沪教版(上海)九下 第二十七章圆与正多边形定向测试试题(含解析)

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九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形定向测试
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相 ( http: / / www.21cnjy.com )应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。21·cn·jy·com
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，AB是的直径，的弦DC的延长线与AB的延长线相交于点P，于点E，，，则阴影部分的面积为（ ）www-2-1-cnjy-com
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A． B． C． D．
2、如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所含的圆周角，船在航行时，为保证不进入暗礁区，则船到两个灯塔A，B的张角应满足的条件是（ ）21*cnjy*com
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A． B．
C． D．
3、如图，有一个亭子，它的地基是边长为4m的正六边形，则地基的面积为（　　）
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A．4m2 B．12m2 C．24m2 D．24m2
4、如图，AB是⊙O的直径 ( http: / / www.21cnjy.com )，BD与⊙O相切于点B，点C是⊙O上一点，连接AC并延长，交BD于点D，连接OC，BC，若∠BOC＝50°，则∠D的度数为（　　）【出处：21教育名师】
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A．50° B．55° C．65° D．75°
5、如图，中，，，，点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，交于点，则图中阴影部分的面积是（ ）
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A． B． C． D．
6、如图，点A，B，C都在⊙O上，连接CA，CB，OA，OB．若∠AOB=140°，则∠ACB为（ ）
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A．40° B．50° C．70° D．80°
7、如图，点，，在上，是等边三角形，则的大小为（ ）
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A．60° B．40° C．30° D．20°
8、如图，的半径为，AB是的弦，于D，交于点C，且，弦AB的长为（ ）
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A． B． C． D．
9、下列说法中，正确的是（　　）
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．过任意三点可以画一个圆
C．周长相等的圆是等圆
D．平分弦的直径垂直于弦
10、如图，边长为4的正三角形外接圆，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分面积为（　　）
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A．12+2π B．4+π C．24+2π D．12+14π
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长为8π，则正六边形的边长为________．
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2、如图，在中，，是内的一个动点，满足．若，，则长的最小值为_______．
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3、如图，正方形ABCD的 ( http: / / www.21cnjy.com )边长为1，⊙O经过点C，CM为⊙O的直径，且CM＝1．过点M作⊙O的切线分别交边AB，AD于点G，H．BD与CG，CH分别交于点E，F，⊙O绕点C在平面内旋转（始终保持圆心O在正方形ABCD内部）．给出下列四个结论：【版权所有：21教育】
①HD＝2BG；②∠GCH＝45°；③H，F，E，G四点在同一个圆上；④四边形CGAH面积的最大值为2．其中正确的结论有 _____（填写所有正确结论的序号）．
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4、如图，在⊙O中，AC＝BD，若∠AOC＝120°，则∠BOD＝_____．
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5、如图，在边长为2的正方形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD 中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE＝CF，AE，DF交于点 P，则∠APD的度数为______ ；连接CP，线段CP长的最小值为_______．
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三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，△ABC内接于⊙O，A ( http: / / www.21cnjy.com )B为直径，点D为半径OA上一点，过点D作AB的垂线交AC于点E，交BC的延长线于点P，点F在线段PE上，且PF＝CF．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）连接AP与⊙O相交于点G，若∠ABC＝2∠PAC，求证：AB＝BP；
（3）在（2）的条件下，若AC＝4，BC＝3，求CF的长．
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2、如图，AB是⊙O的直 ( http: / / www.21cnjy.com )径，点C是圆上一点，弦CD⊥AB于点E，且DC＝AD，过点A作⊙O的切线，过点C作DA的平行线，两直线交于点F，FC的延长线与AB的延长线交于点G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）求证：四边形AFCD是菱形．
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3、如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．
（1）求拱桥的半径．
（2）有一艘宽为7.8m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥？并说明理由．
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4、如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点分别为A(2，3)，B(2，1)，C(5，4)．
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(1)只用直尺在图中找出△ABC的外心P，并写出P点的坐标_____________
