2022-2023学年北师大版2019必修一第一章 预备知识 单元测试卷(word版含解析)

第一章 预备知识 单元测试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题(共40分)
1、(4分)不等式对任意a，恒成立，则实数x的取值范围是( )
A. B. C. D.
2、(4分)在中，点是线段上任意一点(不包含端点)，若，则的最小值是（ ）
A.4 B.9 C.8 D.13
3、(4分)若，则当取得最大值时，x的值为( )
A. B. C. D.
4、(4分)定义集合且，已知集合，，则( )
A. B. C. D.
5、(4分)集合} , 又则有( )
A. B. C. D.任一个
6、(4分)设集合 且, 已知, 则集合S 为( )
A. B. C. D.
7、(4分)以下六个关系式：①，②，③，④，⑤， ⑥是空集，其中错误的个数是（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
8、(4分)已知，函数在处的切线与直线平行，则的最小值是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
9、(4分)已知不等式的解集为，则不等式的解集为( )
A. B.或 C. D.或
10、(4分)已知集合，，，则( )
A.0 B.1 C.0或1 D.-1
二、填空题(共25分)
11、(5分)已知，则函数的最小值为__________，最大值为___________.
12、(5分)某企业一个月生产一种商品x万件时的生产成本（单位：万元）为，已知每1万件售价是15万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件.
13、(5分)某班有72名学生，其中有36名篮球爱好者，有19名跑步爱好者，有7名同学既爱好篮球又爱好跑步，则该班既不爱好篮球也不爱好跑步的同学有__________名.
14、(5分)已知集合，，那么集合_____，______，______
15、(5分)含有三个实数的集合既可表示成,又可表示成,则__________.
三、解答题(共35分)
16、(8分)已知，满足.
（1）求证：；
（2）现推广：把的分子改为另一个大于1的正整数p，使对任意恒成立，试写出一个p，并证明之.
17、(9分)设函数，其中a为常数.
（1）对任意，当时，，求实数a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求在区间上的最小值.
18、(9分)五一假期某旅行团去庐山旅游，若每次组团去旅游的人数不超过20，则游客需付给旅行社车票每张300元；若每次组团人数多于20，则给予优惠：每多1人，车票费每张减少5元，直到达到满载人数48为止，而旅行团需付给汽运公司包车费每趟2000元.
（1）写出每张车票的价格y（单位：元）关于人数x（单位：人）的函数关系式；
（2）每次组团去旅游的人数为多少时，旅行团可获得最大利润？
19、(9分)含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值
参考答案
1、答案：C
解析：，当且仅当，即时取等号，不等式对任意a，恒成立，，，实数x的取值范围是.故选：C.
2、答案：B
解析：
3、答案：D
解析：本题考查基本不等式的应用.，，当且仅当，即时，取得“=”.
4、答案：C
解析：本题考查集合的新定义运算.依题意.
5、答案：B
解析：
6、答案：B
解析：
7、答案：D
解析：
8、答案：C
解析：因为，则，因为切点为，则切线的斜率为，又因为切线与直线平行，所以，即，所以，当且仅当，即时，等号成立，则的最小值是4，故选：C.
9、答案：B
解析：本题考查一元二次不等式的解集.由已知可得-3，2是方程的两根.由根与系数的关系可知，，所以，，代入不等式，得，解得或.
10、答案：B
解析：本题考查子集关系的判断.因为，所以或.若，则集合A具有相同元素，不符合，则，解得（排除）或.故选B项.
11、答案：
解析：根据题意，， 的对称轴为直线
在区间上单调递增
时，
故答案为：.
12、答案：7
解析：本题考查二次函数的应用.利润，当时，取最大值.
13、答案：24
解析：本题考查集合的运算.设班上72名学生组成集合U，其中篮球爱好者组集合A，跑步爱好者组成集合B，如下图所示.至少爱好篮球或者跑步其中一个的人数为，则一个都不爱好的人数为.
14、答案：或；；
或.
解析：
15、答案：
解析：由题意, 及,可得,即,
从而,进而有,即或1(舍去)(集合元素的互异性),
故.故答案为: .
16、答案： (1)见解析(2) 见解析
解析：(1) 证明 : 由 ，得 ，,
要证 ，
只要证 ，
左边
当且仅当 ，即 时等号成立；
(2)要使,
只至至,
左边
则 ， 可取 或 3
取 ，问题转化为.
证明如下 : 要证 ，
只需证明 ，
左边
当且仅当 ，即 时等号成立.
17、答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意，函数在定义域上为增函数，则实数a应满足，
解得.
（2），其图象的对称轴为，
由（1）得.
①当，即时，；
②当，即时，.
综上所述，.
18、答案：（1）
（2）每次组团去旅游的人数为40时，旅行团可获得最大利润.
解析：（1）由题意得，即.
（2）设旅行社获利元，
则，即，
当时，取得最大值6000.
故当每次组团去旅游的人数为40时，旅行团可获得最大利润.
19、答案：
解析：由，可得，（否则不满足集合中元素的互异性）．
所以，或解得或．
经检验，满足题意．
所以．