2022-2023学年北师大版2019必修二第六章 立体几何初步 单元测试卷(word版含解析)

第六章 立体几何初步 单元测试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题(共40分)
1、(4分)已知圆锥的顶点为S ，两条母线为SA,SB ，若 的面积为 与圆锥的底面所成的角为 ，则圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
2、(4分)利用斜二测画法可以得到:
①三角形的直观图是三角形;
②平行四边形的直观图是平行四边形;
③正方形的直观图是正方形;
④菱形的直观图是菱形.
以上结论正确的有( )
A. ①② B.① C. ③④ D. ①②③④
3、(4分)棱长都是1的三棱锥的表面积为( )
A. B. C. D.
4、(4分)已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合，设集合，则T表示的区域的面积为( )
A. B.π C. D.
5、(4分)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为( )
A. B. C. D.
6、(4分)已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
7、(4分)已知直线l平行于平面，平面垂直于平面，则以下关于直线l与平面的位置关系的表述，正确的是( )
A.l与不平行
B.l与不相交
C.l不在平面上
D.l在上，与平行，与相交都有可能
8、(4分)在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为( )
A. B.2 C. D.4
9、(4分)在正方体中，过A，C，D的平面与过的平面的位置关系是( )
A.相交但不垂直 B.相交成60°角
C.互相垂直 D.互相平行
10、(4分)如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面ABC，点C是圆上的任意一点，图中有____________对平面与平面垂直( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(共25分)
11、(5分)已知三棱锥的所有棱长都是2,四个顶点都在球的球面上,记球的表面积是,过棱的平面被球截得的截面面积的最小值为,则的值为__________.
12、(5分)已知矩形中，，，是边的中点．现以为折痕将折起，当三棱锥的体积最大时，该三棱锥外接球的体积为__________．
13、(5分)已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点P,Q,若线段PQ的最小值为,则正方体的棱长为_________；正方体的外接球的表面积为_______.
14、(5分)如图，在正方体中，M，N，P分别是的中点，点H在四边形的边及其内部运动，则H满足条件________时，有平面MNP.
15、(5分)已知中，，P为平面ABC外一点，且，则平面PBC与平面ABC的位置关系是_________.
三、解答题(共35分)
16、(8分)如图所示多面体中, 底面 是边长为 3 的正方形, 上平面 是 上一点,.
(1)求证: 平面;
(2)求此多面体的体积.
17、(9分)图1是由矩形ADEB、和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.
(1)证明图2中的A，C，G，D四点共面，且平面平面BCGE.
(2)求图2中的四边形ACGD的面积.
18、(9分)如图,四棱柱 中, 平面 平面, 底面 为矩形 是 的中点,.
(1)求证: 平面 平面;
(2) 求三棱雉 的体积.
19、(9分)已知复数z满足，的虚部为2.
（1）求复数z；
（2）设复数z，，在复平面上对应的点分别为A，B，C，求的值.
参考答案
1、答案：B
解析：
2、答案：A
解析：根据斜二测画法可知,只有平行于x轴的线段长度和方向都不变,平行于y轴的线段倾斜或者,并且长度减半,所以①三角形的直观图和原三角形相比只是面积变小了,它还是三角形;②平行四边形的直观图还是平行四边形;③正方形的直观图是平行四边形;④菱形的直观图是平行四边形.所以①②正确.故选A.
3、答案：A
解析：由题意可知三棱锥是正四面体,它的表面积就是四个三角形的面积,求出一个三角形的面积即可求解本题.
由题意可知三棱锥是正四面体,各个三角形的边长为,三棱锥的表面积就是四个全等三角形的面积,所以 ,故可知表面积为A.
4、答案：B
解析：设O为的中心，连接PO，AO，在正三角形ABC中，，在中，，当时，连接OQ，根据勾股定理可得，易知Q的轨迹是以O为圆心，半径为1的圆，由于集合，故集合T表示的区每的面积为π，故选B.
5、答案：C
解析：如图，由已知得该棱台的高为（m），所以该棱台的体积.故选C.
6、答案：A
解析：设圆锥的底面半径为 ，高为 ，母线为，
因为其表面积为 ，
所以 ，
即
又因为它的侧面展开图是一个半圆，
所以 ，
即
所以 ，
所以此圆锥的体积为.
故选: A
7、答案：D
解析：
8、答案：A
解析：
9、答案：C
解析：
10、答案：C
解析：
11、答案：6
解析：由题意知,三棱锥是正三棱锥,取的中点,连接,如图所示：
设点在底面内的投影是,球的半径为,
由于是边长为2的等边三角形,则,
,,
所以,解得,
所以球的表面积是.
易知当棱是截面圆的直径时,过棱的平面被球截得的截面面积取最小值,所以.
故答案为：6.
12、答案：
解析：在矩形ABCD中，，，E是CD边中点，，中，，，是正三角形.面积为定值.只有平面平面ABCE时三棱锥的高最大.此时体积最大.取AE的中点F.连接FB.在正中，面ABE和面ADE交于AE.平面ADE，即是.正的中心为O在中O点到三棱锥四个顶点的距离是，O是外接球球心，是半径，三棱锥外接球体积.
13、答案：4
解析：
14、答案：线段
解析：
15、答案：平面平面ABC
解析：因为，所以P在所在平面上的射影必落在的外心上，
又的外心为BC的中点，设为O，则平面ABC，
又平面PBC，所以平面平面ABC.
16、答案：(1)见解析(2)
解析：(1) 证明: 过点 作, 交 于点, 则
因为, 所以, 且, 所以四边形 为平行四边形,所以. 又 平面 丈平面, 所以 平面.
(2) 因为 平面 平面, 所以, 因为, 所以 平面.
所以, ,
即此多面体的体积为
17、答案：(1)见解析.
(2)面积为4.
解析：(1)由已知得，
所以，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面.
由已知得，故平面BCGE.
又因为平面ABC，所以平面平面BCGE.
(2)取CG的中点M，连接EM，DM.
因为平面BCGE，
所以平面BCGE，故.
由已知，四边形BCGE是菱形且得，
故平面DEM.
因此.
在中，，故.
所以四边形ACGD的面积为4.
18、答案：(1)见解析(2)
解析：(1)证明: 因为平面 平面, 平面 平面,
所以 平面.
因为 平面, 所以.
又在矩形 中, 是 的中点,
所以, 所以.
又, 所以 平面.
因为 平面, 所以平面 平面.
(2) 由 (1) 知 平面, 所以 即为点 到平面 的距离,
所以.
19、答案：（1）或
（2）
解析：（1）设，由题可得，
.
又的虚部为2，
或
故或.
（2）由（1）可知，即点B的坐标为，.
当时，点A的坐标为，，此时，即点C的坐标为，.
，
.
当时，点A的坐标为，，此时，即点C的坐标为，.
，
.
综上，.