(2)以(1)中的外心P为位似中 ( http: / / www.21cnjy.com )心，按位似比2：1在位似中心的左侧将△ABC放大为△A′B′C′，放大后点A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′，请在图中画出△A′B′C′；
(3)若以A为圆心，为半径的⊙A与线段BC有公共点， 则的取值范围是____________．
5、如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点P在BA的延长线上，连接BC，PC．若AB = 6，的长为π，BC = PC．求证：直线PC与⊙O相切．
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-参考答案-
一、单选题
1、B
【分析】
由垂径定理可知，AE=CE，则阴影部分的面积等于扇形AOD的面积，求出，然后利用扇形面积公式，即可求出答案．
【详解】
解：根据题意，如图：
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∵AB是的直径，OD是半径，，
∴AE=CE，
∴阴影CED的面积等于AED的面积，
∴，
∵，，
∴，
∴；
故选：B
【点睛】
本题考查了求扇形的面积，垂径定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确利用扇形的面积公式进行计算．
2、D
【分析】
本题利用了三角形外角与内角的关系和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．21*cnjy*com
【详解】
如图，AS交圆于点E，连接EB，
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由圆周角定理知，∠AEB=∠C=50°，而∠AEB是△SEB的一个外角，由∠AEB＞∠S，即当∠S＜50°时船不进入暗礁区．
所以，两个灯塔的张角∠ASB应满足的条件是∠ASB＜50°．
∴cos∠ASB＞cos50°，
故选：D．
【点睛】
本题考查三角形的外角的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
3、D
【分析】
先根据等边三角形的性质求出△OBC的面积，然后由地基的面积是△OBC的6倍即可得到答案
【详解】
解：如图所示，正六边形ABCDEF，连接OB，OC，过点O作OP⊥BC于P，
由题意得：BC=4cm，
∵六边形ABCD是正六边形，
∴∠BOC=360°÷6=60°，
又∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选D．
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【点睛】
本题主要考查了正多边形和圆，等边三角形的性质与判定，勾股定理，熟知正多边形和圆的关系是解题的关键．
4、C
【分析】
首先证明∠ABD＝90°，由∠BOC＝50°，根据圆周角定理求出∠A的度数即可解决问题．
【详解】
解：∵BD是切线，
∴BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∵∠BOC＝50°，
∴∠A＝∠BOC＝25°，
∴∠D＝90°﹣∠A＝65°，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5、A
【分析】
连接OD，BD，作OH⊥CD交CD于点H，首先根据勾股定理求出BC的长度，然后利用等面积法求出BD的长度，进而得到是等边三角形，，然后根据30°角直角三角形的性质求出OH的长度，最后根据进行计算即可．2·1·c·n·j·y
【详解】
解：如图所示，连接OD，BD，作OH⊥CD交CD于点H
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∵，，
∴在中，
∵点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆
∴是圆的直径，
∴
∴，即
解得：
又∵
∴
∴是等边三角形
∴
∴
∵OH⊥CD
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】
本题考查了30°角直角三角形的性质， ( http: / / www.21cnjy.com )等边三角形的性质和判定，扇形面积，勾股定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
6、C
【分析】
根据圆周角的性质求解即可．
【详解】
解：∵∠AOB=140°，
根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可得，∠ACB=70°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，解题关键是明确同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
7、C
【分析】
由为等边三角形，得：∠AOB=60°，再根据圆周角定理，即可求解．
【详解】
解：∵为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴=∠AOB =×60°=30°．
故选C．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．
8、A
【分析】
如图所示，连接OA，由垂径定理得到AB=2AD，先求出，即可利用勾股定理求出，即可得到答案．
【详解】
解：如图所示，连接OA，
∵半径OC⊥AB，
∴AB=2AD，∠ODA=90°，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
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【点睛】
本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟知垂径定理是解题的关键．
9、C
【分析】
根据确定圆的条件，圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理和圆周角定理逐个判断即可．
【详解】
A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项说法不正确；
B、不在同一直线上的三个点确定一个圆，若这三个点在一条直线上，就不能确定圆，故本选项说法不正确；
C、周长相等半径就相等，半径相等的两个圆能重合，故本选项说法正确；
D、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项说法不正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是对圆的认识，圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理，利用相关的知识逐项判断是基本的方法．
10、A
【分析】
正三角形的面积加上三个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果．
【详解】
解：正三角形的面积为：，
三个小半圆的面积为：，中间大圆的面积为：，
所以阴影部分的面积为：，
故选：
【点睛】
本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
二、填空题
1、4
【分析】
由周长公式可得⊙O半径为4，再由正多边形的中心角公式可得正六边形ABCDEF中心角为，即可知正六边形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的，则可求得六边形ABCDEF边长．
【详解】
∵⊙O的周长为8π
∴⊙O半径为4
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O
∴正六边形ABCDEF中心角为
∴正六边形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的
∴正六边形ABCDEF边长为4.
