大时，点C在AF上，根据正方形的性质求出AC，从而得出AF的最大值．
【详解】
解：（1）连接AE，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵，
即：，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）①如图所示：当点A、E、F三点共线时，AF与圆C相切，
( http: / / www.21cnjy.com / )
则，
，
，
∴，
∴；
②如图所示：当点A、、三点共线时，与圆C相切，
( http: / / www.21cnjy.com / )
则，
，
，
∴，
∴；
综合可得：当点A、E、F三点共线时，EF长为或；
（3）如图所示，点C在线段AF上，AF取得最大值，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
∵，
∴，
即：AF的最大值是，
故答案为：．
【点睛】
题目主要考查正方形的性质，切线及旋转的性质，勾股定理等，理解题意，画出相应辅助图形是解题关键．
2、（1）见解析；（2）3
【分析】
（1）由题意连接OC，OB，由等边三角形的性质可得∠ABC=∠BCE=60°，求出∠OCB=30°，则∠OCE=90°，结论得证；
（2）根据题意由条件可得∠DBC=30°，∠BEC=90°，进而即可求出CE=BC＝3．
【详解】
解：（1）证明：如图连接OC、OB．
∵是等边三角形
∴
∵
∴
又 ∵
∴
∴
∴
∴与⊙O相切；
（2）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴
∴
∵D为的中点，
∴
∴
∵
∴
∴
【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )、圆周角定理、圆内接四边形的性质、切线的判定以及直角三角形的性质等知识．解题的关键是正确作出辅助线，利用圆的性质进行求解．
3、（1）；（2）①见解析；②
【分析】
（1）连接BD，运用勾股定理求出BD和AD即可；
（2）①连接OB，OC，OD，证明BD是的直径即可；②过点D作于点E，设圆的半径为R，由勾股定理求出AB，AD，BC，CD的长，再根据运用三角形面积公式求解即可．
【详解】
解：（1）连接BD，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
在中，BC＝4，CD＝2，
∵
∴
在中，AB＝3，BD＝2 ，
∵
∴
（2）连接OB，OC，OD，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵
∴
在和中
∴≌
∴
∴O是线段BD的中点，
∴BD为的直径
∴
∴四边形ABCD是双直角四边形；
（3）过点D作于点E，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵
∴
∴是等腰直角三角形
在中，，
∵
∴
设圆的半径为R，
∵和均为等腰直角三角形，
∴
在中，
在中，
∵，
∴
解得，
∴
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，三角形面积计算等知识，灵活添加辅助线是解答本题的难点．
4、（1）y=-x2+2x+3；（2）；（3）点P（1，4）或（-2，-5）．
【分析】
（1）3=OC=OA=3OB，故点A、B、C的坐标分别为：（0，3）、（-1，0）、（3，0），即可求解；
（2）圆的圆心在BC的中垂线上，故设圆 ( http: / / www.21cnjy.com )心R（1，m），则RA=RC，即：1+（m-3）2=4+m2，解得：m=1，故点R（1，1），即可求解；
（3）分两种情况讨论，利用等腰直角三角形的性质，即可求解．
【详解】
解：（1）令x=0，则y=3，
则点A的坐标为（3，0），
根据题意得：OC=3=OA=3OB，
故点B、C的坐标分别为：（-1，0）、（3，0），
则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3），
把（3，0）代入得-3a=3，
解得：a=-1，
故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3；
（2）圆的圆心在BC的中垂线上，故设圆心R（1，m），
则RA=RC，即：1+（m-3）2=4+m2，解得：m=1，故点R（1，1），
则圆的半径为：；
（3）过点A、C分别作直线AC的垂线，交抛物线分别为P、P1，
( http: / / www.21cnjy.com / )
设点P(x，-x2+2x+3)，过点P作PQ⊥轴于点Q，
∵OA =OC，∠PAC=90°，
∴∠ACO=∠OAC=45°，
∵∠PAC=90°，
∴∠PAQ=45°，
∴△PAQ 是等腰直角三角形，
∴PQ=AQ=x，
∴AQ+AO=x+3=-x2+2x+3，
解得：(舍去)，
∴点P(1，4)；
设点P1(m，-m2+2m+3)，过点P1作P1D⊥轴于点D，
同理得△P1CD是等腰直角三角形，且点P1在第三象限，即m<0，
∴P1D=CD=m2-2m-3，DO=-m，
∴DO+OC= P1D，即-m+3= m2-2m-3，
解得：(舍去)，
∴点P(-2，-5)；
综上，点P（1，4）或（-2，-5）．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，圆的基本知识等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．21世纪教育网版权所有
5、（1）见解析；（2）3π﹣．
【分析】
（1）先由圆周角定理得∠ACB ( http: / / www.21cnjy.com )＝90°，则∠BAC+∠B＝90°．再由平行线的性质得∠AOP＝∠B，然后证∠P+∠AOP＝90°，则∠PAO＝90°，即可得证；www.21-cn-jy.com
（2）先证△OAP≌△BCA（AAS），得BC＝OA＝AB＝3，再由扇形面积减去三角形面积即可解决问题．
【详解】
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠B＝90°，
又∵OP∥BC，
∴∠AOP＝∠B，
∴∠BAC+∠AOP＝90°，
∵∠P＝∠BAC，
∴∠P+∠AOP＝90°，
∴∠PAO＝90°，
∴PA⊥OA，
∵OA是的⊙O的半径，
∴PA为⊙O的切线；
（2）解：如图，连接OC，
( http: / / www.21cnjy.com / )
由（1）得：∠PAO＝∠ACB＝90°，
在△OAP和△BCA中，
，
∴△OAP≌△BCA（AAS），
∴OP＝AB＝6，BC＝OA＝OC＝AB＝3，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∴S扇形AOC＝＝3π，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝30°，
∴OH＝OA＝，
∴AH＝，
∴AC＝2AH＝3，
∴S△AOC＝AC OH＝3×＝，
∴图中阴影部分面积＝S扇形AOC﹣S△AOC＝3π﹣．
【点睛】
本题考查了切线的证明和扇形面积的计算，解题关键是熟练掌握切线证明方法和扇形面积公式．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)