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了正多边形的中心角公式，正n边形的每个中心角都等于，由中心角为得出正六边形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的是解题的关键．21·世纪*教育网
2、2
【分析】
取AC中点O，由勾股定理的逆定理可知∠ADC=90°，则点D在以O为圆心，以AC为直径的圆上，作△ADC外接圆，连接BO，交圆O于，则长的最小值即为，由此求解即可．
【详解】
解：如图所示，取AC中点O，
∵，即，
∴∠ADC=90°，
∴点D在以O为圆心，以AC为直径的圆上，
作△ADC外接圆，连接BO，交圆O于，则长的最小值即为，
∵，，∠ACB=90°，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．
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【点睛】
本题主要考查了一点到圆上一点的最短距离，勾股定理的逆定理，勾股定理，解题的关键在于确定点D的运动轨迹．2-1-c-n-j-y
3、②③④
【分析】
根据切线的性质，正方形的性质，通过三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形全等，证明HD=HM，∠HCM=∠HCD，GM=GB，∠GCB=∠GCM，可判断前两个结论；运用对角互补的四边形内接于圆，证明∠GHF+∠GEF=180°，取GH的中点P，连接PA，则PA+PC≥AC，当PC最大时，PA最小，根据直径是圆中最大的弦，故PC=1时，PA最小，计算即可．www.21-cn-jy.com
【详解】
∵GH是⊙O的切线，M为切点，且CM是⊙O的直径，
∴∠CMH=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CMH=∠CDH=90°，
∵CM=CD，CH=CH，
∴△CMH≌△CDH，
∴HD=HM，∠HCM=∠HCD，
同理可证，∴GM=GB，∠GCB=∠GCM，
∴GB+DH=GH，无法确定HD＝2BG，
故①错误；
∵∠HCM+∠HCD+∠GCB+∠GCM=90°，
∴2∠HCM+2∠GCM=90°，
∴∠HCM+∠GCM=45°，
即∠GCH＝45°，
故②正确；
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∵△CMH≌△CDH，BD是正方形的对角线，
∴∠GHF=∠DHF，∠GCH=∠HDF=45°，
∴∠GHF+∠GEF=∠DHF +∠GCH+∠EFC
=∠DHF +∠HDF+∠HFD
=180°，
根据对角互补的四边形内接于圆，
∴H，F，E，G四点在同一个圆上，
故③正确；
∵正方形ABCD的边长为1，
∴
=1
=，∠GAH=90°，AC=
取GH的中点P，连接PA，
∴GH=2PA，
∴=，
∴当PA取最小值时，有最大值，
连接PC，AC，
则PA+PC≥AC，
∴PA≥AC- PC，
∴当PC最大时，PA最小，
∵直径是圆中最大的弦，
∴PC=1时，PA最小，
∴当A，P，C三点共线时，且PC最大时，PA最小，
∴PA=-1，
∴最大值为：1-（-1）=2-，
∴四边形CGAH面积的最大值为2，
∴④正确；
故答案为: ②③④．
【点睛】
本题考查了切线的性质，直径是最大 ( http: / / www.21cnjy.com )的弦，三角形的全等，直角三角形斜边上的中线，四点共圆，正方形的性质，熟练掌握圆的性质，灵活运用直角三角形的性质，线段最短原理是解题的关键．
4、
【分析】
根据圆的性质，可得OA=OB，OC=OD，证明△AOC≌△BOD，即可得答案．
【详解】
解：由题意可知：OA=OB，OC=OD，
∵AC＝BD，
∴△AOC≌△BOD，
∵∠AOC＝120°，
∴∠BOD＝120°，
故答案为：120°．
【点睛】
本题考查了圆的性质、三角形全等的判定和性质，做题的关键是证明△AOC≌△BOD．
5、
【分析】
利用“边角边”证明△ADE和△DCF全等，根 ( http: / / www.21cnjy.com )据全等三角形对应角相等可得∠DAE＝∠CDF，然后求出∠APD＝90°，从而得出点P的路径是一段以AD为直径的弧，连接AD的中点和C的连线交弧于点P，此时CP的长度最小，然后根据勾股定理求得QC，即可求得CP的长．21世纪教育网版权所有
【详解】
解：四边形ABCD 是正方形，
AD＝CD，∠ADE＝∠BCD＝90°，
在△ADE和△DCF中，，
∴△ADE≌△DCF（SAS）
∴∠DAE＝∠CDF，
∵∠CDF＋∠ADF＝∠ADC＝90°，
∴∠ADF＋∠DAE＝90°，
∴∠APD＝90°，
由于点P在运动中保持∠APD＝90°，
∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，
取AD的中点Q，连接QC，此时CP的长度最小，
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则DQ＝AD＝×2＝1，
在Rt△CQD中，根据勾股定理得，CQ＝＝＝，
所以，CP＝CO QP＝ 1．
故答案为：； 1．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的性质和判定，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．【来源：21cnj*y.co*m】
三、解答题
1、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【分析】
（1）连接，由题意知，，，，；可得，进而说明是的切线．
（2）连接，同弧所对圆周角相等，有，，进而说明．
（3）勾股定理知，，有，知，，；在中用勾股定理求出的长，求出的长，通过角度关系得出，故有，进而求出的值．21教育名师原创作品
【详解】
解：（1）证明：如图所示，连接，为半径
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是的内接三角形，且是直径
在和中，有
又
即
是半径
是的切线．
（2）证明：如图连接
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为直径
（3）在中
在和中
，，
设，
在中，有，
解得
，
∴
【点睛】
本题考查了切线、圆周角、三角形全等、等腰三角形、勾股定理等知识．解题的关键与难点在于角度等量关系的转化．21cnjy.com
2、（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）连接OC、AC，证 ( http: / / www.21cnjy.com )明△ACD为等边三角形，得出∠ADC=∠DCA=∠DAC=60°，∠OCD=30°，由FG∥DA，得出∠DCF=180°-∠ADC=120°，则∠OCF=∠DCF-∠OCD=90°，即FG⊥OC，即可得出结论；
（2）证明AF∥DC，由FG∥DA，得出四边形AFCD是菱形．
【详解】
（1）证明：连接OC、AC，如图所示：
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∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=DE，AD=AC，
∵DC=AD，
∴DC=AD=AC，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ADC=∠DCA=∠DAC=60°，∠DAB=∠BAC=30°，
∴∠BOC=2∠BAC=60°，
∴∠OCD=90°-60°=30°，
∵FG∥DA，
∴∠D=∠DCG=60°，
∴∠OCG=∠DCG+∠OCD=60°+30°=90°，
∴FG⊥OC，
∵OC为⊙O的半径，
∴FG是⊙O的切线；
（2）证明：∵AF与⊙O相切，
∴AF⊥AG，
∵DC⊥AG，
∴AF∥DC，
∵FG∥DA，
∴四边形AFCD为平行四边形．
∵DC＝AD，
∴四边形AFCD是菱形．
【点睛】
本题考查了切线的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的性质，证明FG是⊙O的切线是解题的关键．
3、（1）6.5米；（2）不能顺利通过，理由见解析
【分析】
（1）设圆心为O，连接OC，OB，拱桥的半径r米，作出相应图形，然后在中，利用勾股定理求解即可得；21教育网
（2）考虑当弦长为7.8时，利用（1）中结论，可得弦心距，即可得出结论．
【详解】
（1）如图所示，设圆心为O，连接OC，OB，拱桥的半径r米，
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在中，
，
解得米；
（2）当弦长为7.8时，弦心距．
∴此货船不能顺利通过此圆弧形拱桥．
【点睛】
题目主要考查圆的基本性质，垂径定理，求弦心距，勾股定理等，理解题意，作出相应辅助线，结合性质定理是解题关键．
4、（1）（4，2）；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据三角形的外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点即可找到点P；
（2）根据位似中心与三角形三个顶点的连线将原三角形扩大2倍即可；
（3）根据直线和圆的位置关系：当半径大于或等于点A到BC的距离时，⊙A与线段BC有一个或两个公共点即可．
【详解】
解：如图所示：
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（1）点P即为△ABC的外心，P点的坐标为（4，2），
故答案为：（4，2）；
（2）图中画出的△A′B′C′即为所求作的图形；
（3）观察图形可知：r=时，⊙A与线段BC有一个公共点．
此时⊙A与线段BC相切，
当时，⊙A只经过点，
∴的取值范围是
故答案为：．
【点睛】
本题考查了作图 位似变换、三角形的外接圆与圆心、直线与圆的位置关系，解决本题的关键是根据位似中心画位似图形．
5、见详解
【分析】
连接OC，由题意易得∠AOC=60°，则有∠B=∠OCB=30°，然后可得∠P=∠B=30°，进而可得∠OCP=90°，最后问题可求证．
【详解】
证明：连接OC，如图所示：
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∵的长为π，AB=6，
∴OC=OA=3，，
∴，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB=30°，
∵BC=PC，
∴∠P=∠B=30°，
∴∠POC+∠P=90°，即∠OCP=90°，
∵OC是圆O的半径，
∴直线PC与⊙O相切．
【点睛】
本题主要考查切线的判定定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
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